Номер 1086, страница 226 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 30. Сложение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1086, страница 226.

Условие.

1086. Каждый участник шахматного турнира, играя белыми фигурами, выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя чёрными. Докажите, что все участники одержали одинаковое количество побед.

Решение.

Решение 2.

Пусть в турнире участвует $n$ шахматистов. Обозначим через $W_i$ количество побед $i$-го участника ($i \in \{1, ..., n\}$) белыми фигурами, а через $B_i$ — количество его побед чёрными фигурами. Тогда общее число побед $i$-го участника составляет $T_i = W_i + B_i$.

Согласно условию задачи, для любого участника $i$ количество его побед белыми ($W_i$) равно сумме побед чёрными всех остальных участников. Это можно записать в виде формулы:$W_i = \sum_{j \neq i} B_j$

Введём обозначение для общего числа побед чёрными фигурами в турнире: $B_{total} = \sum_{j=1}^{n} B_j$. Сумма побед чёрными всех участников, кроме $i$-го, равна $B_{total} - B_i$. Подставив это в предыдущую формулу, получаем:$W_i = B_{total} - B_i$

Перенеся $B_i$ в левую часть равенства, имеем:$W_i + B_i = B_{total}$

Поскольку $W_i + B_i$ — это общее число побед $i$-го участника ($T_i$), то для любого участника $i$ справедливо равенство:$T_i = B_{total}$

Это означает, что общее число побед любого участника $T_i$ равно общему числу побед, одержанных в турнире чёрными фигурами ($B_{total}$). Поскольку $B_{total}$ — это постоянная величина, не зависящая от конкретного участника, то все участники одержали одинаковое количество побед ($T_1 = T_2 = \dots = T_n$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что общее количество побед каждого участника равно общему числу побед, одержанных в турнире чёрными фигурами. Так как это число является константой для всех участников, то все они одержали одинаковое количество побед.