Номер 1080, страница 225 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 30. Сложение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1080, страница 225.

Условие.

1080. Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из слагаемых? В случае утвердительного ответа приведите пример. Какими числами должны быть в этом случае слагаемые? Какими числами должны быть слагаемые, чтобы их сумма была больше каждого из них?

Решение.

Решение 2.

Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из слагаемых? В случае утвердительного ответа приведите пример. Какими числами должны быть в этом случае слагаемые?

Да, сумма двух чисел может быть меньше каждого из слагаемых. Это происходит в том случае, когда оба слагаемых являются отрицательными числами.

Рассмотрим это математически. Пусть даны два слагаемых $a$ и $b$. Условие задачи можно записать в виде системы двух неравенств:

$a + b < a$

$a + b < b$

Из первого неравенства $a + b < a$, вычитая $a$ из обеих частей, получаем $b < 0$. Это означает, что второе слагаемое должно быть отрицательным.

Из второго неравенства $a + b < b$, вычитая $b$ из обеих частей, получаем $a < 0$. Это означает, что первое слагаемое также должно быть отрицательным.

Следовательно, для выполнения условия оба слагаемых должны быть отрицательными.

Пример:

Возьмем два отрицательных числа, например, $-5$ и $-8$.

Их сумма равна: $(-5) + (-8) = -13$.

Проверим, выполняется ли условие:

Сумма ($-13$) меньше первого слагаемого ($-5$)? Да, $-13 < -5$.

Сумма ($-13$) меньше второго слагаемого ($-8$)? Да, $-13 < -8$.

Таким образом, условие выполняется.

Ответ: Да, может. Для этого оба слагаемых должны быть отрицательными числами. Например, сумма чисел $-5$ и $-8$ равна $-13$, что меньше каждого из них.

Какими числами должны быть слагаемые, чтобы их сумма была больше каждого из них?

Чтобы сумма двух чисел была больше каждого из слагаемых, оба слагаемых должны быть положительными числами.

Снова рассмотрим это с помощью неравенств. Пусть даны два слагаемых $a$ и $b$. Условие, что их сумма больше каждого из них, можно записать так:

$a + b > a$

$a + b > b$

Из первого неравенства $a + b > a$, вычитая $a$ из обеих частей, получаем $b > 0$. Это означает, что второе слагаемое должно быть положительным.

Из второго неравенства $a + b > b$, вычитая $b$ из обеих частей, получаем $a > 0$. Это означает, что первое слагаемое также должно быть положительным.

Если хотя бы одно из слагаемых будет равно нулю или будет отрицательным, то условие не будет выполняться для обоих слагаемых одновременно. Например, если $a > 0$ и $b = 0$, то $a+b = a$, а не больше $a$. Если $a > 0$ и $b < 0$, то сумма $a+b$ будет меньше, чем $a$. Поэтому единственное решение — оба слагаемых должны быть положительными.

Пример:

Возьмем два положительных числа, например, $4$ и $9$.

Их сумма равна: $4 + 9 = 13$.

Проверим, выполняется ли условие:

Сумма ($13$) больше первого слагаемого ($4$)? Да, $13 > 4$.

Сумма ($13$) больше второго слагаемого ($9$)? Да, $13 > 9$.

Условие выполняется.

Ответ: Чтобы сумма была больше каждого из слагаемых, оба слагаемых должны быть положительными числами.