Страница 225 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1072. Вычислите значение выражения:

1) $-\frac{1}{4}+\frac{3}{5}$;

2) $\frac{9}{11}+\left(-\frac{2}{5}\right)$;

3) $-\frac{20}{21}+\frac{3}{7}$;

4) $7\frac{5}{12}+\left(-3\frac{7}{24}\right)$;

5) $-6\frac{11}{12}+\left(-8\frac{13}{18}\right)$;

6) $-5\frac{12}{35}+10$;

7) $-3\frac{1}{12}+\frac{1}{6}$;

8) $3\frac{6}{7}+\left(-6\frac{4}{9}\right)$;

9) $9\frac{1}{6}+\left(-5\frac{3}{4}\right)$.

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20. $-\frac{1}{4}+\frac{3}{5} = -\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5}+\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{5}{20}+\frac{12}{20} = \frac{-5+12}{20} = \frac{7}{20}$. Ответ: $\frac{7}{20}$

2) Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 5 — это 55. $\frac{9}{11}+(-\frac{2}{5}) = \frac{9}{11}-\frac{2}{5} = \frac{9 \cdot 5}{11 \cdot 5}-\frac{2 \cdot 11}{5 \cdot 11} = \frac{45}{55}-\frac{22}{55} = \frac{23}{55}$. Ответ: $\frac{23}{55}$

3) Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 21 и 7 — это 21. $-\frac{20}{21}+\frac{3}{7} = -\frac{20}{21}+\frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = -\frac{20}{21}+\frac{9}{21} = \frac{-20+9}{21} = -\frac{11}{21}$. Ответ: $-\frac{11}{21}$

4) Для сложения смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 24 — это 24. $7\frac{5}{12}+(-3\frac{7}{24}) = 7\frac{5}{12}-3\frac{7}{24} = 7\frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2}-3\frac{7}{24} = 7\frac{10}{24}-3\frac{7}{24}$. Вычтем целые и дробные части по отдельности: $(7-3) + (\frac{10}{24}-\frac{7}{24}) = 4 + \frac{3}{24} = 4\frac{1}{8}$. Ответ: $4\frac{1}{8}$

5) Складываем два отрицательных смешанных числа. Для этого сложим их модули и поставим перед результатом знак минус. $6\frac{11}{12}+8\frac{13}{18}$. Сложим целые части: $6+8=14$. Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 36. $\frac{11}{12}+\frac{13}{18} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3}+\frac{13 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{33}{36}+\frac{26}{36} = \frac{59}{36} = 1\frac{23}{36}$. Теперь сложим результат сложения целых и дробных частей: $14+1\frac{23}{36} = 15\frac{23}{36}$. Поскольку исходные числа были отрицательными, результат будет отрицательным. Ответ: $-15\frac{23}{36}$

6) Выполним сложение смешанного отрицательного числа и целого положительного. $-5\frac{12}{35}+10 = 10-5\frac{12}{35}$. Представим 10 как $9+1 = 9\frac{35}{35}$. $9\frac{35}{35} - 5\frac{12}{35} = (9-5) + (\frac{35-12}{35}) = 4 + \frac{23}{35} = 4\frac{23}{35}$. Ответ: $4\frac{23}{35}$

7) Приведем дробные части к общему знаменателю 12. $-3\frac{1}{12}+\frac{1}{6} = -3\frac{1}{12}+\frac{2}{12}$. Представим $-3\frac{1}{12}$ как $-\frac{3 \cdot 12 + 1}{12} = -\frac{37}{12}$. $-\frac{37}{12}+\frac{2}{12} = \frac{-37+2}{12} = -\frac{35}{12} = -2\frac{11}{12}$. Ответ: $-2\frac{11}{12}$

8) Выполним вычитание смешанных чисел. Так как модуль отрицательного числа больше, результат будет отрицательным. $3\frac{6}{7}+(-6\frac{4}{9}) = 3\frac{6}{7}-6\frac{4}{9} = -(6\frac{4}{9}-3\frac{6}{7})$. Приведем дробные части к общему знаменателю 63. $6\frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7}-3\frac{6 \cdot 9}{7 \cdot 9} = 6\frac{28}{63}-3\frac{54}{63}$. Поскольку $\frac{28}{63} < \frac{54}{63}$, займем единицу у целой части: $5\frac{63+28}{63}-3\frac{54}{63} = 5\frac{91}{63}-3\frac{54}{63} = (5-3)+(\frac{91-54}{63}) = 2\frac{37}{63}$. Не забываем про знак минус. Ответ: $-2\frac{37}{63}$

9) Выполним вычитание смешанных чисел. $9\frac{1}{6}+(-5\frac{3}{4}) = 9\frac{1}{6}-5\frac{3}{4}$. Приведем дробные части к общему знаменателю 12. $9\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2}-5\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 9\frac{2}{12}-5\frac{9}{12}$. Поскольку $\frac{2}{12} < \frac{9}{12}$, займем единицу у целой части: $8\frac{12+2}{12}-5\frac{9}{12} = 8\frac{14}{12}-5\frac{9}{12} = (8-5)+(\frac{14-9}{12}) = 3\frac{5}{12}$. Ответ: $3\frac{5}{12}$

1073. Самая низкая температура, полученная в лабораторных условиях, равна -273,14 °С, что на 4,21 °С ниже температуры кипения гелия. Чему равна температура кипения гелия?

Пусть $T_{кип}$ — искомая температура кипения гелия, а $T_{лаб}$ — самая низкая температура, полученная в лабораторных условиях.

Из условия задачи известно, что $T_{лаб} = -273,14$ °C.

Также сказано, что лабораторная температура на $4,21$ °C ниже температуры кипения гелия. Это означает, что температура кипения гелия выше лабораторной на $4,21$ °C.

Чтобы найти температуру кипения гелия, нужно к лабораторной температуре прибавить разницу:
$T_{кип} = T_{лаб} + 4,21$ °C

Подставим известное значение $T_{лаб}$:
$T_{кип} = -273,14 + 4,21 = -268,93$ °C

Ответ: $-268,93$ °C.

1074. Представьте в виде суммы двух равных слагаемых число:

1) -12;

2) 7;

3) -9.

Чтобы представить число в виде суммы двух равных слагаемых, его необходимо разделить на 2. Полученное частное и будет искомым слагаемым.

Пусть заданное число — $N$, а искомое слагаемое — $x$. Тогда, согласно условию, должно выполняться равенство $x + x = N$, или $2x = N$. Отсюда находим $x$: $x = N/2$.

1) -12;

Для числа -12 найдем искомое слагаемое: $x = (-12) / 2 = -6$.
Таким образом, число -12 можно представить как сумму двух равных слагаемых: $(-6) + (-6)$.
Проверка: $(-6) + (-6) = -12$.
Ответ: $-12 = (-6) + (-6)$.

2) 7;

Для числа 7 найдем искомое слагаемое: $x = 7 / 2 = 3,5$.
Таким образом, число 7 можно представить как сумму двух равных слагаемых: $3,5 + 3,5$.
Проверка: $3,5 + 3,5 = 7$.
Ответ: $7 = 3,5 + 3,5$.

3) -9.

Для числа -9 найдем искомое слагаемое: $x = (-9) / 2 = -4,5$.
Таким образом, число -9 можно представить как сумму двух равных слагаемых: $(-4,5) + (-4,5)$.
Проверка: $(-4,5) + (-4,5) = -9$.
Ответ: $-9 = (-4,5) + (-4,5)$.

1075. Составьте числовое выражение и вычислите его значение:

1) к сумме чисел 7 и –20 прибавить число 18;

2) к числу 7,9 прибавить сумму чисел 2,1 и –10;

3) к сумме чисел $3\frac{1}{16}$ и $-2\frac{5}{16}$ прибавить сумму чисел $4\frac{17}{36}$ и $-1\frac{11}{36}$.

1) к сумме чисел 7 и –20 прибавить число 18

Составим числовое выражение в соответствии с условием: $(7 + (-20)) + 18$.
Выполним действия по порядку:
1. Найдем сумму в скобках: $7 + (-20) = 7 - 20 = -13$.
2. К полученному результату прибавим 18: $-13 + 18 = 5$.
Таким образом, значение выражения равно 5.
Ответ: 5

2) к числу 7,9 прибавить сумму чисел 2,1 и –10

Составим числовое выражение: $7,9 + (2,1 + (-10))$.
Выполним действия по порядку:
1. Найдем сумму в скобках: $2,1 + (-10) = 2,1 - 10 = -7,9$.
2. К числу 7,9 прибавим полученный результат: $7,9 + (-7,9) = 7,9 - 7,9 = 0$.
Таким образом, значение выражения равно 0.
Ответ: 0

3) к сумме чисел $3\frac{11}{16}$ и $-2\frac{5}{16}$ прибавить сумму чисел $4\frac{17}{36}$ и $-1\frac{11}{36}$

Составим числовое выражение: $(3\frac{11}{16} + (-2\frac{5}{16})) + (4\frac{17}{36} + (-1\frac{11}{36}))$.
Выполним действия по порядку:
1. Найдем сумму в первой скобке: $3\frac{11}{16} + (-2\frac{5}{16}) = 3\frac{11}{16} - 2\frac{5}{16} = (3-2) + (\frac{11-5}{16}) = 1\frac{6}{16} = 1\frac{3}{8}$.
2. Найдем сумму во второй скобке: $4\frac{17}{36} + (-1\frac{11}{36}) = 4\frac{17}{36} - 1\frac{11}{36} = (4-1) + (\frac{17-11}{36}) = 3\frac{6}{36} = 3\frac{1}{6}$.
3. Сложим полученные результаты: $1\frac{3}{8} + 3\frac{1}{6}$. Для сложения приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 это 24.
$1\frac{3}{8} = 1\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = 1\frac{9}{24}$
$3\frac{1}{6} = 3\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = 3\frac{4}{24}$
4. Выполним сложение: $1\frac{9}{24} + 3\frac{4}{24} = (1+3) + (\frac{9+4}{24}) = 4\frac{13}{24}$.
Таким образом, значение выражения равно $4\frac{13}{24}$.
Ответ: $4\frac{13}{24}$

1076. Составьте числовое выражение и вычислите его значение:

1) к сумме чисел -6 и -19 прибавить число 15;

$((-6) + (-19)) + 15$

2) к числу -3,6 прибавить сумму чисел -7,2 и 4,5;

$(-3.6) + ((-7.2) + 4.5)$

3) к сумме чисел -1,4 и -1,8 прибавить сумму чисел -5,2 и 8,1.

$((-1.4) + (-1.8)) + ((-5.2) + 8.1)$

1) к сумме чисел -6 и -19 прибавить число 15;

Сначала составим числовое выражение. Сумма чисел -6 и -19 записывается как $ (-6) + (-19) $. К этой сумме нужно прибавить число 15. Получаем выражение: $ ((-6) + (-19)) + 15 $.

Теперь вычислим его значение, соблюдая порядок действий. Сначала выполним действие в скобках:

$ -6 + (-19) = -25 $

Затем к результату прибавим 15:

$ -25 + 15 = -10 $

Ответ: -10.

2) к числу -3,6 прибавить сумму чисел -7,2 и 4,5;

Составим числовое выражение. Сумма чисел -7,2 и 4,5 записывается как $ (-7,2 + 4,5) $. Эту сумму нужно прибавить к числу -3,6. Получаем выражение: $ -3,6 + (-7,2 + 4,5) $.

Вычислим значение. Сначала найдем сумму в скобках:

$ -7,2 + 4,5 = -(7,2 - 4,5) = -2,7 $

Теперь прибавим полученное число к -3,6:

$ -3,6 + (-2,7) = -(3,6 + 2,7) = -6,3 $

Ответ: -6,3.

3) к сумме чисел -1,4 и -1,8 прибавить сумму чисел -5,2 и 8,1.

Составим числовое выражение. Первая сумма — это сумма чисел -1,4 и -1,8: $ (-1,4 + (-1,8)) $. Вторая сумма — это сумма чисел -5,2 и 8,1: $ (-5,2 + 8,1) $. Нужно сложить эти две суммы. Получаем выражение: $ (-1,4 + (-1,8)) + (-5,2 + 8,1) $.

Вычислим значение, найдя сначала значение каждой суммы в скобках:

$ -1,4 + (-1,8) = -(1,4 + 1,8) = -3,2 $

$ -5,2 + 8,1 = 8,1 - 5,2 = 2,9 $

Теперь сложим полученные результаты:

$ -3,2 + 2,9 = -(3,2 - 2,9) = -0,3 $

Ответ: -0,3.

1077. При $a = -6,3$, $b = 2,7$ найдите значение выражения:

1) $a + b;$

2) $|a| + b;$

3) $a + |b|;$

4) $|a + b|;$

5) $|a| + |b|.$

Даны значения $a = -6,3$ и $b = 2,7$.

1) a + b;
Подставляем значения $a$ и $b$ в выражение:
$a + b = -6,3 + 2,7$
Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем.
$| -6,3 | = 6,3$
$| 2,7 | = 2,7$
$6,3 > 2,7$, поэтому результат будет отрицательным.
$-6,3 + 2,7 = -(6,3 - 2,7) = -3,6$
Ответ: -3,6

2) |a| + b;
Сначала находим модуль $a$, а затем прибавляем $b$.
$|a| = |-6,3| = 6,3$
Теперь выполняем сложение:
$|a| + b = 6,3 + 2,7 = 9$
Ответ: 9

3) a + |b|;
Сначала находим модуль $b$, а затем прибавляем его к $a$.
$|b| = |2,7| = 2,7$
Теперь выполняем сложение:
$a + |b| = -6,3 + 2,7 = -3,6$
Ответ: -3,6

4) |a + b|;
Сначала находим сумму $a + b$, а затем находим модуль результата.
$a + b = -6,3 + 2,7 = -3,6$
Теперь находим модуль:
$|a + b| = |-3,6| = 3,6$
Ответ: 3,6

5) |a| + |b|.
Находим модули каждого числа, а затем складываем их.
$|a| = |-6,3| = 6,3$
$|b| = |2,7| = 2,7$
Теперь складываем модули:
$|a| + |b| = 6,3 + 2,7 = 9$
Ответ: 9

1078. Найдите значение выражения $|x+y|+x$, если:

1) $x=2,8, y=-3,9;$

2) $x=-4,5, y=7,2;$

3) $x=-2,3, y=-6,2;$

4) $x=-1\frac{4}{15}, y=2\frac{7}{18}.$

1) Если $x=2,8$ и $y=-3,9$, то выражение $|x+y|+x$ равно:

$|2,8 + (-3,9)| + 2,8 = |2,8 - 3,9| + 2,8 = |-1,1| + 2,8$

Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, имеем:

$|-1,1| = 1,1$

Следовательно:

$1,1 + 2,8 = 3,9$

Ответ: $3,9$

2) Если $x=-4,5$ и $y=7,2$, то выражение $|x+y|+x$ равно:

$|-4,5 + 7,2| + (-4,5) = |2,7| - 4,5$

Так как модуль положительного числа равен самому числу, имеем:

$|2,7| = 2,7$

Следовательно:

$2,7 - 4,5 = -1,8$

Ответ: $-1,8$

3) Если $x=-2,3$ и $y=-6,2$, то выражение $|x+y|+x$ равно:

$|-2,3 + (-6,2)| + (-2,3) = |-2,3 - 6,2| - 2,3 = |-8,5| - 2,3$

Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, имеем:

$|-8,5| = 8,5$

Следовательно:

$8,5 - 2,3 = 6,2$

Ответ: $6,2$

4) Если $x=-1\frac{4}{15}$ и $y=2\frac{7}{18}$, то выражение $|x+y|+x$ равно:

Сначала найдем сумму $x+y$. Для этого переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$x = -1\frac{4}{15} = -\frac{1 \cdot 15 + 4}{15} = -\frac{19}{15}$

$y = 2\frac{7}{18} = \frac{2 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{36+7}{18} = \frac{43}{18}$

Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 15 и 18 это 90.

$x+y = -\frac{19}{15} + \frac{43}{18} = -\frac{19 \cdot 6}{15 \cdot 6} + \frac{43 \cdot 5}{18 \cdot 5} = -\frac{114}{90} + \frac{215}{90} = \frac{215 - 114}{90} = \frac{101}{90}$

Подставим полученное значение суммы и значение $x$ в исходное выражение:

$|x+y|+x = |\frac{101}{90}| + (-\frac{19}{15}) = \frac{101}{90} - \frac{19}{15}$

Приведем вторую дробь к знаменателю 90 и выполним вычитание:

$\frac{101}{90} - \frac{19 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{101}{90} - \frac{114}{90} = \frac{101 - 114}{90} = -\frac{13}{90}$

Ответ: $-\frac{13}{90}$

1079.Найдите значения выражений $ |a| + |b| $ и $ |a + b| $, если:

1) $a = -3, b = -7;$

2) $a = -4, b = 10;$

3) $a = 7.2, b = 2.8.$

Какими должны быть числа $a$ и $b$, чтобы выполнялось равенство $ |a + b| = |a| + |b| $?

1) Дано: $a = -3$, $b = -7$.
Найдем значение выражения $|a| + |b|$:
$|a| + |b| = |-3| + |-7| = 3 + 7 = 10$
Найдем значение выражения $|a + b|$:
$|a + b| = |-3 + (-7)| = |-10| = 10$
Ответ: 10 и 10.

2) Дано: $a = -4$, $b = 10$.
Найдем значение выражения $|a| + |b|$:
$|a| + |b| = |-4| + |10| = 4 + 10 = 14$
Найдем значение выражения $|a + b|$:
$|a + b| = |-4 + 10| = |6| = 6$
Ответ: 14 и 6.

3) Дано: $a = 7,2$, $b = 2,8$.
Найдем значение выражения $|a| + |b|$:
$|a| + |b| = |7,2| + |2,8| = 7,2 + 2,8 = 10$
Найдем значение выражения $|a + b|$:
$|a + b| = |7,2 + 2,8| = |10| = 10$
Ответ: 10 и 10.

Какими должны быть числа a и b, чтобы выполнялось равенство $|a + b| = |a| + |b|$?
Равенство $|a + b| = |a| + |b|$ (свойство аддитивности модуля) выполняется в том и только в том случае, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки, или хотя бы одно из них равно нулю.
Проанализируем решенные примеры:
- В пункте 1) оба числа $a=-3$ и $b=-7$ отрицательные (одного знака), и равенство выполняется.
- В пункте 2) число $a=-4$ отрицательное, а $b=10$ положительное (разных знаков), и равенство не выполняется.
- В пункте 3) оба числа $a=7,2$ и $b=2,8$ положительные (одного знака), и равенство выполняется.
Таким образом, условие можно сформулировать так: $a$ и $b$ должны быть оба неотрицательными ($a \ge 0$ и $b \ge 0$) или оба неположительными ($a \le 0$ и $b \le 0$). Это условие эквивалентно неравенству $a \cdot b \ge 0$.
Ответ: Числа $a$ и $b$ должны быть одного знака, либо одно или оба числа должны быть равны нулю.

1080. Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из слагаемых? В случае утвердительного ответа приведите пример. Какими числами должны быть в этом случае слагаемые? Какими числами должны быть слагаемые, чтобы их сумма была больше каждого из них?

Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из слагаемых? В случае утвердительного ответа приведите пример. Какими числами должны быть в этом случае слагаемые?

Да, сумма двух чисел может быть меньше каждого из слагаемых. Это происходит в том случае, когда оба слагаемых являются отрицательными числами.

Рассмотрим это математически. Пусть даны два слагаемых $a$ и $b$. Условие задачи можно записать в виде системы двух неравенств:

$a + b < a$

$a + b < b$

Из первого неравенства $a + b < a$, вычитая $a$ из обеих частей, получаем $b < 0$. Это означает, что второе слагаемое должно быть отрицательным.

Из второго неравенства $a + b < b$, вычитая $b$ из обеих частей, получаем $a < 0$. Это означает, что первое слагаемое также должно быть отрицательным.

Следовательно, для выполнения условия оба слагаемых должны быть отрицательными.

Пример:

Возьмем два отрицательных числа, например, $-5$ и $-8$.

Их сумма равна: $(-5) + (-8) = -13$.

Проверим, выполняется ли условие:

Сумма ($-13$) меньше первого слагаемого ($-5$)? Да, $-13 < -5$.

Сумма ($-13$) меньше второго слагаемого ($-8$)? Да, $-13 < -8$.

Таким образом, условие выполняется.

Ответ: Да, может. Для этого оба слагаемых должны быть отрицательными числами. Например, сумма чисел $-5$ и $-8$ равна $-13$, что меньше каждого из них.

Какими числами должны быть слагаемые, чтобы их сумма была больше каждого из них?

Чтобы сумма двух чисел была больше каждого из слагаемых, оба слагаемых должны быть положительными числами.

Снова рассмотрим это с помощью неравенств. Пусть даны два слагаемых $a$ и $b$. Условие, что их сумма больше каждого из них, можно записать так:

$a + b > a$

$a + b > b$

Из первого неравенства $a + b > a$, вычитая $a$ из обеих частей, получаем $b > 0$. Это означает, что второе слагаемое должно быть положительным.

Из второго неравенства $a + b > b$, вычитая $b$ из обеих частей, получаем $a > 0$. Это означает, что первое слагаемое также должно быть положительным.

Если хотя бы одно из слагаемых будет равно нулю или будет отрицательным, то условие не будет выполняться для обоих слагаемых одновременно. Например, если $a > 0$ и $b = 0$, то $a+b = a$, а не больше $a$. Если $a > 0$ и $b < 0$, то сумма $a+b$ будет меньше, чем $a$. Поэтому единственное решение — оба слагаемых должны быть положительными.

Пример:

Возьмем два положительных числа, например, $4$ и $9$.

Их сумма равна: $4 + 9 = 13$.

Проверим, выполняется ли условие:

Сумма ($13$) больше первого слагаемого ($4$)? Да, $13 > 4$.

Сумма ($13$) больше второго слагаемого ($9$)? Да, $13 > 9$.

Условие выполняется.

Ответ: Чтобы сумма была больше каждого из слагаемых, оба слагаемых должны быть положительными числами.