Страница 231 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое число называют разностью рациональных чисел $a$ и $b$?

Разностью двух рациональных чисел $a$ и $b$ называют такое рациональное число, которое при сложении с числом $b$ (вычитаемым) дает в результате число $a$ (уменьшаемое).

Если обозначить эту разность буквой $c$, то данное определение можно записать в виде математического равенства:

$c + b = a$

Из этого равенства следует, что $c = a - b$.

На практике, чтобы найти разность двух рациональных чисел, используют правило, которое сводит операцию вычитания к операции сложения. Согласно этому правилу, чтобы из числа $a$ вычесть число $b$, нужно к числу $a$ прибавить число, противоположное числу $b$. Числом, противоположным $b$, является $-b$.

Таким образом, формула для нахождения разности выглядит следующим образом:

$a - b = a + (-b)$

Эта формула означает, что вычитание в множестве рациональных чисел всегда выполнимо, и результатом всегда является рациональное число.

Ответ: Разностью рациональных чисел $a$ и $b$ называют такое число $c$, которое удовлетворяет равенству $c + b = a$. Это число находится по правилу: $a - b = a + (-b)$.

Разность двух чисел — это результат, получаемый при вычитании одного числа из другого. Чтобы найти разность, необходимо из первого числа (называемого уменьшаемым) вычесть второе число (называемое вычитаемым).

Это действие можно представить в виде формулы:

$c = a - b$

где $a$ — уменьшаемое, $b$ — вычитаемое, а $c$ — разность.

Для удобства вычислений, особенно при работе с отрицательными числами, используется правило: чтобы найти разность двух чисел, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Это правило можно записать в виде формулы:

$a - b = a + (-b)$

Рассмотрим это правило на примерах:

• Вычитание положительного числа: Найти разность 9 и 5.
  $9 - 5 = 9 + (-5) = 4$
• Вычитание из меньшего числа большего: Найти разность 3 и 10.
  $3 - 10 = 3 + (-10) = -7$
• Вычитание отрицательного числа: Найти разность 8 и -4. Противоположное число для -4 это 4.
  $8 - (-4) = 8 + 4 = 12$
• Вычитание из отрицательного числа: Найти разность -6 и 2.
  $-6 - 2 = -6 + (-2) = -8$
• Вычитание двух отрицательных чисел: Найти разность -7 и -3. Противоположное число для -3 это 3.
  $-7 - (-3) = -7 + 3 = -4$

Ответ: Чтобы найти разность двух чисел, нужно из первого числа (уменьшаемого) вычесть второе (вычитаемое), что равносильно прибавлению к уменьшаемому числа, противоположного вычитаемому.

1. Какое число противоположно числу.

1) $1,6$;

2) $-4,3$;

3) $-\frac{1}{7}$;

4) $3,5$;

5) $2\frac{4}{15}$?

Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга только знаками, а их модули (абсолютные величины) равны. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю. Чтобы найти число, противоположное данному, нужно просто изменить его знак: плюс на минус, а минус на плюс.

1) 1,6

Число 1,6 является положительным. Его противоположное число будет иметь тот же модуль, но отрицательный знак. Следовательно, противоположное число для 1,6 — это -1,6.

Проверка: $1,6 + (-1,6) = 1,6 - 1,6 = 0$.

Ответ: -1,6.

2) -4,3

Число -4,3 является отрицательным. Его противоположное число будет иметь тот же модуль, но положительный знак. Следовательно, противоположное число для -4,3 — это 4,3.

Проверка: $-4,3 + 4,3 = 0$.

Ответ: 4,3.

3) $-\frac{1}{7}$

Число $-\frac{1}{7}$ является отрицательным. Его противоположное число будет иметь тот же модуль, но положительный знак. Следовательно, противоположное число для $-\frac{1}{7}$ — это $\frac{1}{7}$.

Проверка: $-\frac{1}{7} + \frac{1}{7} = 0$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

4) 3,5

Число 3,5 является положительным. Его противоположное число будет иметь тот же модуль, но отрицательный знак. Следовательно, противоположное число для 3,5 — это -3,5.

Проверка: $3,5 + (-3,5) = 3,5 - 3,5 = 0$.

Ответ: -3,5.

5) $2\frac{4}{15}$

Число $2\frac{4}{15}$ является положительным. Его противоположное число будет иметь тот же модуль, но отрицательный знак. Следовательно, противоположное число для $2\frac{4}{15}$ — это $-2\frac{4}{15}$.

Проверка: $2\frac{4}{15} + (-2\frac{4}{15}) = 2\frac{4}{15} - 2\frac{4}{15} = 0$.

Ответ: $-2\frac{4}{15}$.

2. Сумма двух чисел равна 30, первое слагаемое равно 16. Чему равно второе слагаемое?

Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое. В данной задаче сумма равна 30, а первое (известное) слагаемое равно 16.

Запишем это в виде математического выражения. Пусть искомое второе слагаемое будет $x$. Тогда:
$16 + x = 30$

Чтобы найти $x$, вычтем 16 из 30:
$x = 30 - 16$
$x = 14$

Таким образом, второе слагаемое равно 14.
Выполним проверку: $16 + 14 = 30$.

Ответ: 14

3. Вычитаемое равно $7$, а разность равна $0.7$. Чему равно уменьшаемое?

Для решения этой задачи вспомним компоненты действия вычитания: уменьшаемое, вычитаемое и разность. Связь между ними выражается следующей формулой:
Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое. Это следует из основного правила решения уравнений:
Уменьшаемое = Разность + Вычитаемое

Согласно условию задачи, нам даны:
Вычитаемое = $7$
Разность = $0,7$

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения уменьшаемого:
Уменьшаемое = $0,7 + 7$

Выполним сложение:
$0,7 + 7 = 7,7$

Таким образом, искомое уменьшаемое равно 7,7.

Ответ: 7,7.

4. Уменьшаемое равно 5, а разность равна $2 \frac{5}{13}$. Чему равно вычитаемое?

Чтобы найти вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.
По условию задачи:
Уменьшаемое = 5
Разность = $2\frac{5}{13}$

Найдем вычитаемое:
Вычитаемое = $5 - 2\frac{5}{13}$

Для удобства вычислений представим уменьшаемое 5 в виде смешанного числа со знаменателем 13. Для этого "займем" единицу у целого числа и представим ее в виде дроби со знаменателем 13:
$5 = 4 + 1 = 4 + \frac{13}{13} = 4\frac{13}{13}$

Теперь выполним вычитание. Вычитаем целые части и дробные части отдельно:
$4\frac{13}{13} - 2\frac{5}{13} = (4 - 2) + (\frac{13}{13} - \frac{5}{13}) = 2 + \frac{13-5}{13} = 2 + \frac{8}{13} = 2\frac{8}{13}$

Таким образом, вычитаемое равно $2\frac{8}{13}$.
Ответ: $2\frac{8}{13}$

5. Выполните сложение:

1) $-8 + 4,2 + (-9) + 5,8;$

2) $-1,7 + (-3,3) + 5;$

3) $-19 + 18,74 + (-18,74);$

4) $-4\frac{9}{16} + 5\frac{7}{18} + 4\frac{9}{16} + (-5\frac{7}{18}).$

1) $-8 + 4,2 + (-9) + 5,8$

Для удобства вычислений сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые, используя переместительное и сочетательное свойства сложения. Сложение отрицательного числа равносильно вычитанию.

$-8 + 4,2 + (-9) + 5,8 = (-8 - 9) + (4,2 + 5,8)$

Сложим отрицательные числа:

$-8 - 9 = -17$

Сложим положительные числа:

$4,2 + 5,8 = 10$

Теперь найдем сумму полученных результатов:

$-17 + 10 = -7$

Ответ: -7

2) $-1,7 + (-3,3) + 5$

Сначала выполним сложение двух отрицательных чисел:

$-1,7 + (-3,3) = -(1,7 + 3,3) = -5$

Затем к полученному результату прибавим оставшееся число:

$-5 + 5 = 0$

Ответ: 0

3) $-19 + 18,74 + (-18,74)$

В этом выражении есть два противоположных числа: $18,74$ и $-18,74$. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.

$18,74 + (-18,74) = 0$

Поэтому выражение можно переписать так:

$-19 + 0 = -19$

Ответ: -19

4) $-4\frac{9}{16} + 5\frac{7}{18} + 4\frac{9}{16} + (-5\frac{7}{18})$

Сгруппируем пары противоположных чисел, чтобы упростить вычисление:

$(-4\frac{9}{16} + 4\frac{9}{16}) + (5\frac{7}{18} + (-5\frac{7}{18}))$

Сумма первой пары противоположных чисел равна нулю:

$-4\frac{9}{16} + 4\frac{9}{16} = 0$

Сумма второй пары противоположных чисел также равна нулю:

$5\frac{7}{18} + (-5\frac{7}{18}) = 0$

Сложим полученные результаты:

$0 + 0 = 0$

Ответ: 0

1106. Замените вычитание сложением:

1) $-9,6 - 4,9;$

2) $-20 - (-13,4);$

3) $40 - 55;$

4) $24 - (-36).$

Чтобы заменить вычитание сложением, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Это правило можно записать в виде формулы: $a - b = a + (-b)$.

1) В выражении $-9,6 - 4,9$ уменьшаемое равно $-9,6$, а вычитаемое равно $4,9$. Число, противоположное вычитаемому $4,9$, это $-4,9$.
Заменяем вычитание сложением: $-9,6 - 4,9 = -9,6 + (-4,9)$.

Ответ: $-9,6 + (-4,9)$.

2) В выражении $-20 - (-13,4)$ уменьшаемое равно $-20$, а вычитаемое равно $-13,4$. Число, противоположное вычитаемому $-13,4$, это $-(-13,4) = 13,4$.
Заменяем вычитание сложением: $-20 - (-13,4) = -20 + 13,4$.

Ответ: $-20 + 13,4$.

3) В выражении $40 - 55$ уменьшаемое равно $40$, а вычитаемое равно $55$. Число, противоположное вычитаемому $55$, это $-55$.
Заменяем вычитание сложением: $40 - 55 = 40 + (-55)$.

Ответ: $40 + (-55)$.

4) В выражении $24 - (-36)$ уменьшаемое равно $24$, а вычитаемое равно $-36$. Число, противоположное вычитаемому $-36$, это $-(-36) = 36$.
Заменяем вычитание сложением: $24 - (-36) = 24 + 36$.

Ответ: $24 + 36$.

1107. Выполните вычитание:

1) $10 - 16$;

2) $5 - 12$;

3) $-5 - 3$;

4) $-6 - 18$;

5) $9 - (-2)$;

6) $4 - (-10)$;

7) $-3 - (-8)$;

8) $-11 - (-6)$;

9) $12,3 - (-6,8)$;

10) $2,4 - 5,6$;

11) $0 - 13,4$;

12) $-1,4 - 1,2$;

13) $-10,2 - (-4,9)$;

14) $0 - (-99,4)$;

15) $-8 - (-8)$.

1) Чтобы вычесть из одного числа другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. В данном случае, вычитаемое 16, противоположное ему число -16.

$10 - 16 = 10 + (-16) = -(16 - 10) = -6$

Ответ: -6

2) Вычитаем из меньшего числа большее. Результат будет отрицательным, его модуль равен разности модулей чисел.

$5 - 12 = 5 + (-12) = -(12 - 5) = -7$

Ответ: -7

3) Вычитание положительного числа из отрицательного. Это то же самое, что сложение двух отрицательных чисел.

$-5 - 3 = -5 + (-3) = -(5 + 3) = -8$

Ответ: -8

4) Аналогично предыдущему примеру, складываем модули чисел и ставим знак минус перед результатом.

$-6 - 18 = -6 + (-18) = -(6 + 18) = -24$

Ответ: -24

5) Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению соответствующего положительного числа. Два знака "минус" подряд заменяются на "плюс".

$9 - (-2) = 9 + 2 = 11$

Ответ: 11

6) Аналогично предыдущему примеру, вычитание отрицательного числа заменяется сложением.

$4 - (-10) = 4 + 10 = 14$

Ответ: 14

7) Вычитание отрицательного числа из отрицательного. Заменяем вычитание на сложение.

$-3 - (-8) = -3 + 8 = 8 - 3 = 5$

Ответ: 5

8) Аналогично предыдущему примеру.

$-11 - (-6) = -11 + 6 = -(11 - 6) = -5$

Ответ: -5

9) Вычитание отрицательного десятичного числа. Заменяем вычитание на сложение.

$12,3 - (-6,8) = 12,3 + 6,8 = 19,1$

Ответ: 19,1

10) Вычитание большего десятичного числа из меньшего.

$2,4 - 5,6 = -(5,6 - 2,4) = -3,2$

Ответ: -3,2

11) Вычитание числа из нуля дает противоположное число.

$0 - 13,4 = -13,4$

Ответ: -13,4

12) Вычитание положительного десятичного числа из отрицательного. Это сложение двух отрицательных чисел.

$-1,4 - 1,2 = -(1,4 + 1,2) = -2,6$

Ответ: -2,6

13) Вычитание отрицательного десятичного числа из отрицательного. Заменяем вычитание на сложение.

$-10,2 - (-4,9) = -10,2 + 4,9 = -(10,2 - 4,9) = -5,3$

Ответ: -5,3

14) Вычитание отрицательного числа из нуля. Заменяем вычитание на сложение.

$0 - (-99,4) = 0 + 99,4 = 99,4$

Ответ: 99,4

15) Вычитание числа из самого себя всегда дает в результате ноль.

$-8 - (-8) = -8 + 8 = 0$

Ответ: 0

1108. Выполните вычитание:

1) $3,5 - (-9,7);$

2) $1,9 - 3,2;$

3) $-5,3 - 3,7;$

4) $-2,8 - (-5,2).$

1) Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению противоположного ему положительного числа. Таким образом, чтобы из 3,5 вычесть -9,7, нужно к 3,5 прибавить 9,7.

$3,5 - (-9,7) = 3,5 + 9,7 = 13,2$

Ответ: 13,2

2) Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед результатом знак «минус».

$1,9 - 3,2 = -(3,2 - 1,9) = -1,3$

Ответ: -1,3

3) Вычитание положительного числа из отрицательного — это сложение двух отрицательных чисел. Для этого нужно сложить их модули и поставить перед суммой знак «минус».

$-5,3 - 3,7 = -(5,3 + 3,7) = -9,0 = -9$

Ответ: -9

4) Чтобы вычесть из одного числа другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Вычитание -5,2 заменяется прибавлением 5,2. Далее, чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед разностью знак того слагаемого, модуль которого больше.

$-2,8 - (-5,2) = -2,8 + 5,2 = 5,2 - 2,8 = 2,4$

Ответ: 2,4