Страница 224 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Назовите модуль числа:

1) $-1$;

2) $8,7$;

3) $-2,5$;

4) $6\frac{1}{4}$;

5) $-7\frac{3}{7}$.

Модулем (или абсолютной величиной) числа называется расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль числа всегда является неотрицательной величиной.

• Модуль положительного числа равен самому числу.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
• Модуль нуля равен нулю.

1) -1;

Число -1 является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному числу, то есть 1.

$|-1| = 1$

Ответ: 1

2) 8,7;

Число 8,7 является положительным, поэтому его модуль равен самому этому числу.

$|8,7| = 8,7$

Ответ: 8,7

3) -2,5;

Число -2,5 является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему положительному числу.

$|-2,5| = 2,5$

Ответ: 2,5

4) 6 1/4;

Число $6\frac{1}{4}$ является положительным, поэтому его модуль равен самому этому числу.

$|6\frac{1}{4}| = 6\frac{1}{4}$

Ответ: $6\frac{1}{4}$

5) -7 3/7.

Число $-7\frac{3}{7}$ является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему положительному числу.

$|-7\frac{3}{7}| = 7\frac{3}{7}$

Ответ: $7\frac{3}{7}$

4. В аквариум налили 6 л воды, в результате чего заполнили 30 % его объёма. Сколько ещё надо налить воды, чтобы наполнить аквариум?

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Нахождение полного объема аквариума

1. Сначала найдем полный объем аквариума. Из условия мы знаем, что 6 литров воды составляют 30% от всего объема. Обозначим полный объем аквариума как $V$.

2. Переведем проценты в десятичную дробь: $30\% = \frac{30}{100} = 0.3$.

3. Составим уравнение: $0.3 \cdot V = 6$ л.

4. Найдем $V$: $V = \frac{6}{0.3} = \frac{60}{3} = 20$ л. Таким образом, полный объем аквариума составляет 20 литров.

5. Теперь вычислим, сколько еще воды нужно долить, чтобы наполнить аквариум. Для этого вычтем из полного объема уже налитый объем: $20 \text{ л} - 6 \text{ л} = 14$ л.

Способ 2: Использование пропорции

1. Весь объем аквариума составляет 100%. Заполнено 30% объема. Следовательно, осталось заполнить $100\% - 30\% = 70\%$ объема.

2. Составим пропорцию, чтобы найти, какой объем воды соответствует оставшимся 70%. Обозначим искомый объем как $x$.

30% — 6 л

70% — $x$ л

3. Из пропорции получаем уравнение: $\frac{30}{70} = \frac{6}{x}$.

4. Решим уравнение относительно $x$: $x = \frac{70 \cdot 6}{30} = \frac{420}{30} = 14$ л.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: чтобы наполнить аквариум, надо налить ещё 14 литров воды.

1066. Утром температура воздуха была $-4^{\circ}\mathrm{C}$. Вечером:

1) потеплело на $3^{\circ}\mathrm{C}$;

2) похолодало на $3^{\circ}\mathrm{C}$;

3) потеплело на $4^{\circ}\mathrm{C}$;

4) потеплело на $6^{\circ}\mathrm{C}$.

Запишите в каждом случае вечернюю температуру в виде суммы и вычислите её.

Начальная температура воздуха утром составляла $-4$ °C. Чтобы найти вечернюю температуру, необходимо к утренней температуре прибавить ее изменение. Увеличение температуры (потеплело) соответствует прибавлению положительного числа, а уменьшение (похолодало) — прибавлению отрицательного числа.

1) потеплело на 3 °С;

Запишем сумму: $-4 + 3$.
Вычислим: $-4 + 3 = -1$ (°C).

Ответ: -1 °С.

2) похолодало на 3 °С;

Запишем сумму: $-4 + (-3)$.
Вычислим: $-4 + (-3) = -4 - 3 = -7$ (°C).

Ответ: -7 °С.

3) потеплело на 4 °С;

Запишем сумму: $-4 + 4$.
Вычислим: $-4 + 4 = 0$ (°C).

Ответ: 0 °С.

4) потеплело на 6 °С.

Запишем сумму: $-4 + 6$.
Вычислим: $-4 + 6 = 2$ (°C).

Ответ: 2 °С.

1067. Выполните сложение:

1) $-9+6;$
2) $4+(-1);$
3) $-6+20;$
4) $20+(-40);$
5) $-2,3+1,4;$
6) $1,6+(-4,1);$
7) $-0,8+1;$
8) $-1,8+1,8.$

1) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. В данном случае модуль числа $-9$ больше модуля числа $6$ ($|-9|=9$, $|6|=6$), поэтому результат будет отрицательным.
$-9 + 6 = -(9 - 6) = -3$.
Ответ: $-3$.

2) Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию его модуля.
$4 + (-1) = 4 - 1 = 3$.
Ответ: $3$.

3) При сложении чисел с разными знаками из числа с большим модулем вычитается число с меньшим модулем, и ставится знак числа с большим модулем. Модуль числа $20$ больше модуля числа $-6$ ($|20|=20$, $|-6|=6$), поэтому результат будет положительным.
$-6 + 20 = 20 - 6 = 14$.
Ответ: $14$.

4) Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-40$ больше модуля числа $20$ ($|-40|=40$, $|20|=20$), поэтому результат будет отрицательным.
$20 + (-40) = 20 - 40 = -(40 - 20) = -20$.
Ответ: $-20$.

5) Складываем десятичные дроби с разными знаками. Модуль числа $-2,3$ больше модуля числа $1,4$ ($|-2,3|=2,3$, $|1,4|=1,4$), поэтому результат будет отрицательным.
$-2,3 + 1,4 = -(2,3 - 1,4) = -0,9$.
Ответ: $-0,9$.

6) Складываем десятичные дроби с разными знаками. Модуль числа $-4,1$ больше модуля числа $1,6$ ($|-4,1|=4,1$, $|1,6|=1,6$), поэтому результат будет отрицательным.
$1,6 + (-4,1) = 1,6 - 4,1 = -(4,1 - 1,6) = -2,5$.
Ответ: $-2,5$.

7) Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $1$ больше модуля числа $-0,8$ ($|1|=1$, $|-0,8|=0,8$), поэтому результат будет положительным.
$-0,8 + 1 = 1 - 0,8 = 0,2$.
Ответ: $0,2$.

8) Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю. Числа $-1,8$ и $1,8$ являются противоположными.
$-1,8 + 1,8 = 0$.
Ответ: $0$.

1068. Выполните сложение:

1) $-7 + 12;$

2) $13 + (-18);$

3) $-19 + 15;$

4) $40 + (-20);$

5) $-1,7 + 3;$

6) $2,8 + (-5,5);$

7) $5 + (-6,9);$

8) $2,7 + (-2,7).$

1) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. В данном случае, мы складываем $-7$ и $12$. Модуль числа $12$ ($|12|=12$) больше модуля числа $-7$ ($|-7|=7$), поэтому результат будет положительным.
Вычисляем разность модулей: $12 - 7 = 5$.
$-7 + 12 = 5$.
Ответ: 5

2) Складываем числа $13$ и $-18$. Модуль числа $-18$ ($|-18|=18$) больше модуля числа $13$ ($|13|=13$), поэтому результат будет отрицательным.
Вычисляем разность модулей: $18 - 13 = 5$.
$13 + (-18) = - (18 - 13) = -5$.
Ответ: -5

3) Складываем числа $-19$ и $15$. Модуль числа $-19$ ($|-19|=19$) больше модуля числа $15$ ($|15|=15$), поэтому результат будет отрицательным.
Вычисляем разность модулей: $19 - 15 = 4$.
$-19 + 15 = - (19 - 15) = -4$.
Ответ: -4

4) Складываем числа $40$ и $-20$. Модуль числа $40$ ($|40|=40$) больше модуля числа $-20$ ($|-20|=20$), поэтому результат будет положительным.
Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию: $40 + (-20) = 40 - 20 = 20$.
Ответ: 20

5) Складываем числа $-1,7$ и $3$. Модуль числа $3$ ($|3|=3$) больше модуля числа $-1,7$ ($|-1,7|=1,7$), поэтому результат будет положительным.
Вычисляем разность модулей: $3 - 1,7 = 1,3$.
$-1,7 + 3 = 1,3$.
Ответ: 1,3

6) Складываем числа $2,8$ и $-5,5$. Модуль числа $-5,5$ ($|-5,5|=5,5$) больше модуля числа $2,8$ ($|2,8|=2,8$), поэтому результат будет отрицательным.
Вычисляем разность модулей: $5,5 - 2,8 = 2,7$.
$2,8 + (-5,5) = - (5,5 - 2,8) = -2,7$.
Ответ: -2,7

7) Складываем числа $5$ и $-6,9$. Модуль числа $-6,9$ ($|-6,9|=6,9$) больше модуля числа $5$ ($|5|=5$), поэтому результат будет отрицательным.
Вычисляем разность модулей: $6,9 - 5 = 1,9$.
$5 + (-6,9) = - (6,9 - 5) = -1,9$.
Ответ: -1,9

8) Складываем числа $2,7$ и $-2,7$. Эти числа являются противоположными, так как их модули равны, а знаки различны. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.
$2,7 + (-2,7) = 2,7 - 2,7 = 0$.
Ответ: 0

1069. Найдите сумму:

1) $-6 + (-5);$

2) $-0,7 + (-2,8);$

3) $-0,82 + (-0,18);$

4) $-\frac{5}{7} + (-\frac{9}{14});$

5) $-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{6});$

6) $\frac{3}{8} + 0.$

1) Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и поставить перед результатом знак «минус».
$-6 + (-5) = -(|-6| + |-5|) = -(6 + 5) = -11$
Ответ: $-11$

2) Складываем модули десятичных дробей и ставим перед суммой знак «минус».
$-0,7 + (-2,8) = -(0,7 + 2,8) = -3,5$
Ответ: $-3,5$

3) Складываем модули десятичных дробей и ставим перед суммой знак «минус».
$-0,82 + (-0,18) = -(0,82 + 0,18) = -1$
Ответ: $-1$

4) Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $7$ и $14$ — это $14$.
Приведем дробь $-\frac{5}{7}$ к знаменателю $14$:
$-\frac{5}{7} = -\frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = -\frac{10}{14}$
Теперь сложим полученные дроби:
$-\frac{10}{14} + (-\frac{9}{14}) = -(\frac{10}{14} + \frac{9}{14}) = -\frac{10+9}{14} = -\frac{19}{14}$
Выделим целую часть: $-\frac{19}{14} = -1\frac{5}{14}$
Ответ: $-1\frac{5}{14}$

5) Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $4$ и $6$ — это $12$.
$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{3}{12}$
$-\frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = -\frac{2}{12}$
Теперь выполним сложение:
$-\frac{3}{12} + (-\frac{2}{12}) = -(\frac{3}{12} + \frac{2}{12}) = -\frac{3+2}{12} = -\frac{5}{12}$
Ответ: $-\frac{5}{12}$

6) Сложение числа с нулем не изменяет исходное число.
$-\frac{3}{8} + 0 = -\frac{3}{8}$
Ответ: $-\frac{3}{8}$

1070. Заполните таблицу.

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого столбца найти сумму чисел $a$ и $b$.

Ниже представлены подробные расчеты для каждого столбца.

1. Дано: $a = -5$, $b = -3$.

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «−».

$a + b = -5 + (-3) = -(5 + 3) = -8$.

Ответ: -8

2. Дано: $a = -8$, $b = -9$.

Складываем модули чисел и ставим знак «−».

$a + b = -8 + (-9) = -(8 + 9) = -17$.

Ответ: -17

3. Дано: $a = -0,5$, $b = -0,7$.

Складываем модули чисел и ставим знак «−».

$a + b = -0,5 + (-0,7) = -(0,5 + 0,7) = -1,2$.

Ответ: -1,2

4. Дано: $a = 12$, $b = -8$.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше. $|12| > |-8|$, значит, результат будет положительным.

$a + b = 12 + (-8) = 12 - 8 = 4$.

Ответ: 4

5. Дано: $a = -12$, $b = 8$.

Здесь $|-12| > |8|$, значит, результат будет отрицательным.

$a + b = -12 + 8 = -(12 - 8) = -4$.

Ответ: -4

6. Дано: $a = 5$, $b = -3$.

Здесь $|5| > |-3|$, значит, результат будет положительным.

$a + b = 5 + (-3) = 5 - 3 = 2$.

Ответ: 2

7. Дано: $a = -8$, $b = 9$.

Здесь $|9| > |-8|$, значит, результат будет положительным.

$a + b = -8 + 9 = 9 - 8 = 1$.

Ответ: 1

8. Дано: $a = -0,5$, $b = 0,3$.

Здесь $|-0,5| > |0,3|$, значит, результат будет отрицательным.

$a + b = -0,5 + 0,3 = -(0,5 - 0,3) = -0,2$.

Ответ: -0,2

9. Дано: $a = -12$, $b = 12$.

Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю.

$a + b = -12 + 12 = 0$.

Ответ: 0

10. Дано: $a = 0$, $b = -5$.

Прибавление нуля не изменяет число.

$a + b = 0 + (-5) = -5$.

Ответ: -5

1071. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{2}{15} + \left(-\frac{3}{10}\right);$

2) $-\frac{2}{3} + \frac{13}{15};$

3) $-4\frac{5}{9} + \left(-7\frac{1}{6}\right);$

4) $-5\frac{13}{18} + 12\frac{11}{12};$

5) $-13 + 7\frac{3}{16};$

6) $-2\frac{3}{8} + \left(-1\frac{5}{9}\right);$

7) $-2\frac{9}{20} + 5\frac{7}{30};$

8) $-5\frac{1}{4} + 1\frac{3}{8};$

9) $4\frac{3}{7} + \left(-8\frac{9}{14}\right).$

1) $ \frac{2}{15} + (-\frac{3}{10}) $

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 15 и 10 равно 30. Дополнительный множитель для первой дроби – 2, для второй – 3.

$ \frac{2}{15} + (-\frac{3}{10}) = \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{4}{30} - \frac{9}{30} = \frac{4 - 9}{30} = -\frac{5}{30} $

Сократим полученную дробь на 5:

$ -\frac{5}{30} = -\frac{1}{6} $

Ответ: $ -\frac{1}{6} $

2) $ -\frac{2}{3} + \frac{13}{15} $

Приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 3 и 15 равно 15. Дополнительный множитель для первой дроби – 5.

$ -\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{13}{15} = -\frac{10}{15} + \frac{13}{15} = \frac{-10 + 13}{15} = \frac{3}{15} $

Сократим дробь на 3:

$ \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{5} $

3) $ -4\frac{5}{9} + (-7\frac{1}{6}) $

Это сложение двух отрицательных чисел. Мы можем сложить их модули и поставить перед результатом знак минус.

$ -(4\frac{5}{9} + 7\frac{1}{6}) $

Сложим целые части: $ 4 + 7 = 11 $.
Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю. НОК для 9 и 6 равно 18.

$ \frac{5}{9} + \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{10}{18} + \frac{3}{18} = \frac{13}{18} $

Объединим целую и дробную части: $ 11 + \frac{13}{18} = 11\frac{13}{18} $.

Так как мы складывали отрицательные числа, результат будет отрицательным.

Ответ: $ -11\frac{13}{18} $

4) $ -5\frac{13}{18} + 12\frac{11}{12} $

Это то же самое, что и $ 12\frac{11}{12} - 5\frac{13}{18} $.
Приведем дробные части к общему знаменателю. НОК для 18 и 12 равно 36.

$ 12\frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} - 5\frac{13 \cdot 2}{18 \cdot 2} = 12\frac{33}{36} - 5\frac{26}{36} $

Вычтем целые части: $ 12 - 5 = 7 $.
Вычтем дробные части: $ \frac{33}{36} - \frac{26}{36} = \frac{7}{36} $.

Сложим результаты: $ 7 + \frac{7}{36} = 7\frac{7}{36} $.

Ответ: $ 7\frac{7}{36} $

5) $ -13 + 7\frac{3}{16} $

Можно представить это выражение как $ 7\frac{3}{16} - 13 $. Так как вычитаемое больше уменьшаемого, результат будет отрицательным.

$ -(13 - 7\frac{3}{16}) $

Чтобы вычесть из целого числа смешанное, "займем" единицу у 13.

$ 13 = 12 + 1 = 12\frac{16}{16} $

$ 12\frac{16}{16} - 7\frac{3}{16} = (12-7) + (\frac{16}{16} - \frac{3}{16}) = 5\frac{13}{16} $

Не забываем про знак минус.

Ответ: $ -5\frac{13}{16} $

6) $ -2\frac{3}{8} + (-1\frac{5}{9}) $

Складываем два отрицательных числа. Сложим их модули и поставим знак минус.

$ -(2\frac{3}{8} + 1\frac{5}{9}) $

Сложим целые части: $ 2 + 1 = 3 $.
Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю. НОК для 8 и 9 равно 72.

$ \frac{3}{8} + \frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{27}{72} + \frac{40}{72} = \frac{67}{72} $

Объединим результаты: $ 3 + \frac{67}{72} = 3\frac{67}{72} $.

Результат будет отрицательным.

Ответ: $ -3\frac{67}{72} $

7) $ -2\frac{9}{20} + 5\frac{7}{30} $

Перепишем выражение: $ 5\frac{7}{30} - 2\frac{9}{20} $.
Приведем дробные части к общему знаменателю. НОК для 30 и 20 равно 60.

$ 5\frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} - 2\frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = 5\frac{14}{60} - 2\frac{27}{60} $

Так как дробная часть уменьшаемого ($ \frac{14}{60} $) меньше дробной части вычитаемого ($ \frac{27}{60} $), "займем" единицу у целой части.

$ 5\frac{14}{60} = 4 + 1 + \frac{14}{60} = 4 + \frac{60}{60} + \frac{14}{60} = 4\frac{74}{60} $

Теперь выполним вычитание:

$ 4\frac{74}{60} - 2\frac{27}{60} = (4 - 2) + (\frac{74}{60} - \frac{27}{60}) = 2 + \frac{47}{60} = 2\frac{47}{60} $

Ответ: $ 2\frac{47}{60} $

8) $ -5\frac{1}{4} + 1\frac{3}{8} $

Перепишем выражение: $ 1\frac{3}{8} - 5\frac{1}{4} $. Результат будет отрицательным.

$ -(5\frac{1}{4} - 1\frac{3}{8}) $

Приведем дроби к общему знаменателю 8.

$ 5\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 1\frac{3}{8} = 5\frac{2}{8} - 1\frac{3}{8} $

Дробная часть уменьшаемого меньше, поэтому "займем" единицу у целой части.

$ 5\frac{2}{8} = 4\frac{10}{8} $

$ 4\frac{10}{8} - 1\frac{3}{8} = (4 - 1) + (\frac{10}{8} - \frac{3}{8}) = 3\frac{7}{8} $

Не забываем про знак минус.

Ответ: $ -3\frac{7}{8} $

9) $ 4\frac{3}{7} + (-8\frac{9}{14}) $

Перепишем выражение: $ 4\frac{3}{7} - 8\frac{9}{14} $. Результат будет отрицательным.

$ -(8\frac{9}{14} - 4\frac{3}{7}) $

Приведем дроби к общему знаменателю 14.

$ 8\frac{9}{14} - 4\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = 8\frac{9}{14} - 4\frac{6}{14} $

Вычтем целые и дробные части по отдельности.

$ (8 - 4) + (\frac{9}{14} - \frac{6}{14}) = 4 + \frac{3}{14} = 4\frac{3}{14} $

Не забываем про знак минус.

Ответ: $ -4\frac{3}{14} $