Страница 223 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.

1. Чтобы сложить два числа с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное), нужно следовать простому алгоритму:

1. Найти модули (абсолютные значения) слагаемых. Модуль числа — это само число без знака (например, $|-10| = 10$ и $|5| = 5$).
2. Из большего модуля вычесть меньший.
3. Перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого был больше.

Рассмотрим это правило на примерах.

Пример А: Сложить числа $-15$ и $9$.

• Находим модули слагаемых: $|-15| = 15$ и $|9| = 9$.
• Сравниваем модули: $15 > 9$. Значит, знак результата будет "минус", как у числа $-15$.
• Вычитаем из большего модуля меньший: $15 - 9 = 6$.
• Ставим перед результатом знак "минус". Получаем $-6$.
• Таким образом: $-15 + 9 = -6$.

Пример Б: Сложить числа $20$ и $-12$.

• Находим модули слагаемых: $|20| = 20$ и $|-12| = 12$.
• Сравниваем модули: $20 > 12$. Значит, знак результата будет "плюс", как у числа $20$.
• Вычитаем из большего модуля меньший: $20 - 12 = 8$.
• Знак "плюс" перед положительным числом обычно не ставится. Получаем $8$.
• Таким образом: $20 + (-12) = 8$.

Важное замечание: Если модули чисел с разными знаками равны, то их сумма всегда равна нулю. Например, $-7 + 7 = 0$.

Ответ: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

2. Как сложить два отрицательных числа?

Чтобы сложить два отрицательных числа, необходимо сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученной суммой поставить знак минус.

Правило можно выразить следующей формулой, где $a$ и $b$ — любые положительные числа:

$(-a) + (-b) = -(a + b)$

Рассмотрим это правило на примерах.

Пример 1: Сложение целых чисел

Нужно сложить числа $-25$ и $-12$.

1. Находим модули слагаемых: $|-25| = 25$ и $|-12| = 12$.

2. Складываем модули: $25 + 12 = 37$.

3. Перед результатом ставим знак «–»: $-37$.

Следовательно, $(-25) + (-12) = -37$.

Пример 2: Сложение десятичных дробей

Нужно сложить числа $-3,8$ и $-5,7$.

1. Находим модули слагаемых: $|-3,8| = 3,8$ и $|-5,7| = 5,7$.

2. Складываем модули: $3,8 + 5,7 = 9,5$.

3. Перед результатом ставим знак «–»: $-9,5$.

Следовательно, $(-3,8) + (-5,7) = -9,5$.

На числовой прямой сложение отрицательного числа соответствует движению влево. Если мы начнем из точки, соответствующей первому отрицательному числу, и переместимся влево на расстояние, равное модулю второго числа, мы окажемся в точке, которая и является их суммой.

Ответ: Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «–».

3. Чему равна сумма противоположных чисел?

3. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.

Противоположными числами называются два числа, которые имеют одинаковые абсолютные величины (модули), но разные знаки. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$.

Найдем их сумму. Сложение числа $a$ и противоположного ему числа $-a$ можно записать в виде общего правила:
$a + (-a) = a - a = 0$

Это правило выполняется для любых чисел.
Например:
- Для положительного числа 12 противоположным будет -12. Их сумма: $12 + (-12) = 12 - 12 = 0$.
- Для отрицательного числа -5,3 противоположным будет 5,3. Их сумма: $-5,3 + 5,3 = 0$.
- Число 0 является противоположным самому себе. Их сумма: $0 + 0 = 0$.

Следовательно, сумма двух любых противоположных чисел всегда равна нулю.

Ответ: 0.

4. Чему равна сумма двух чисел, если одно из слагаемых равно $0$?

Сумма двух чисел, одно из которых равно нулю, всегда будет равна второму числу. Это одно из основных свойств сложения, известное как свойство нуля (или аддитивной единицы).

Давайте представим это в виде математической формулы. Пусть у нас есть два слагаемых: первое слагаемое обозначим как $a$, а второе, согласно условию, равно $0$.

Их сумма будет выглядеть следующим образом:
$a + 0$

Согласно правилу сложения с нулем, прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. Таким образом, результатом будет само число $a$:
$a + 0 = a$

Это верно для любого числа $a$, будь оно положительным, отрицательным или дробным.
Например:
$5 + 0 = 5$
$-12 + 0 = -12$
$0 + 3.14 = 3.14$

Следовательно, если одно из слагаемых равно 0, то сумма равна другому слагаемому.

Ответ: другому слагаемому.

1. Какое из чисел меньше:

1) $-4\frac{7}{9}$ или $-4\frac{5}{9}$;

2) $3\frac{2}{3}$ или $-9,6$;

3) $-1,6$ или $-0,6$;

4) $-15$ или $-14$;

5) $-8,7$ или $-7,8$;

6) $0$ или $-40$?

1) Чтобы сравнить два отрицательных числа $-4\frac{7}{9}$ и $-4\frac{5}{9}$, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Модуль отрицательного числа равен самому числу, но с противоположным знаком. Сравним $|-4\frac{7}{9}| = 4\frac{7}{9}$ и $|-4\frac{5}{9}| = 4\frac{5}{9}$.

Целые части у этих смешанных чисел одинаковы (равны 4), поэтому сравним их дробные части: $\frac{7}{9}$ и $\frac{5}{9}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, сравниваем числители: $7 > 5$. Следовательно, $\frac{7}{9} > \frac{5}{9}$, а значит и $4\frac{7}{9} > 4\frac{5}{9}$.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Поскольку $4\frac{7}{9} > 4\frac{5}{9}$, то $-4\frac{7}{9} < -4\frac{5}{9}$.

Ответ: $-4\frac{7}{9}$

2) Необходимо сравнить числа $3\frac{2}{3}$ и $-9,6$. Число $3\frac{2}{3}$ является положительным, а число $-9,6$ — отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $3\frac{2}{3} > -9,6$. Меньшим из этих двух чисел является $-9,6$.

Ответ: $-9,6$

3) Сравниваем два отрицательных числа $-1,6$ и $-0,6$. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Сравним модули этих чисел: $|-1,6| = 1,6$ и $|-0,6| = 0,6$.

Так как $1,6 > 0,6$, то модуль числа $-1,6$ больше модуля числа $-0,6$. Следовательно, $-1,6 < -0,6$.

Ответ: $-1,6$

4) Сравниваем два отрицательных целых числа: $-15$ и $-14$. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое на числовой прямой расположено левее. Число $-15$ находится левее, чем $-14$.

Также можно сравнить их модули: $|-15| = 15$ и $|-14| = 14$. Поскольку $15 > 14$, то $-15 < -14$.

Ответ: $-15$

5) Сравниваем два отрицательных числа $-8,7$ и $-7,8$. Сравним их модули: $|-8,7| = 8,7$ и $|-7,8| = 7,8$.

Так как $8,7 > 7,8$, то модуль первого числа больше модуля второго. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Следовательно, $-8,7 < -7,8$.

Ответ: $-8,7$

6) Сравниваем числа $0$ и $-40$. Ноль больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $0 > -40$. Меньшим числом является $-40$.

Ответ: $-40$

2. Координата точки $A$ равна 3. Какая координата у точки, расположенной на координатной прямой:

1) на 4 единицы правее точки $A$;

2) на 7 единиц левее точки $A$;

3) на 2 единицы левее точки $A$;

4) на 12 единиц правее точки $A$?

1) на 4 единицы правее точки А;

Движение по координатной прямой вправо соответствует увеличению координаты, то есть сложению. Исходная координата точки А равна 3. Чтобы найти координату новой точки, нужно к 3 прибавить 4.
$3 + 4 = 7$

Ответ: 7

2) на 7 единиц левее точки А;

Движение по координатной прямой влево соответствует уменьшению координаты, то есть вычитанию. Чтобы найти координату новой точки, нужно из 3 вычесть 7.
$3 - 7 = -4$

Ответ: -4

3) на 2 единицы левее точки А;

Движение влево по координатной прямой соответствует вычитанию. Чтобы найти координату новой точки, нужно из 3 вычесть 2.
$3 - 2 = 1$

Ответ: 1

4) на 12 единиц правее точки А?

Движение вправо по координатной прямой соответствует сложению. Чтобы найти координату новой точки, нужно к 3 прибавить 12.
$3 + 12 = 15$

Ответ: 15