Страница 219 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1052. Найдите все целые значения $x$, при которых верны одновременно оба двойных неравенства:

1) $-7 < x < 3$ и $-5 \le x \le 9;$

2) $-3,8 \le x \le 4$ и $-2,6 < x < 6,3.$

1) Чтобы найти все целые значения $x$, при которых верны одновременно оба двойных неравенства, необходимо найти целочисленные решения системы неравенств:
$ \begin{cases} -7 < x < 3 \\ -5 \le x \le 9 \end{cases} $
Решением данной системы является пересечение числовых промежутков, соответствующих каждому неравенству. Первое неравенство задает интервал $x \in (-7; 3)$, а второе — отрезок $x \in [-5; 9]$.
Найдем пересечение этих промежутков: $(-7; 3) \cap [-5; 9]$.
Для этого выберем наибольшую из левых границ и наименьшую из правых границ.
Левая граница: $\max(-7; -5) = -5$.
Правая граница: $\min(3; 9) = 3$.
Таким образом, решением системы является полуинтервал $x \in [-5; 3)$.
Теперь выберем все целые числа, принадлежащие этому промежутку. Это числа, которые больше или равны -5 и строго меньше 3.
Целые значения $x$: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

2) Рассмотрим систему двух двойных неравенств:
$ \begin{cases} -3,8 \le x \le 4 \\ -2,6 < x < 6,3 \end{cases} $
Нам нужно найти все целые значения $x$, удовлетворяющие обоим неравенствам. Это эквивалентно нахождению целочисленных решений на пересечении промежутков $ [-3,8; 4] $ и $ (-2,6; 6,3) $.
Найдем пересечение. Левая граница пересечения будет наибольшей из левых границ, то есть $\max(-3,8; -2,6) = -2,6$.
Правая граница пересечения будет наименьшей из правых границ, то есть $\min(4; 6,3) = 4$.
Таким образом, решением системы является полуинтервал $x \in (-2,6; 4]$.
Теперь выберем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Это числа, которые строго больше -2,6 и меньше или равны 4.
Целые значения $x$: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

1053. Сравните числа $ -a $ и $ b $, если:

Согласно условию, число $a$ является положительным, что можно записать в виде неравенства $a > 0$. Число $-a$ является противоположным к $a$. Так как $a$ – положительное число, то $-a$ будет отрицательным числом. Следовательно, $-a < 0$.

Также по условию, число $b$ является положительным, то есть $b > 0$.

Теперь необходимо сравнить отрицательное число $-a$ и положительное число $b$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Таким образом, приходим к выводу, что $-a < b$.

Ответ: $-a < b$.

Согласно условию, число $a$ является отрицательным, что можно записать в виде неравенства $a < 0$. Число $-a$ является противоположным к $a$. Так как $a$ – отрицательное число, то $-a$ будет положительным числом. Следовательно, $-a > 0$.

Также по условию, число $b$ является отрицательным, то есть $b < 0$.

Теперь необходимо сравнить положительное число $-a$ и отрицательное число $b$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, приходим к выводу, что $-a > b$.

Ответ: $-a > b$.

1054. В записи чисел стёрли несколько цифр и вместо них поставили звёздочки. Сравните эти числа:

1) $-4,2\text{**}$ и $-4,6\text{**}$;

2) $-0,628$ и $-0,627\text{**}$;

3) $0$ и $-\text{*},\text{**}$.

1) Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули. Большим будет то число, модуль которого меньше.
Сравним модули данных чисел: $|-4,2**| = 4,2**$ и $|-4,6**| = 4,6**$.
Целые части этих чисел одинаковы (4). Переходим к сравнению дробных частей. Цифра в разряде десятых у первого числа (2) меньше, чем у второго (6).
Поскольку $2 < 6$, то $4,2** < 4,6**$ независимо от того, какие цифры заменены звёздочками.
Так как модуль числа $-4,2**$ меньше модуля числа $-4,6**$, то само число $-4,2**$ больше, чем $-4,6**$.
Ответ: $-4,2** > -4,6**$.

2) Сравниваем отрицательные числа $-0,628$ и $-0,627**$. Сравним их модули: $|-0,628| = 0,628$ и $|-0,627**| = 0,627**$.
Целые части, а также цифры в разрядах десятых и сотых у этих чисел совпадают. Сравним цифры в разряде тысячных. У числа $0,628$ это цифра 8, а у числа $0,627**$ это цифра 7.
Поскольку $8 > 7$, то $0,628 > 0,627**$ независимо от последующих цифр.
Так как модуль числа $-0,628$ больше модуля числа $-0,627**$, то само число $-0,628$ меньше, чем $-0,627**$.
Ответ: $-0,628 < -0,627**$.

3) Сравниваем числа $0$ и $-*,**$.
Число $0$ отделяет положительные числа от отрицательных. Любое число со знаком «минус» является отрицательным. Число $-*,**$ — отрицательное. Любое отрицательное число всегда меньше нуля.
Ответ: $0 > -*,**$.

1055. В записи чисел стёрли несколько цифр и вместо них поставили звёздочки. Сравните эти числа:

1) $-98*$ и $-1***$;

2) $-*,***$ и $-**,**$;

3) $-98,**$ и $-*4,**$.

1) Сравним числа $-98*$ и $-1***$.

Первое число, $-98*$, является отрицательным трёхзначным числом. Его модуль (абсолютная величина) $|-98*| = 98*$. Это число находится в диапазоне от 980 до 989.

Второе число, $-1***$, является отрицательным четырёхзначным числом. Его модуль $|-1***| = 1***$. Это число находится в диапазоне от 1000 до 1999.

Любое трёхзначное положительное число меньше любого четырёхзначного положительного числа, поэтому $98* < 1***$.

При сравнении двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Так как $|-98*| < |-1***|$, то $-98* > -1***$.

Ответ: $-98* > -1***$.

2) Сравним числа $-*,***$ и $-**,**$.

Первое число, $-*,***$, — это отрицательное десятичное число, целая часть которого состоит из одной цифры. Модуль этого числа, $*,***$, не может быть больше, чем 9,999.

Второе число, $-**,**$, — это отрицательное десятичное число, целая часть которого состоит из двух цифр. Модуль этого числа, $**,**$, не может быть меньше, чем 10,00 (если первая цифра в целой части не ноль).

Сравним модули этих чисел. Число, у которого целая часть состоит из одной цифры, всегда меньше числа, у которого целая часть состоит из двух цифр (при условии, что оно не меньше 10). Таким образом, $*,*** < **,**$.

Так как мы сравниваем отрицательные числа, то число с меньшим модулем будет больше. Поскольку $|-*,***| < |-**,**|$, то $-*,*** > -**,**$.

Ответ: $-*,*** > -**,**$.

3) Сравним числа $-98,**$ и $-*4,**$.

Сначала сравним модули этих чисел: $|-98,**| = 98,**$ и $|-*4,**| = *4,**$.

Целая часть модуля первого числа равна 98.

Целая часть модуля второго числа — это двузначное число вида $*4$. Самое большее значение, которое может принимать эта целая часть, равно 94 (когда звёздочка заменяет цифру 9).

Так как $98 > 94$, целая часть числа $98,**$ всегда больше целой части числа $*4,**$. Следовательно, и само число $98,**$ больше числа $*4,**$ независимо от цифр в дробной части.

Итак, мы установили, что $|-98,**| > |-*4,**|$.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Следовательно, $-98,** < -*4,**$.

Ответ: $-98,** < -*4,**$.

1056.Найдите два числа, каждое из которых:

1) больше $-\frac{6}{17}$, но меньше $-\frac{4}{17}$;

2) больше $-\frac{5}{11}$, но меньше $-\frac{4}{11}$.

1) Требуется найти два числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{6}{17} < x < -\frac{4}{17}$.
Чтобы найти числа между данными дробями, у которых числители -6 и -4, приведем их к большему общему знаменателю. Это позволит нам найти целые числители между новыми значениями. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 3.
$-\frac{6}{17} = -\frac{6 \cdot 3}{17 \cdot 3} = -\frac{18}{51}$
$-\frac{4}{17} = -\frac{4 \cdot 3}{17 \cdot 3} = -\frac{12}{51}$
Теперь нам нужно найти два числа между $-\frac{18}{51}$ и $-\frac{12}{51}$. Это означает, что их числители должны быть целыми числами между -18 и -12.
Целые числа, расположенные между -18 и -12: -17, -16, -15, -14, -13.
Мы можем выбрать любые два из них. Например, возьмем -17 и -16. Тогда искомыми числами будут дроби $-\frac{17}{51}$ и $-\frac{16}{51}$.
Проверка: $-\frac{18}{51} < -\frac{17}{51} < -\frac{12}{51}$ и $-\frac{18}{51} < -\frac{16}{51} < -\frac{12}{51}$. Неравенства верны, так как $-18 < -17 < -12$ и $-18 < -16 < -12$.
Ответ: $-\frac{17}{51}$ и $-\frac{16}{51}$.

2) Требуется найти два числа $y$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{5}{11} < y < -\frac{4}{11}$.
Между числителями -5 и -4 нет целых чисел. Поэтому, чтобы найти числа между данными дробями, приведем их к большему знаменателю. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 3.
$-\frac{5}{11} = -\frac{5 \cdot 3}{11 \cdot 3} = -\frac{15}{33}$
$-\frac{4}{11} = -\frac{4 \cdot 3}{11 \cdot 3} = -\frac{12}{33}$
Теперь нам нужно найти два числа между $-\frac{15}{33}$ и $-\frac{12}{33}$. Это означает, что их числители должны быть целыми числами между -15 и -12.
Целые числа, расположенные между -15 и -12, это -14 и -13.
Следовательно, искомыми числами будут дроби $-\frac{14}{33}$ и $-\frac{13}{33}$.
Проверка: $-\frac{15}{33} < -\frac{14}{33} < -\frac{12}{33}$ и $-\frac{15}{33} < -\frac{13}{33} < -\frac{12}{33}$. Неравенства верны, так как $-15 < -14 < -12$ и $-15 < -13 < -12$.
Ответ: $-\frac{14}{33}$ и $-\frac{13}{33}$.

1057. Верно ли утверждение:

1) если $|a| > |b|$, то $a > b$;

2) если $|a| > b$, то $a > b$;

3) если $|a| < b$, то $a < b$;

4) если $a < b$, то $|a| < b$?

1) если $|a| > |b|$, то $a > b$
Данное утверждение неверно. Условие $|a| > |b|$ означает, что число $a$ находится на числовой прямой дальше от нуля, чем число $b$. Это не гарантирует, что $a$ больше $b$, так как $a$ может быть отрицательным.
Приведем контрпример. Пусть $a = -5$ и $b = 3$.
Тогда $|a| = |-5| = 5$ и $|b| = |3| = 3$.
Условие $|a| > |b|$ выполняется, так как $5 > 3$.
Однако, заключение $a > b$ неверно, поскольку $-5 < 3$.
Ответ: неверно.

2) если $|a| > b$, то $a > b$
Данное утверждение также неверно. Как и в предыдущем случае, если $a$ — отрицательное число, утверждение может не выполняться.
Приведем контрпример. Пусть $a = -10$ и $b = 7$.
Тогда $|a| = |-10| = 10$.
Условие $|a| > b$ выполняется, так как $10 > 7$.
Однако, заключение $a > b$ неверно, поскольку $-10 < 7$.
Ответ: неверно.

3) если $|a| < b$, то $a < b$
Данное утверждение верно. Неравенство с модулем $|a| < b$ равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
Из этого двойного неравенства, в частности, следует, что $a < b$.
Стоит отметить, что для выполнения исходного неравенства $|a| < b$, число $b$ обязательно должно быть положительным, так как модуль любого числа $|a|$ является неотрицательной величиной ($|a| \ge 0$).
Таким образом, если $|a| < b$, то $a$ всегда меньше $b$.
Ответ: верно.

4) если $a < b$, то $|a| < b$?
Данное утверждение неверно. Если $a$ — отрицательное число, его модуль может быть больше, чем $b$.
Приведем контрпример. Пусть $a = -8$ и $b = 4$.
Условие $a < b$ выполняется, так как $-8 < 4$.
Теперь проверим заключение $|a| < b$.
$|a| = |-8| = 8$.
Неравенство $8 < 4$ является ложным.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

1058. Сравните:

1) $a$ и $-a$;

2) $|a|$ и $a$;

3) $|a|$ и $-a$.

1) a и -a

Для сравнения чисел $a$ и $-a$ необходимо рассмотреть три возможных случая для значения переменной $a$.

• Если $a$ — положительное число ($a > 0$), то $-a$ — отрицательное число. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Следовательно, в этом случае $a > -a$.
  Например, если $a = 5$, то $-a = -5$, и $5 > -5$.
• Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то $-a$ — положительное число. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного. Следовательно, в этом случае $a < -a$.
  Например, если $a = -4$, то $-a = -(-4) = 4$, и $-4 < 4$.
• Если $a$ равно нулю ($a = 0$), то $-a = -0 = 0$. Следовательно, в этом случае $a = -a$.

Ответ: если $a > 0$, то $a > -a$; если $a < 0$, то $a < -a$; если $a = 0$, то $a = -a$.

2) |a| и a

Модуль числа $|a|$ по определению является расстоянием от точки $a$ до нуля на числовой прямой, поэтому модуль числа всегда неотрицателен ($|a| \ge 0$).
Рассмотрим возможные случаи для $a$:

• Если $a$ — положительное число или ноль ($a \ge 0$), то по определению модуля $|a| = a$.
  Например, если $a = 7$, то $|7| = 7$. Если $a = 0$, то $|0| = 0$.
• Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то по определению модуля $|a| = -a$. Так как $a$ отрицательно, то $-a$ будет положительным. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому в этом случае $|a| > a$.
  Например, если $a = -3$, то $|-3| = 3$, и $3 > -3$.

Объединяя эти случаи, мы приходим к выводу, что модуль числа всегда больше или равен самому числу.

Ответ: $|a| \ge a$ при любом значении $a$. Равенство $|a| = a$ выполняется при $a \ge 0$.

3) |a| и -a

Сравним модуль числа $|a|$ и противоположное число $-a$.
Рассмотрим возможные случаи для $a$:

• Если $a$ — положительное число ($a > 0$), то $|a| = a$. Число $-a$ при этом будет отрицательным. Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $|a| > -a$.
  Например, если $a = 9$, то $|9| = 9$, а $-a = -9$. Очевидно, что $9 > -9$.
• Если $a$ — отрицательное число или ноль ($a \le 0$), то по определению модуля $|a| = -a$.
  Например, если $a = -6$, то $|-6| = 6$ и $-a = -(-6) = 6$. В этом случае $|a| = -a$. Если $a = 0$, то $|0|=0$ и $-a=0$, равенство также выполняется.

Объединяя эти случаи, мы приходим к выводу, что модуль числа всегда больше или равен противоположному числу.

Ответ: $|a| \ge -a$ при любом значении $a$. Равенство $|a| = -a$ выполняется при $a \le 0$.

1059. С помощью записи $\[a]$ обозначают наибольшее целое число, которое не больше $a$. Например, $\[3,2] = 3$. Найдите:

1) $\[0,3]$;

2) $\[4]$;

3) $\[-3,2]$;

4) $\[-0,2]$

Запись $[a]$ обозначает целую часть числа $a$ — это наибольшее целое число, которое не больше, чем $a$. Эта операция также известна как функция «пол» (floor function) или «антье». По сути, это округление числа до ближайшего целого в меньшую сторону (в сторону отрицательной бесконечности на числовой оси).

1) Найдём $[0,3]$. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит $0,3$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: $0, -1, -2, \dots$ и так далее. Самое большое из этих чисел — это $0$.

Ответ: $0$.

2) Найдём $[4]$. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит $4$. Так как $4$ само является целым числом, то оно и будет ответом.

Ответ: $4$.

3) Найдём $[-3,2]$. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит $-3,2$. На числовой прямой это число находится между $-4$ и $-3$. Целые числа, которые меньше или равны $-3,2$, — это $-4, -5, -6, \dots$ и так далее. Самое большое из них — это $-4$.

Ответ: $-4$.

4) Найдём $[-0,2]$. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит $-0,2$. На числовой прямой это число находится между $-1$ и $0$. Целые числа, которые меньше или равны $-0,2$, — это $-1, -2, -3, \dots$ и так далее. Самое большое из них — это $-1$.

Ответ: $-1$.

1060. Используя сторону равностороннего треугольника как диаметр, построили полуокружность (рис. 190).

Чему равна длина красной линии, если сторона треугольника равна 6 см?

Рис. 190

Красная линия, изображенная на рисунке, состоит из двух частей: двух сторон равностороннего треугольника и дуги полуокружности. Чтобы найти общую длину красной линии, нужно сложить длины этих частей.

1. Найдем длину двух сторон треугольника.
По условию, треугольник является равносторонним, и длина его стороны равна 6 см. Красная линия включает в себя две стороны этого треугольника. Их общая длина составляет:
$2 \times 6 = 12$ см.

2. Найдем длину дуги полуокружности.
Третья сторона треугольника используется как диаметр для построения полуокружности. Следовательно, диаметр полуокружности $d$ равен 6 см. Длина полной окружности вычисляется по формуле $C = \pi d$. Длина дуги полуокружности равна половине длины полной окружности:
$L_{дуги} = \frac{1}{2} \pi d$
Подставим значение диаметра:
$L_{дуги} = \frac{1}{2} \pi \times 6 = 3\pi$ см.

3. Найдем общую длину красной линии.
Общая длина красной линии — это сумма длин двух сторон треугольника и длины дуги полуокружности:
$L_{общая} = 12 + 3\pi$ см.

Ответ: $12 + 3\pi$ см.

1061. Средний рост десяти баскетболистов равен 200 см, а средний рост шести из них составляет 190 см. Чему равен средний рост остальных четырёх баскетболистов?

Для того чтобы найти средний рост оставшихся четырех баскетболистов, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти общий суммарный рост всех десяти баскетболистов.
Средний рост — это сумма всех значений, деленная на их количество. Следовательно, чтобы найти сумму ростов, нужно средний рост умножить на количество баскетболистов.
$S_{10} = 200 \text{ см} \times 10 = 2000 \text{ см}$.
Это суммарный рост всех десяти игроков.

2. Найти суммарный рост шести баскетболистов.
Аналогично, умножим их средний рост на их количество.
$S_6 = 190 \text{ см} \times 6 = 1140 \text{ см}$.
Это суммарный рост первых шести игроков.

3. Найти суммарный рост оставшихся четырех баскетболистов.
Для этого нужно из общего суммарного роста вычесть суммарный рост шести игроков.
Количество оставшихся игроков: $10 - 6 = 4$.
Их суммарный рост: $S_4 = S_{10} - S_6 = 2000 \text{ см} - 1140 \text{ см} = 860 \text{ см}$.

4. Найти средний рост оставшихся четырех баскетболистов.
Для этого разделим их суммарный рост на их количество.
Средний рост $= \frac{S_4}{4} = \frac{860 \text{ см}}{4} = 215 \text{ см}$.

Ответ: 215 см.

1062. Найдите значение выражения:

$ (2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{7} + 3\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3})) : 0,7 $

Для нахождения значения выражения выполним действия в соответствии с их приоритетом: сначала действия в скобках (умножение, затем сложение), затем умножение и вычитание в основных скобках, и в последнюю очередь деление.

1. Выполним умножение во внутренних скобках:

Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{1}{7}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$.

Теперь выполним умножение:

$ \frac{22}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{22 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{22}{21} $

2. Выполним сложение во внутренних скобках:

Теперь нужно сложить $\frac{2}{7}$ и результат первого действия $\frac{22}{21}$.

$\frac{2}{7} + \frac{22}{21}$

Приведем дробь $\frac{2}{7}$ к знаменателю 21, умножив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{6}{21} + \frac{22}{21} = \frac{6 + 22}{21} = \frac{28}{21}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:

$\frac{28 \div 7}{21 \div 7} = \frac{4}{3}$

3. Выполним умножение в основных скобках:

Выражение теперь выглядит так: $(2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3}) : 0,7$.

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.

Выполним умножение:

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{5}{3}$

4. Выполним вычитание в основных скобках:

Теперь вычтем полученный результат из $2\frac{1}{4}$.

$2\frac{1}{4} - \frac{5}{3}$

Преобразуем $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

Приведем дроби $\frac{9}{4}$ и $\frac{5}{3}$ к общему знаменателю 12:

$\frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{27}{12}$

$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{20}{12}$

Выполним вычитание:

$\frac{27}{12} - \frac{20}{12} = \frac{7}{12}$

5. Выполним последнее действие — деление:

Теперь разделим результат предыдущего действия на 0,7.

$\frac{7}{12} : 0,7$

Представим десятичную дробь 0,7 в виде обыкновенной дроби: $0,7 = \frac{7}{10}$.

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей (перевернутую) дробь:

$\frac{7}{12} : \frac{7}{10} = \frac{7}{12} \cdot \frac{10}{7}$

Сократим семерки в числителе и знаменателе:

$\frac{10}{12}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$