Номер 1057, страница 219 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 29. Сравнение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1057, страница 219.

Условие.

1057. Верно ли утверждение:

1) если $|a| > |b|$, то $a > b$;

2) если $|a| > b$, то $a > b$;

3) если $|a| < b$, то $a < b$;

4) если $a < b$, то $|a| < b$?

Решение.

Решение 2.

1) если $|a| > |b|$, то $a > b$
Данное утверждение неверно. Условие $|a| > |b|$ означает, что число $a$ находится на числовой прямой дальше от нуля, чем число $b$. Это не гарантирует, что $a$ больше $b$, так как $a$ может быть отрицательным.
Приведем контрпример. Пусть $a = -5$ и $b = 3$.
Тогда $|a| = |-5| = 5$ и $|b| = |3| = 3$.
Условие $|a| > |b|$ выполняется, так как $5 > 3$.
Однако, заключение $a > b$ неверно, поскольку $-5 < 3$.
Ответ: неверно.

2) если $|a| > b$, то $a > b$
Данное утверждение также неверно. Как и в предыдущем случае, если $a$ — отрицательное число, утверждение может не выполняться.
Приведем контрпример. Пусть $a = -10$ и $b = 7$.
Тогда $|a| = |-10| = 10$.
Условие $|a| > b$ выполняется, так как $10 > 7$.
Однако, заключение $a > b$ неверно, поскольку $-10 < 7$.
Ответ: неверно.

3) если $|a| < b$, то $a < b$
Данное утверждение верно. Неравенство с модулем $|a| < b$ равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
Из этого двойного неравенства, в частности, следует, что $a < b$.
Стоит отметить, что для выполнения исходного неравенства $|a| < b$, число $b$ обязательно должно быть положительным, так как модуль любого числа $|a|$ является неотрицательной величиной ($|a| \ge 0$).
Таким образом, если $|a| < b$, то $a$ всегда меньше $b$.
Ответ: верно.

4) если $a < b$, то $|a| < b$?
Данное утверждение неверно. Если $a$ — отрицательное число, его модуль может быть больше, чем $b$.
Приведем контрпример. Пусть $a = -8$ и $b = 4$.
Условие $a < b$ выполняется, так как $-8 < 4$.
Теперь проверим заключение $|a| < b$.
$|a| = |-8| = 8$.
Неравенство $8 < 4$ является ложным.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.