Номер 1058, страница 219 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 29. Сравнение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1058, страница 219.

Условие.

1058. Сравните:

1) $a$ и $-a$;

2) $|a|$ и $a$;

3) $|a|$ и $-a$.

Решение.

Решение 2.

1) a и -a

Для сравнения чисел $a$ и $-a$ необходимо рассмотреть три возможных случая для значения переменной $a$.

• Если $a$ — положительное число ($a > 0$), то $-a$ — отрицательное число. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Следовательно, в этом случае $a > -a$.
  Например, если $a = 5$, то $-a = -5$, и $5 > -5$.
• Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то $-a$ — положительное число. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного. Следовательно, в этом случае $a < -a$.
  Например, если $a = -4$, то $-a = -(-4) = 4$, и $-4 < 4$.
• Если $a$ равно нулю ($a = 0$), то $-a = -0 = 0$. Следовательно, в этом случае $a = -a$.

Ответ: если $a > 0$, то $a > -a$; если $a < 0$, то $a < -a$; если $a = 0$, то $a = -a$.

2) |a| и a

Модуль числа $|a|$ по определению является расстоянием от точки $a$ до нуля на числовой прямой, поэтому модуль числа всегда неотрицателен ($|a| \ge 0$).
Рассмотрим возможные случаи для $a$:

• Если $a$ — положительное число или ноль ($a \ge 0$), то по определению модуля $|a| = a$.
  Например, если $a = 7$, то $|7| = 7$. Если $a = 0$, то $|0| = 0$.
• Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то по определению модуля $|a| = -a$. Так как $a$ отрицательно, то $-a$ будет положительным. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому в этом случае $|a| > a$.
  Например, если $a = -3$, то $|-3| = 3$, и $3 > -3$.

Объединяя эти случаи, мы приходим к выводу, что модуль числа всегда больше или равен самому числу.

Ответ: $|a| \ge a$ при любом значении $a$. Равенство $|a| = a$ выполняется при $a \ge 0$.

3) |a| и -a

Сравним модуль числа $|a|$ и противоположное число $-a$.
Рассмотрим возможные случаи для $a$:

• Если $a$ — положительное число ($a > 0$), то $|a| = a$. Число $-a$ при этом будет отрицательным. Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $|a| > -a$.
  Например, если $a = 9$, то $|9| = 9$, а $-a = -9$. Очевидно, что $9 > -9$.
• Если $a$ — отрицательное число или ноль ($a \le 0$), то по определению модуля $|a| = -a$.
  Например, если $a = -6$, то $|-6| = 6$ и $-a = -(-6) = 6$. В этом случае $|a| = -a$. Если $a = 0$, то $|0|=0$ и $-a=0$, равенство также выполняется.

Объединяя эти случаи, мы приходим к выводу, что модуль числа всегда больше или равен противоположному числу.

Ответ: $|a| \ge -a$ при любом значении $a$. Равенство $|a| = -a$ выполняется при $a \le 0$.