Номер 1065, страница 220 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 29. Сравнение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1065, страница 220.

Условие.

1065.У нескольких брёвен длиной 4 м и 5 м общая длина равна 45 м. Какое наибольшее количество распилов необходимо сделать, чтобы распилить все брёвна на части длиной 1 м? (Каждым распилом разрезают только одно бревно.)

Решение.

Решение 2.

Пусть $x$ — количество брёвен длиной 4 м, а $y$ — количество брёвен длиной 5 м.По условию, общая длина всех брёвен равна 45 м. Составим уравнение:$4x + 5y = 45$где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.

Теперь определим количество распилов, необходимое для каждого бревна. Чтобы распилить бревно длиной $L$ метров на части по 1 метру, нужно сделать $L-1$ распилов.

• Для бревна длиной 4 м нужно сделать $4 - 1 = 3$ распила.
• Для бревна длиной 5 м нужно сделать $5 - 1 = 4$ распила.

Общее количество распилов $C$ можно выразить формулой:$C = 3x + 4y$

Чтобы найти наибольшее количество распилов, нам нужно максимизировать значение $C$. Заметим, что брёвна длиной 5 м требуют больше распилов (4 распила), чем брёвна длиной 4 м (3 распила). Следовательно, для получения максимального числа распилов нужно иметь как можно больше брёвен длиной 5 м.

Найдём все возможные целочисленные и неотрицательные решения уравнения $4x + 5y = 45$.Выразим $4x$: $4x = 45 - 5y$. Правая часть уравнения, $45 - 5y = 5(9-y)$, должна быть кратна 4. Так как числа 5 и 4 взаимно простые, то выражение $(9-y)$ должно делиться на 4.Рассмотрим возможные значения $y$ (количество брёвен не может быть отрицательным, $y \ge 0$):

1. Пусть $9-y = 0$. Тогда $y=9$. Подставим в уравнение: $4x + 5 \cdot 9 = 45 \implies 4x = 0 \implies x = 0$. Это возможный вариант: 0 брёвен по 4 м и 9 брёвен по 5 м. Количество распилов: $C = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 9 = 36$.
2. Пусть $9-y = 4$. Тогда $y=5$. Подставим в уравнение: $4x + 5 \cdot 5 = 45 \implies 4x = 20 \implies x = 5$. Это возможный вариант: 5 брёвен по 4 м и 5 брёвен по 5 м. Количество распилов: $C = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 15 + 20 = 35$.
3. Пусть $9-y = 8$. Тогда $y=1$. Подставим в уравнение: $4x + 5 \cdot 1 = 45 \implies 4x = 40 \implies x = 10$. Это возможный вариант: 10 брёвен по 4 м и 1 бревно по 5 м. Количество распилов: $C = 3 \cdot 10 + 4 \cdot 1 = 30 + 4 = 34$.

Следующее возможное значение для $9-y$ было бы 12, что дало бы отрицательное значение для $y$, что невозможно.

Сравнивая количество распилов в каждом из возможных случаев (36, 35 и 34), мы видим, что наибольшее количество распилов равно 36.
Ответ: 36