Страница 215 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как, пользуясь расположением чисел на координатной прямой, можно их сравнивать?

Для сравнения чисел с помощью их расположения на координатной прямой используется простое и наглядное правило, основанное на том, что числа на прямой упорядочены. Координатная прямая — это прямая, на которой выбрано начало отсчета (точка 0), единичный отрезок и положительное направление (обычно указывается стрелкой вправо). Положительные числа располагаются справа от нуля, отрицательные — слева, и их значения увеличиваются при движении слева направо.

Основное правило сравнения заключается в следующем: из двух чисел большим является то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньшим — то, которое расположено левее.

Рассмотрим применение этого правила на разных примерах:

• Сравнение положительного и отрицательного числа.
  Любое положительное число (например, 4) всегда находится на координатной прямой правее любого отрицательного числа (например, -3). Следовательно, любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Математически это записывается как $4 > -3$.
• Сравнение двух положительных чисел.
  Из двух положительных чисел большим будет то, которое находится дальше от нуля, то есть правее. Например, число 5 расположено правее числа 2, поэтому $5 > 2$.
• Сравнение двух отрицательных чисел.
  Из двух отрицательных чисел большим будет то, которое находится ближе к нулю, то есть правее. Например, число -1 расположено правее числа -6, поэтому $-1 > -6$.
• Сравнение с нулём.
  Любое положительное число расположено правее нуля, а значит, больше нуля (например, $1 > 0$). Любое отрицательное число расположено левее нуля, а значит, меньше нуля (например, $-5 < 0$).

Таким образом, чтобы сравнить два числа, достаточно мысленно или на чертеже расположить их на координатной прямой и посмотреть, какая точка находится правее.
Ответ: Из двух чисел большим является то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньшим — то, которое расположено левее.

2. Как можно сравнить два отрицательных числа, сравнивая их модули?

Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули. Правило сравнения следующее: из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, и, наоборот, меньше то число, у которого модуль больше.

Это правило объясняется положением чисел на координатной прямой. Модуль числа (его абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля. Отрицательные числа расположены слева от нуля. Чем дальше число находится от нуля (т.е. чем больше его модуль), тем оно левее на прямой, а значит, оно меньше.

Алгоритм сравнения:

1. Найти модули двух сравниваемых отрицательных чисел.
2. Сравнить полученные модули (это будут положительные числа).
3. Сделать вывод на основе правила: то отрицательное число, чей модуль оказался больше, является меньшим, а то, чей модуль меньше, — большим.

Пример:

Сравним числа $-32$ и $-17$.

• 1. Находим модули:
  Модуль числа $-32$ равен $32$, то есть $|-32| = 32$.
  Модуль числа $-17$ равен $17$, то есть $|-17| = 17$.
• 2. Сравниваем модули:
  $32 > 17$.
• 3. Делаем вывод:
  Поскольку модуль числа $-32$ больше модуля числа $-17$, само число $-32$ меньше числа $-17$.

Таким образом, $-32 < -17$.

Ответ: Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, а меньше то, модуль которого больше.

3. Какое из двух чисел больше: положительное или отрицательное? отрицательное или нуль? положительное или нуль?

положительное или отрицательное?
Любое положительное число по определению больше нуля, а любое отрицательное число — меньше нуля. Если обозначить положительное число как $a$, а отрицательное как $b$, то мы имеем неравенства $a > 0$ и $b < 0$.
Из этих двух неравенств следует, что $a > b$. Это можно наглядно представить на числовой оси: все положительные числа располагаются правее нуля, а все отрицательные — левее. Любое число, расположенное правее на числовой оси, всегда больше числа, расположенного левее.
Таким образом, любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Например, $5 > -3$.
Ответ: положительное число больше.

отрицательное или нуль?
Отрицательное число по определению — это число, которое меньше нуля. Если $b$ — это любое отрицательное число, то для него верно неравенство $b < 0$.
Это неравенство показывает, что нуль ($0$) больше любого отрицательного числа ($b$).
На числовой оси нуль находится правее любого отрицательного числа, следовательно, нуль больше.
Например, $0 > -100$.
Ответ: нуль больше.

положительное или нуль?
Положительное число по определению — это число, которое больше нуля. Если $a$ — это любое положительное число, то для него верно неравенство $a > 0$.
Это неравенство показывает, что любое положительное число ($a$) больше нуля ($0$).
На числовой оси любое положительное число находится правее нуля, следовательно, оно больше.
Например, $0.5 > 0$.
Ответ: положительное число больше.

4. Как в виде неравенства можно записать, что число $a$ является:

1) положительным: $a > 0$

2) отрицательным: $a < 0$

3) неотрицательным: $a \ge 0$

4) неположительным: $a \le 0$

1) положительным
Положительное число — это число, которое больше нуля. Следовательно, чтобы записать, что число $a$ является положительным, нужно использовать знак "больше".
Ответ: $a > 0$

2) отрицательным
Отрицательное число — это число, которое меньше нуля. Чтобы записать, что число $a$ является отрицательным, нужно использовать знак "меньше".
Ответ: $a < 0$

3) неотрицательным
Неотрицательное число — это число, которое не является отрицательным. Это означает, что оно может быть либо положительным, либо равным нулю. Для этого используется знак "больше или равно".
Ответ: $a \ge 0$

4) неположительным
Неположительное число — это число, которое не является положительным. Это означает, что оно может быть либо отрицательным, либо равным нулю. Для этого используется знак "меньше или равно".
Ответ: $a \le 0$

1. Какое из двух чисел расположено на координатной прямой левее:

1) $-8$ или $-15$;
2) $9.5$ или $-7$;
3) $-3.2$ или $-2$?

1) -8 или -15;

Чтобы определить, какое из двух чисел расположено левее на координатной прямой, нужно их сравнить. Меньшее число всегда находится левее большего.
Сравним числа -8 и -15. Оба числа отрицательные. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
Найдем модули данных чисел: $|-8| = 8$ и $|-15| = 15$.
Поскольку $15 > 8$, то $-15 < -8$.
Следовательно, число -15 расположено левее числа -8.
Ответ: -15.

2) 9,5 или -7;

Сравним числа 9,5 и -7.
Одно число положительное (9,5), а другое отрицательное (-7). Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Следовательно, $-7 < 9,5$.
Так как -7 меньше, чем 9,5, оно расположено на координатной прямой левее.
Ответ: -7.

3) -3,2 или -2?

Сравним числа -3,2 и -2.
Оба числа являются отрицательными. Применяем правило сравнения отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше.
Найдем модули чисел: $|-3,2| = 3,2$ и $|-2| = 2$.
Так как $3,2 > 2$, то $-3,2 < -2$.
Значит, число -3,2 расположено на координатной прямой левее числа -2.
Ответ: -3,2.

2. Вычислите значение выражения:

1) $|1,9| + |-11|$;

2) $|-20| - |-12,4|$;

3) $|0,7| \cdot |-0,8|$;

4) $|-4,8| : |8|.$

Для решения данных примеров необходимо вспомнить определение модуля (абсолютной величины) числа. Модуль числа — это расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль положительного числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательного числа — противоположному ему положительному числу. Иначе говоря, $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

1) $|1,9| + |-11|$

Сначала найдем модули каждого из чисел:

Модуль числа $1,9$ равен самому числу, так как оно положительное: $|1,9| = 1,9$.

Модуль числа $-11$ равен противоположному ему числу $11$, так как оно отрицательное: $|-11| = 11$.

Теперь выполним сложение полученных значений:

$1,9 + 11 = 12,9$.

Ответ: $12,9$.

2) $|-20| - |-12,4|$

Найдем модули каждого из чисел:

$|-20| = 20$.

$|-12,4| = 12,4$.

Теперь выполним вычитание:

$20 - 12,4 = 7,6$.

Ответ: $7,6$.

3) $|0,7| \cdot |-0,8|$

Найдем модули каждого из чисел:

$|0,7| = 0,7$.

$|-0,8| = 0,8$.

Теперь выполним умножение:

$0,7 \cdot 0,8 = 0,56$.

Ответ: $0,56$.

4) $|-4,8| : |8|$

Найдем модули каждого из чисел:

$|-4,8| = 4,8$.

$|8| = 8$.

Теперь выполним деление:

$4,8 : 8 = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

3. Сравните модули чисел:

1) $-4$ и $6$;

2) $-5$ и $-12$;

3) $3,8$ и $4,6$;

4) $-2,4$ и $5,1$.

Чтобы сравнить модули чисел, необходимо сначала найти модуль каждого числа. Модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от начала координат до точки, представляющей это число на числовой прямой. Модуль всегда является неотрицательным числом.

• Модуль положительного числа равен самому числу: $|a| = a$, если $a > 0$.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу: $|-a| = a$, если $a > 0$.
• Модуль нуля равен нулю: $|0| = 0$.

1) -4 и 6;

Найдем модуль числа -4: $|-4| = 4$.
Найдем модуль числа 6: $|6| = 6$.
Сравним полученные значения: $4 < 6$.
Следовательно, $|-4| < |6|$.
Ответ: $|-4| < |6|$.

2) -5 и -12;

Найдем модуль числа -5: $|-5| = 5$.
Найдем модуль числа -12: $|-12| = 12$.
Сравним полученные значения: $5 < 12$.
Следовательно, $|-5| < |-12|$.
Ответ: $|-5| < |-12|$.

3) 3,8 и 4,6;

Найдем модуль числа 3,8: $|3,8| = 3,8$.
Найдем модуль числа 4,6: $|4,6| = 4,6$.
Сравним полученные значения: $3,8 < 4,6$.
Следовательно, $|3,8| < |4,6|$.
Ответ: $|3,8| < |4,6|$.

4) -2,4 и 5,1.

Найдем модуль числа -2,4: $|-2,4| = 2,4$.
Найдем модуль числа 5,1: $|5,1| = 5,1$.
Сравним полученные значения: $2,4 < 5,1$.
Следовательно, $|-2,4| < |5,1|$.
Ответ: $|-2,4| < |5,1|$.

4. Укажите целые значения $a$, при которых верно неравенство $|a| < 5.3$.

Исходное неравенство: $|a| < 5,3$.

По определению модуля, неравенство вида $|x| < k$ (где $k > 0$) эквивалентно двойному неравенству $-k < x < k$.

Применим это правило к заданному неравенству:
$-5,3 < a < 5,3$.

В задаче требуется найти все целые значения $a$, которые удовлетворяют этому условию. Целые числа — это числа без дробной части (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...).

Выберем все целые числа, которые находятся в интервале от $-5,3$ до $5,3$.
Двигаясь по числовой оси слева направо, получаем следующие целые числа: -5 (поскольку $-5 > -5,3$), -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 (поскольку $5 < 5,3$).
Следующее целое число 6 уже не входит в интервал, так как $6 > 5,3$. Предыдущее целое число -6 также не входит, так как $-6 < -5,3$.

Таким образом, искомыми целыми значениями $a$ являются числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.