Страница 211 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1003. Для каждого из чисел 12; 6,8; $ - \frac{1}{19} $; -453,9 запишите другое число, имеющее тот же модуль, что и данное.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой. Модуль всегда является неотрицательной величиной. Для любого ненулевого числа $a$ существует противоположное ему число $-a$. Эти два числа имеют одинаковый модуль: $|a| = |-a|$.

Задача состоит в том, чтобы для каждого данного числа найти другое число с таким же модулем, то есть найти его противоположное.

12

Модуль положительного числа 12 равен самому числу: $|12| = 12$.
Другое число с таким же модулем — это противоположное ему число, то есть -12. Проверка: $|-12| = 12$.

Ответ: -12.

6,8

Модуль положительного числа 6,8 равен самому числу: $|6,8| = 6,8$.
Другое число с таким же модулем — это противоположное ему число, то есть -6,8. Проверка: $|-6,8| = 6,8$.

Ответ: -6,8.

$-\frac{1}{19}$

Модуль отрицательного числа $-\frac{1}{19}$ равен противоположному ему положительному числу: $|-\frac{1}{19}| = \frac{1}{19}$.
Другое число с таким же модулем — это противоположное ему число, то есть $\frac{1}{19}$. Проверка: $|\frac{1}{19}| = \frac{1}{19}$.

Ответ: $\frac{1}{19}$.

-453,9

Модуль отрицательного числа -453,9 равен противоположному ему положительному числу: $|-453,9| = 453,9$.
Другое число с таким же модулем — это противоположное ему число, то есть 453,9. Проверка: $|453,9| = 453,9$.

Ответ: 453,9.

1004. Верно ли утверждение:

1) противоположные числа – это числа, имеющие разные знаки;

2) противоположные числа – это числа, имеющие разные знаки и равные модули?

1) противоположные числа — это числа, имеющие разные знаки;

Данное утверждение неверно. То, что числа имеют разные знаки, является необходимым, но не достаточным условием, чтобы они были противоположными. Для того чтобы два числа были противоположными, они должны не только иметь разные знаки, но и быть равными по модулю (по абсолютной величине).

Например, числа 10 и -2 имеют разные знаки, но они не являются противоположными, так как их модули не равны: $|10| = 10$, а $|-2| = 2$. Противоположным числу 10 является число -10.

Ответ: неверно.

2) противоположные числа — это числа, имеющие разные знаки и равные модули?

Да, это утверждение верно. Оно представляет собой полное определение противоположных чисел (для всех чисел, кроме нуля). Два ненулевых числа называются противоположными, если они отличаются друг от друга только знаком, что равносильно тому, что у них разные знаки и равные модули.

Например, рассмотрим числа 5 и -5. Они имеют разные знаки. Их модули равны: $|5| = 5$ и $|-5| = 5$. Следовательно, они являются противоположными. Важным свойством противоположных чисел является то, что их сумма равна нулю: $5 + (-5) = 0$.

Ответ: верно.

1005. Решите уравнение:

1) $|x| = 12;$

2) $|x| = -8;$

3) $|x| = 0;$

4) $|-x| = 2,4.$

1) $|x| = 12$

По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 12$ означает, что мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 12.

На координатной прямой есть две такие точки: 12 и -12.

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 12$ и $x_2 = -12$.

Ответ: -12; 12.

2) $|x| = -8$

Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной. То есть, для любого числа $x$ выполняется неравенство $|x| \ge 0$.

В данном уравнении модуль числа $x$ приравнивается к отрицательному числу -8, что невозможно.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

3) $|x| = 0$

Модуль числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю.

Следовательно, $x = 0$.

Ответ: 0.

4) $|-x| = 2,4$

Модули противоположных чисел равны, то есть $|-a| = |a|$. Используя это свойство, мы можем переписать уравнение в виде $|x| = 2,4$.

Это уравнение, аналогично первому пункту, означает, что расстояние от числа $x$ до нуля равно 2,4.

Таких чисел два: 2,4 и -2,4.

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 2,4$ и $x_2 = -2,4$.

Ответ: -2,4; 2,4.

1006. Отметьте на координатной прямой числа, модуль которых равен:

1) $5$;

2) $7$;

3) $2,5$;

4) $0$;

5) $3,5$;

6) $4$.

1)
Требуется найти числа, модуль которых равен 5. Модуль числа (или абсолютная величина) — это расстояние от начала отсчёта (точки 0) до точки, изображающей это число на координатной прямой. Таким образом, нам нужно найти все числа $x$, для которых выполняется условие $|x| = 5$.
На координатной прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5: это точка с координатой 5 (вправо от нуля) и точка с координатой -5 (влево от нуля).
Ответ: -5 и 5.

2)
Найдём числа, модуль которых равен 7. Это означает, что мы ищем числа $x$, удовлетворяющие уравнению $|x| = 7$.
Такие числа находятся на расстоянии 7 единиц от нуля на координатной прямой. Это число 7 (в положительном направлении) и число -7 (в отрицательном направлении).
Ответ: -7 и 7.

3)
Найдём числа, модуль которых равен 2,5. Мы решаем уравнение $|x| = 2,5$.
Числа, модуль которых равен 2,5, находятся на расстоянии 2,5 единиц от нуля. Это числа 2,5 и -2,5.
На координатной прямой нужно отметить точки с этими координатами.
Ответ: -2,5 и 2,5.

4)
Найдём число, модуль которого равен 0. Решаем уравнение $|x| = 0$.
Расстояние от нуля равно нулю только для одной точки — самой точки нуль. Следовательно, существует только одно такое число.
Ответ: 0.

5)
Найдём числа, модуль которых равен 3,5. Мы решаем уравнение $|x| = 3,5$.
Числа, модуль которых равен 3,5, находятся на расстоянии 3,5 единиц от нуля на координатной прямой. Это числа 3,5 и -3,5.
Ответ: -3,5 и 3,5.

6)
Найдём числа, модуль которых равен 4. Решаем уравнение $|x| = 4$.
На координатной прямой есть две точки, удалённые от нуля на 4 единицы. Это точки с координатами 4 и -4.
Ответ: -4 и 4.

1007. Решите уравнение:

1) $|x|=3.7$;

2) $|x|=-7.4$;

3) $|x|=0.1$.

1) $|x| = 3,7$

Уравнение вида $|x| = a$, где $a$ — положительное число, всегда имеет два корня. Это связано с тем, что модуль (абсолютная величина) числа показывает расстояние от точки, соответствующей этому числу, до начала координат на числовой прямой. Существуют две точки, находящиеся на расстоянии $a$ от нуля: $a$ и $-a$.

В данном случае $a = 3,7$. Следовательно, уравнение имеет два решения:

$x_1 = 3,7$

$x_2 = -3,7$

Ответ: $3,7; -3,7$.

2) $|x| = -7,4$

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого значения $x$. В правой части уравнения стоит отрицательное число $(-7,4)$.

Поскольку неотрицательное значение (модуль) не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

3) $|x| = 0,1$

Это уравнение, как и в первом пункте, имеет вид $|x| = a$, где $a > 0$. Мы ищем числа, расстояние от которых до нуля на координатной прямой равно $0,1$.

Таких чисел два: одно положительное, другое отрицательное.

$x_1 = 0,1$

$x_2 = -0,1$

Ответ: $0,1; -0,1$.

1008. Расположите числа -2,2; 8,6; 0,9; -6,8; -17,6; 0; 15 в порядке убывания их модулей.

Чтобы расположить данные числа в порядке убывания их модулей, необходимо сначала найти модуль каждого числа. Модуль (или абсолютная величина) числа — это его значение без учета знака. Геометрически это расстояние от нуля до точки, обозначающей число на числовой прямой. Модуль любого числа является неотрицательной величиной.

Даны числа: –2,2; 8,6; 0,9; –6,8; –17,6; 0; 15.

Вычислим модуль каждого из них:

• Модуль числа –2,2: $|–2,2| = 2,2$

• Модуль числа 8,6: $|8,6| = 8,6$

• Модуль числа 0,9: $|0,9| = 0,9$

• Модуль числа –6,8: $|–6,8| = 6,8$

• Модуль числа –17,6: $|–17,6| = 17,6$

• Модуль числа 0: $|0| = 0$

• Модуль числа 15: $|15| = 15$

Теперь у нас есть ряд модулей: 2,2; 8,6; 0,9; 6,8; 17,6; 0; 15.

Расположим эти модули в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему):

17,6; 15; 8,6; 6,8; 2,2; 0,9; 0.

Наконец, запишем исходные числа в том же порядке, в котором расположены их модули:

• Модулю 17,6 соответствует исходное число –17,6.

• Модулю 15 соответствует исходное число 15.

• Модулю 8,6 соответствует исходное число 8,6.

• Модулю 6,8 соответствует исходное число –6,8.

• Модулю 2,2 соответствует исходное число –2,2.

• Модулю 0,9 соответствует исходное число 0,9.

• Модулю 0 соответствует исходное число 0.

Итоговая последовательность чисел:

–17,6; 15; 8,6; –6,8; –2,2; 0,9; 0.

Ответ: –17,6; 15; 8,6; –6,8; –2,2; 0,9; 0.

1009. Расположите числа -9,4; 3; 4,7; -2,8; 0,4; -10,5 в порядке возрастания их модулей.

Чтобы расположить заданные числа в порядке возрастания их модулей, необходимо найти модуль каждого числа, а затем упорядочить исходные числа в соответствии с возрастанием их модулей.

Исходный ряд чисел: $-9,4$; $3$; $4,7$; $-2,8$; $0,4$; $-10,5$.

1. Найдем модуль (абсолютную величину) каждого числа. Модуль числа является расстоянием от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля) и всегда является неотрицательной величиной.

$|-9,4| = 9,4$
$|3| = 3$
$|4,7| = 4,7$
$|-2,8| = 2,8$
$|0,4| = 0,4$
$|-10,5| = 10,5$

2. Расположим полученные модули в порядке возрастания.

Сравнивая значения модулей, получаем следующий ряд: $0,4$; $2,8$; $3$; $4,7$; $9,4$; $10,5$.

Это можно записать в виде неравенства: $0,4 < 2,8 < 3 < 4,7 < 9,4 < 10,5$.

3. Запишем исходные числа в порядке, соответствующем возрастанию их модулей.

Каждому значению модуля в упорядоченном ряду мы ставим в соответствие исходное число:

$0,4 \rightarrow 0,4$
$2,8 \rightarrow -2,8$
$3 \rightarrow 3$
$4,7 \rightarrow 4,7$
$9,4 \rightarrow -9,4$
$10,5 \rightarrow -10,5$

Таким образом, итоговый ряд чисел, расположенных в порядке возрастания их модулей, выглядит следующим образом.

Ответ: $0,4$; $-2,8$; $3$; $4,7$; $-9,4$; $-10,5$.

1010. Запишите все целые числа, $|x| < 3.6$.

По условию задачи требуется найти все целые числа, модуль которых меньше 3,6. Обозначим искомое целое число как $x$. Тогда условие можно записать в виде неравенства:

$|x| < 3,6$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-3,6 < x < 3,6$

Теперь необходимо найти все целые числа, которые находятся в интервале от -3,6 до 3,6. Перечислим их:

...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...

Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Проверим крайние значения:
$|-3| = 3$, что меньше 3,6.
$|3| = 3$, что меньше 3,6.
Для следующего по модулю целого числа, 4:
$|4| = 4$, что больше 3,6.
$|-4| = 4$, что больше 3,6.
Следовательно, числа 4 и -4 (и все последующие по модулю) не подходят.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

1011. Запишите три положительных и три отрицательных целых числа, модули которых больше 9,2.

Условие задачи заключается в поиске целых чисел $x$, для которых выполняется неравенство $|x| > 9,2$. Модуль числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой, поэтому он всегда неотрицателен.

Три положительных целых числа

Для любого положительного числа $x$ его модуль равен самому числу: $|x| = x$. Следовательно, нам нужно найти целые числа, удовлетворяющие неравенству $x > 9,2$. Первое целое число, которое больше 9,2, — это 10. Любое целое число, большее или равное 10, будет удовлетворять этому условию (например, 11, 12, 100 и т.д.). В качестве примера выберем три наименьших подходящих числа.
Проверка: $|10| = 10$, и $10 > 9,2$. $|11| = 11$, и $11 > 9,2$. $|12| = 12$, и $12 > 9,2$.
Ответ: 10, 11, 12.

Три отрицательных целых числа

Для любого отрицательного числа $x$ его модуль равен противоположному ему числу: $|x| = -x$. Следовательно, нам нужно найти целые числа, удовлетворяющие неравенству $-x > 9,2$. Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x < -9,2$. Первое целое число (наибольшее), которое меньше -9,2, — это -10. Любое целое число, меньшее или равное -10, будет удовлетворять этому условию (например, -11, -12, -100 и т.д.). В качестве примера выберем три наибольших подходящих числа.
Проверка: $|-10| = 10$, и $10 > 9,2$. $|-11| = 11$, и $11 > 9,2$. $|-12| = 12$, и $12 > 9,2$.
Ответ: -10, -11, -12.

1012. Отметьте на координатной прямой целые значения x, при которых верно неравенство:

1) $|x| < 4$;

2) $1,2 < |x| < 5$.

1)

Неравенство $|x| < 4$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат (точки 0) меньше 4. Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-4 < x < 4$
Нам нужно найти все целые значения $x$, которые удовлетворяют этому условию, то есть находятся в интервале от -4 до 4, не включая концы интервала.
Перечислим эти целые числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Отметим эти значения на координатной прямой:

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

2)

Рассмотрим двойное неравенство $1,2 < |x| < 5$. Это означает, что расстояние от точки $x$ до нуля больше 1,2, но меньше 5.
Такое неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств, или, что проще, двум отдельным интервалам.
Раскроем модуль:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $1,2 < x < 5$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: 2, 3, 4.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $1,2 < -x < 5$. Умножим все части на -1 и изменим знаки неравенства на противоположные: $-5 < x < -1,2$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: -4, -3, -2.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем искомые целые значения $x$: -4, -3, -2, 2, 3, 4.

Отметим эти значения на координатной прямой:

Ответ: -4, -3, -2, 2, 3, 4.

1013. Отметьте на координатной прямой целые значения $x$, при которых

верно неравенство:

1) $|x| < 6,1;$

2) $3,4 < |x| < 5,2.$

Дано неравенство $|x| < 6,1$.
Неравенство с модулем вида $|a| < b$ равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
Следовательно, наше неравенство можно переписать в виде:
$-6,1 < x < 6,1$.
Требуется найти все целые значения $x$, которые находятся в этом интервале.
Выпишем все целые числа, которые больше $-6,1$ и меньше $6,1$:
$-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
Отметим эти значения на координатной прямой:

Ответ: $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Дано двойное неравенство $3,4 < |x| < 5,2$.
Это неравенство можно разбить на совокупность двух систем, в зависимости от знака $x$.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид: $3,4 < x < 5,2$.
Целые числа, удовлетворяющие этому условию: $4, 5$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид: $3,4 < -x < 5,2$.
Умножим все части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-3,4 > x > -5,2$, что то же самое, что и $-5,2 < x < -3,4$.
Целые числа, удовлетворяющие этому условию: $-5, -4$.
Объединив решения из обоих случаев, получаем искомые целые значения $x$: $-5, -4, 4, 5$.
Отметим эти значения на координатной прямой:

Ответ: $-5, -4, 4, 5$.

1014. Для какого числа выполняются оба равенства $|a| = a$ и $|a| = -a$?

Данная задача требует найти число a, для которого одновременно выполняются два равенства: $|a| = a$ и $|a| = -a$.

Рассмотрим каждое равенство по отдельности, исходя из определения модуля (абсолютной величины) числа.

1. Первое равенство: $|a| = a$.

По определению, модуль числа равен самому числу, если это число неотрицательное (то есть больше или равно нулю). Таким образом, это равенство справедливо для всех $a \ge 0$.

2. Второе равенство: $|a| = -a$.

По определению, модуль числа равен противоположному ему числу, если это число неположительное (то есть меньше или равно нулю). Таким образом, это равенство справедливо для всех $a \le 0$.

Чтобы оба равенства выполнялись одновременно, число a должно удовлетворять обоим условиям:

$a \ge 0$ и $a \le 0$.

Единственное число, которое одновременно больше или равно нулю и меньше или равно нулю, — это нуль.

Проверим подстановкой $a=0$ в исходные равенства:

$|0| = 0$ (верно).

$|0| = -0$ (верно, так как $-0=0$).

Следовательно, оба равенства выполняются только для числа 0.

Ответ: 0.

1015. Существует ли такое число a, что:

1) $|a| = -|a|$;

2) $|-a| = -|a|$?

1) Рассмотрим уравнение $|a| = -|a|$. По определению, модуль числа $|a|$ всегда является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$. Соответственно, выражение $-|a|$ всегда является неположительной величиной, то есть $-|a| \le 0$. Равенство между неотрицательным и неположительным числом возможно только в том случае, когда оба этих числа равны нулю. Следовательно, равенство $|a| = -|a|$ выполняется только при условии, что $|a| = 0$. Уравнение $|a| = 0$ имеет единственное решение: $a = 0$.
Давайте проверим, подставив $a=0$ в исходное равенство: $|0| = -|0|$ $0 = 0$ Равенство верно.
Ответ: да, существует, $a = 0$.

2) Рассмотрим уравнение $|-a| = -|a|$. Воспользуемся свойством модуля, согласно которому модули противоположных чисел равны: $|-x| = |x|$. Применив это свойство к левой части нашего уравнения, получим: $|-a| = |a|$. Теперь исходное уравнение можно переписать в виде: $|a| = -|a|$. Это уравнение в точности совпадает с уравнением из первого пункта. Как мы уже выяснили, оно имеет единственное решение $a = 0$.
Давайте проверим, подставив $a=0$ в исходное равенство: $|-0| = -|0|$ $|0| = -0$ $0 = 0$ Равенство верно.
Ответ: да, существует, $a = 0$.

1016. Найдите расстояние от точки A ($a$) до точки B ($4$), если $\left|a\right| = 7$.

Расстояние между точками $A(a)$ и $B(4)$ на координатной прямой вычисляется как модуль разности их координат: $d = |4 - a|$.

По условию задачи дано, что $|a| = 7$. Это уравнение означает, что координата точки $A$ может принимать два значения: $a = 7$ или $a = -7$. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: $a = 7$

Если координата точки A равна 7, то есть $A(7)$, то расстояние до точки $B(4)$ составит:

$d = |4 - 7| = |-3| = 3$.

Случай 2: $a = -7$

Если координата точки A равна -7, то есть $A(-7)$, то расстояние до точки $B(4)$ составит:

$d = |4 - (-7)| = |4 + 7| = |11| = 11$.

Таким образом, в зависимости от знака координаты $a$, расстояние может быть равно 3 или 11.

Ответ: 3 или 11.

1017. Найдите расстояние от точки A (a) до точки B (-2), если $|a| = 4$.

Нам нужно найти расстояние между точкой $A(a)$ и точкой $B(-2)$ на координатной прямой. По условию, модуль координаты точки A равен 4, что записывается как $|a| = 4$.

Уравнение $|a| = 4$ означает, что координата $a$ может принимать два значения: $a=4$ или $a=-4$. Следовательно, мы должны рассмотреть два возможных случая.

1. Если $a = 4$.
В этом случае мы находим расстояние между точками $A(4)$ и $B(-2)$. Расстояние между двумя точками на числовой прямой равно модулю разности их координат.
Расстояние $AB = |4 - (-2)| = |4 + 2| = |6| = 6$.
Ответ: 6.

2. Если $a = -4$.
В этом случае мы находим расстояние между точками $A(-4)$ и $B(-2)$.
Расстояние $AB = |-2 - (-4)| = |-2 + 4| = |2| = 2$.
Ответ: 2.

Таким образом, в зависимости от значения $a$, расстояние может быть равно 6 или 2.

1018. Верно ли утверждение:

1) если $a = b$, то $|a| = |b|$;

2) если $|a| = |b|$, то $a = b$;

3) если $a = -b$, то $|a| = |b|$;

4) если $a = b$, то $|a| = b$;

5) если $|a| = |b|$, то $a = b$ или $a = -b$;

6) если $a$ — целое число, то $|a|$ — натуральное число?

1) если a = b, то |a| = |b|
Утверждение верно. Модуль (абсолютная величина) числа — это функция, которая сопоставляет каждому числу его расстояние от нуля. Если два числа равны ($a=b$), это означает, что они представляют одну и ту же точку на числовой прямой. Следовательно, их расстояние до нуля также будет одинаковым. Например, если $a = b = -7$, то $|a| = |-7| = 7$ и $|b| = |-7| = 7$.
Ответ: да, верно.

2) если |a| = |b|, то a = b
Утверждение неверно. Равенство модулей означает, что числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Это возможно, даже если числа не равны, а являются противоположными. Например, возьмем $a = 5$ и $b = -5$. В этом случае $|a| = |5| = 5$ и $|b| = |-5| = 5$. Условие $|a| = |b|$ выполняется, но $a \ne b$.
Ответ: нет, неверно.

3) если a = -b, то |a| = |b|
Утверждение верно. Если $a = -b$, то числа $a$ и $b$ являются противоположными (например, 5 и -5). Противоположные числа всегда имеют равные модули, так как они находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Из свойства модуля известно, что $|-x| = |x|$. Подставив $a = -b$, получаем $|a| = |-b| = |b|$.
Ответ: да, верно.

4) если a = b, то |a| = b
Утверждение неверно. Оно справедливо только для неотрицательных чисел. Если $a$ и $b$ — отрицательные числа, то утверждение ложно. Например, если $a = b = -3$, то $|a| = |-3| = 3$. Но $b = -3$. Получается, что $|a| \ne b$ ($3 \ne -3$).
Ответ: нет, неверно.

5) если |a| = |b|, то a = b или a = -b
Утверждение верно. Как было показано в пункте 2, равенство модулей означает, что числа либо равны, либо противоположны. Это утверждение как раз и перечисляет оба этих случая. Это является основным свойством при решении уравнений с модулями вида $|f(x)| = |g(x)|$.
Ответ: да, верно.

6) если a — целое число, то |a| — натуральное число?
Утверждение неверно. Натуральные числа — это числа, используемые для счета ($1, 2, 3, \ldots$). Целые числа включают натуральные числа, им противоположные и ноль ($\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$). Если взять целое число $a = 0$, то его модуль $|a| = |0| = 0$. Число 0 не является натуральным. Поэтому утверждение в общем случае неверно, хотя для всех ненулевых целых чисел оно выполняется.
Ответ: нет, неверно.