Номер 1018, страница 211 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Модуль числа. Глава 4. Рациональные числа - номер 1018, страница 211.

Условие.

1018. Верно ли утверждение:

1) если $a = b$, то $|a| = |b|$;

2) если $|a| = |b|$, то $a = b$;

3) если $a = -b$, то $|a| = |b|$;

4) если $a = b$, то $|a| = b$;

5) если $|a| = |b|$, то $a = b$ или $a = -b$;

6) если $a$ — целое число, то $|a|$ — натуральное число?

Решение.

Решение 2.

1) если a = b, то |a| = |b|
Утверждение верно. Модуль (абсолютная величина) числа — это функция, которая сопоставляет каждому числу его расстояние от нуля. Если два числа равны ($a=b$), это означает, что они представляют одну и ту же точку на числовой прямой. Следовательно, их расстояние до нуля также будет одинаковым. Например, если $a = b = -7$, то $|a| = |-7| = 7$ и $|b| = |-7| = 7$.
Ответ: да, верно.

2) если |a| = |b|, то a = b
Утверждение неверно. Равенство модулей означает, что числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Это возможно, даже если числа не равны, а являются противоположными. Например, возьмем $a = 5$ и $b = -5$. В этом случае $|a| = |5| = 5$ и $|b| = |-5| = 5$. Условие $|a| = |b|$ выполняется, но $a \ne b$.
Ответ: нет, неверно.

3) если a = -b, то |a| = |b|
Утверждение верно. Если $a = -b$, то числа $a$ и $b$ являются противоположными (например, 5 и -5). Противоположные числа всегда имеют равные модули, так как они находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Из свойства модуля известно, что $|-x| = |x|$. Подставив $a = -b$, получаем $|a| = |-b| = |b|$.
Ответ: да, верно.

4) если a = b, то |a| = b
Утверждение неверно. Оно справедливо только для неотрицательных чисел. Если $a$ и $b$ — отрицательные числа, то утверждение ложно. Например, если $a = b = -3$, то $|a| = |-3| = 3$. Но $b = -3$. Получается, что $|a| \ne b$ ($3 \ne -3$).
Ответ: нет, неверно.

5) если |a| = |b|, то a = b или a = -b
Утверждение верно. Как было показано в пункте 2, равенство модулей означает, что числа либо равны, либо противоположны. Это утверждение как раз и перечисляет оба этих случая. Это является основным свойством при решении уравнений с модулями вида $|f(x)| = |g(x)|$.
Ответ: да, верно.

6) если a — целое число, то |a| — натуральное число?
Утверждение неверно. Натуральные числа — это числа, используемые для счета ($1, 2, 3, \ldots$). Целые числа включают натуральные числа, им противоположные и ноль ($\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$). Если взять целое число $a = 0$, то его модуль $|a| = |0| = 0$. Число 0 не является натуральным. Поэтому утверждение в общем случае неверно, хотя для всех ненулевых целых чисел оно выполняется.
Ответ: нет, неверно.