Страница 204 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

974. Являются ли противоположными числа:

1) 0,6 и $- \frac{3}{5}$;

2) 2,5 и $\frac{5}{2}$;

3) -1,25 и $\frac{5}{4}$;

4) -1,5 и $- \frac{2}{3}$?

Противоположными называются два числа, которые имеют одинаковые модули, но разные знаки. Их сумма равна нулю. Чтобы определить, являются ли данные пары чисел противоположными, приведем их к одному виду (десятичной или обыкновенной дроби) и сравним.

1) 0,6 и $-\frac{3}{5}$
Переведем десятичную дробь $0,6$ в обыкновенную дробь.
$0,6 = \frac{6}{10}$. Сократив дробь на 2, получим $\frac{3}{5}$.
Теперь сравним числа $\frac{3}{5}$ и $-\frac{3}{5}$. Эти числа отличаются только знаком. Их сумма равна $\frac{3}{5} + (-\frac{3}{5}) = 0$.
Следовательно, числа являются противоположными.
Ответ: да, числа являются противоположными.

2) 2,5 и $\frac{5}{2}$
Переведем обыкновенную дробь $\frac{5}{2}$ в десятичную.
$\frac{5}{2} = 5 : 2 = 2,5$.
Теперь сравним числа $2,5$ и $2,5$. Эти числа равны. Противоположным для числа $2,5$ является число $-2,5$.
Следовательно, данные числа не являются противоположными.
Ответ: нет, числа не являются противоположными (они равны).

3) -1,25 и $\frac{5}{4}$
Переведем обыкновенную дробь $\frac{5}{4}$ в десятичную.
$\frac{5}{4} = 5 : 4 = 1,25$.
Теперь сравним числа $-1,25$ и $1,25$. Эти числа имеют одинаковый модуль, но противоположные знаки. Их сумма равна $-1,25 + 1,25 = 0$.
Следовательно, числа являются противоположными.
Ответ: да, числа являются противоположными.

4) -1,5 и $\frac{2}{3}$
Сравним модули этих чисел.
Модуль первого числа: $|-1,5| = 1,5$.
Модуль второго числа: $|\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$.
Переведем $1,5$ в обыкновенную дробь: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Поскольку $\frac{3}{2} \neq \frac{2}{3}$, модули чисел не равны.
Следовательно, числа не могут быть противоположными.
Ответ: нет, числа не являются противоположными.

975. Верно ли утверждение:

1) $\frac{4}{15}$ - положительное число;

2) $\frac{4}{15}$ - рациональное число;

3) $-4$ - отрицательное число;

4) $-4$ - натуральное число;

5) $-4$ - целое число;

6) $-4$ - рациональное число;

7) $0$ - натуральное число;

8) $0$ - целое число;

9) $0$ - рациональное число;

10) $0$ - положительное число?

1) Положительное число — это число, которое больше нуля. Дробь $\frac{4}{15}$ больше нуля, так как и числитель (4), и знаменатель (15) являются положительными числами.
Ответ: верно.

2) Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Число $\frac{4}{15}$ уже представлено в таком виде.
Ответ: верно.

3) Отрицательное число — это число, которое меньше нуля. Так как $-4 < 0$, это утверждение верно.
Ответ: верно.

4) Натуральные числа — это числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Они являются положительными целыми числами. Число $-4$ — отрицательное, поэтому оно не является натуральным.
Ответ: неверно.

5) Целые числа — это натуральные числа, им противоположные и ноль ($...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...$). Число $-4$ входит в это множество.
Ответ: верно.

6) Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $-4 = \frac{-4}{1}$.
Ответ: верно.

7) Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов: 1, 2, 3 и так далее. Ноль не входит в множество натуральных чисел.
Ответ: неверно.

8) Множество целых чисел включает в себя натуральные числа, противоположные им числа и ноль. Следовательно, 0 является целым числом.
Ответ: верно.

9) Ноль является рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$.
Ответ: верно.

10) Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Положительные числа — это числа, которые строго больше нуля.
Ответ: неверно.

976. Выберите из чисел $5; -7; 0; \frac{1}{2}; -3,7; 8,6; -125; 324; 15\frac{3}{7}; -27\frac{11}{19}; -2; 35; 13,65; -79; 976:$

1) натуральные;

2) целые;

3) положительные;

4) неположительные;

5) целые отрицательные;

6) дробные неотрицательные.

Для решения задачи проанализируем данный ряд чисел: 5; -7; 0; $ \frac{1}{2} $; -3,7; 8,6; -125; 324; $ 15\frac{3}{7} $; $ -27\frac{11}{19} $; -2; 35; 13,65; -79; 976.

1) натуральные

Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счете. Из данного списка к натуральным относятся:

Ответ: 5; 324; 35; 976.

2) целые

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль. Из данного списка к целым относятся:

Ответ: 5; -7; 0; -125; 324; -2; 35; -79; 976.

3) положительные

Положительные числа — это все числа, которые больше нуля. В эту категорию входят как целые, так и дробные числа.

Ответ: 5; $ \frac{1}{2} $; 8,6; 324; $ 15\frac{3}{7} $; 35; 13,65; 976.

4) неположительные

Неположительные числа — это все числа, которые меньше или равны нулю. К ним относятся все отрицательные числа и ноль.

Ответ: -7; 0; -3,7; -125; $ -27\frac{11}{19} $; -2; -79.

5) целые отрицательные

Целые отрицательные числа — это целые числа, которые меньше нуля.

Ответ: -7; -125; -2; -79.

6) дробные неотрицательные

Дробные неотрицательные числа — это нецелые числа (десятичные и обыкновенные дроби), которые больше или равны нулю. В данном контексте, это все положительные числа из списка, не являющиеся целыми.

Ответ: $ \frac{1}{2} $; 8,6; $ 15\frac{3}{7} $; 13,65.

977. Заполните таблицу (напишите слово «да» в случае утвердительного ответа или слово «нет» в ином случае).

Число: $8,0$, $9$, $-4$, $-6 \frac{2}{7}$, $0$, $8,9$, $-113,16$

Положительное:

Отрицательное:

Натуральное:

Целое:

Рациональное:

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо последовательно проанализировать каждое число и определить, обладает ли оно перечисленными свойствами. Вспомним определения:

• Положительные числа — это числа, которые больше нуля ($>0$).
• Отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля ($<0$). Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
• Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...).
• Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).
• Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. К ним относятся все целые и дробные числа.

9

Проанализируем число 9:

• Положительное: Да, так как $9 > 0$.
• Отрицательное: Нет, так как 9 — положительное число.
• Натуральное: Да, так как 9 используется при счете предметов.
• Целое: Да, так как все натуральные числа являются целыми.
• Рациональное: Да, так как любое целое число можно представить в виде дроби, например, $\frac{9}{1}$.

Ответ: Положительное – да, Отрицательное – нет, Натуральное – да, Целое – да, Рациональное – да.

-4

Проанализируем число -4:

• Положительное: Нет, так как $-4 < 0$.
• Отрицательное: Да, так как $-4 < 0$.
• Натуральное: Нет, так как натуральные числа по определению положительные.
• Целое: Да, -4 входит в множество целых чисел.
• Рациональное: Да, так как любое целое число является рациональным ($\frac{-4}{1}$).

Ответ: Положительное – нет, Отрицательное – да, Натуральное – нет, Целое – да, Рациональное – да.

$-6\frac{2}{7}$

Проанализируем число $-6\frac{2}{7}$:

• Положительное: Нет, так как число имеет знак минус, оно меньше нуля.
• Отрицательное: Да, так как $-6\frac{2}{7} < 0$.
• Натуральное: Нет, так как это число не является целым и положительным.
• Целое: Нет, так как это дробное число.
• Рациональное: Да, так как смешанную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби: $-6\frac{2}{7} = -\frac{44}{7}$.

Ответ: Положительное – нет, Отрицательное – да, Натуральное – нет, Целое – нет, Рациональное – да.

0

Проанализируем число 0:

• Положительное: Нет, 0 не является положительным числом.
• Отрицательное: Нет, 0 не является отрицательным числом.
• Натуральное: Нет, по стандартному определению 0 не относится к натуральным числам.
• Целое: Да, 0 является целым числом.
• Рациональное: Да, так как 0 можно представить в виде дроби, например $\frac{0}{1}$.

Ответ: Положительное – нет, Отрицательное – нет, Натуральное – нет, Целое – да, Рациональное – да.

8,9

Проанализируем число 8,9:

• Положительное: Да, так как $8,9 > 0$.
• Отрицательное: Нет, так как это положительное число.
• Натуральное: Нет, так как это не целое число.
• Целое: Нет, так как это дробное число.
• Рациональное: Да, так как конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби $8,9 = \frac{89}{10}$.

Ответ: Положительное – да, Отрицательное – нет, Натуральное – нет, Целое – нет, Рациональное – да.

-113,16

Проанализируем число -113,16:

• Положительное: Нет, так как $-113,16 < 0$.
• Отрицательное: Да, так как $-113,16 < 0$.
• Натуральное: Нет, так как это число отрицательное и не целое.
• Целое: Нет, так как это дробное число.
• Рациональное: Да, так как эту конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби $-113,16 = -\frac{11316}{100}$.

Ответ: Положительное – нет, Отрицательное – да, Натуральное – нет, Целое – нет, Рациональное – да.

978. Найдите значение $-x$, если:

1) $x = 7,9$;

2) $x = -0,15$;

3) $x = -10$;

4) $x = 49$.

Чтобы найти значение выражения $-x$, нужно найти число, противоположное числу $x$. Это означает, что если $x$ — положительное число, то $-x$ будет отрицательным, а если $x$ — отрицательное, то $-x$ будет положительным. Другими словами, нужно просто поменять знак у числа $x$.

1) Если $x = 7,9$, то значение $-x$ будет противоположным числом.

$-x = -(7,9) = -7,9$

Ответ: $-7,9$

2) Если $x = -0,15$, то значение $-x$ будет противоположным числом. Противоположным к отрицательному числу является положительное число.

$-x = -(-0,15) = 0,15$

Ответ: $0,15$

3) Если $x = -10$, то значение $-x$ будет противоположным числом. Противоположным к отрицательному числу является положительное число.

$-x = -(-10) = 10$

Ответ: $10$

4) Если $x = 49$, то значение $-x$ будет противоположным числом.

$-x = -(49) = -49$

Ответ: $-49$

979. Решите уравнение:

1) $-y = 11$;

2) $-y = -31$;

3) $-y = 0$;

4) $-y = - \left( - \frac{1}{3} \right)$.

1) Дано уравнение: $-y = 11$.
Чтобы найти значение $y$, нужно найти число, противоположное $11$. Для этого умножим обе части уравнения на $-1$.
$-y \cdot (-1) = 11 \cdot (-1)$
$y = -11$
Проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение: $-(-11) = 11$, что является верным равенством.
Ответ: $-11$.

2) Дано уравнение: $-y = -31$.
Чтобы найти $y$, умножим обе части уравнения на $-1$.
$-y \cdot (-1) = -31 \cdot (-1)$
$y = 31$
Проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение: $-(31) = -31$, что является верным равенством.
Ответ: $31$.

3) Дано уравнение: $-y = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$.
$-y \cdot (-1) = 0 \cdot (-1)$
$y = 0$
Число $0$ является противоположным самому себе.
Проверка: $-(0) = 0$, что является верным равенством.
Ответ: $0$.

4) Дано уравнение: $-y = -(-\frac{1}{3})$.
Сначала упростим правую часть уравнения. Минус на минус дает плюс, поэтому $-(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.
Уравнение принимает вид:
$-y = \frac{1}{3}$
Теперь, чтобы найти $y$, умножим обе части уравнения на $-1$.
$-y \cdot (-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)$
$y = -\frac{1}{3}$
Проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение: $-(-\frac{1}{3}) = -(-\frac{1}{3})$. Это упрощается до $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$, что является верным равенством.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

980. Заполните таблицу.

$a$: 4, -5, , , , -210, , , $\frac{1}{2}$,

$-a$: , , -2,1, 72, -10, , 0,8, -0,01, , $\frac{1}{7}$

Для того чтобы заполнить данную таблицу, необходимо для каждого известного значения a найти противоположное ему значение -a, и наоборот, для каждого известного значения -a найти a. Противоположные числа — это числа, которые отличаются только знаком. Сумма противоположных чисел равна нулю.

Основное правило, которое мы будем использовать: -(-a) = a. Это означает, что если мы возьмем число, противоположное -a, мы получим исходное число a.

Рассмотрим каждую пустую ячейку по столбцам:

Столбец 1

Дано значение $a = 4$. Необходимо найти $-a$.
Чтобы найти $-a$, мы просто меняем знак у числа $a$.
$-a = -(4) = -4$.
Ответ: -4

Столбец 2

Дано значение $a = -5$. Необходимо найти $-a$.
$-a = -(-5) = 5$.
Ответ: 5

Столбец 3

Дано значение $-a = -2,1$. Необходимо найти $a$.
Чтобы найти $a$, мы берем число, противоположное $-a$.
$a = -(-a) = -(-2,1) = 2,1$.
Ответ: 2,1

Столбец 4

Дано значение $-a = 72$. Необходимо найти $a$.
$a = -(-a) = -(72) = -72$.
Ответ: -72

Столбец 5

Дано значение $-a = -10$. Необходимо найти $a$.
$a = -(-a) = -(-10) = 10$.
Ответ: 10

Столбец 6

Дано значение $a = -210$. Необходимо найти $-a$.
$-a = -(-210) = 210$.
Ответ: 210

Столбец 7

Дано значение $-a = 0,8$. Необходимо найти $a$.
$a = -(-a) = -(0,8) = -0,8$.
Ответ: -0,8

Столбец 8

Дано значение $-a = -0,01$. Необходимо найти $a$.
$a = -(-a) = -(-0,01) = 0,01$.
Ответ: 0,01

Столбец 9

Дано значение $a = \frac{1}{2}$. Необходимо найти $-a$.
$-a = -(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

Столбец 10

Дано значение $-a = \frac{1}{7}$. Необходимо найти $a$.
$a = -(-a) = -(\frac{1}{7}) = -\frac{1}{7}$.
Ответ: $-\frac{1}{7}$

Итоговая заполненная таблица выглядит следующим образом: