Страница 197 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую прямую называют координатной?

1. Координатной прямой (также её называют числовой осью) называют прямую, на которой выбраны три обязательных элемента:

• Начало отсчета — это точка на прямой (обычно обозначается буквой O), которая сопоставляется с числом 0.
• Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу измерения (масштаб). Он определяет расстояние между целыми числами на прямой.
• Положительное направление — это направление, в котором числа на прямой возрастают. Обычно его указывают стрелкой.

Эти три элемента позволяют установить взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами. Каждой точке на прямой соответствует уникальное число, называемое её координатой, и наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка на прямой. Точка начала отсчета делит прямую на два луча: положительный, где располагаются числа больше нуля, и отрицательный, где располагаются числа меньше нуля.

Ответ: Координатной называют прямую, на которой выбраны начало отсчета, единичный отрезок и положительное направление.

2. Какие два направления существуют на координатной прямой?

На координатной прямой, или числовой оси, задаётся начало отсчёта (точка $0$), единичный отрезок и направление. Это позволяет установить два взаимно противоположных направления движения:

Первое направление — положительное. Это направление, в котором числа увеличиваются. На горизонтальной прямой оно традиционно направлено вправо и отмечается стрелкой. Двигаясь в этом направлении, мы переходим к бóльшим числам (например, от $2$ к $5$). В этом направлении от начала отсчёта расположены все положительные числа.

Второе направление — отрицательное. Оно противоположно положительному, и при движении в этом направлении числа уменьшаются. На горизонтальной прямой оно направлено влево от начала отсчёта. Двигаясь в этом направлении, мы переходим к меньшим числам (например, от $1$ к $-4$). В этом направлении от начала отсчёта расположены все отрицательные числа.

Ответ: На координатной прямой существуют положительное и отрицательное направления.

3. Какие числа называют неотрицательными?

Неотрицательными числами называют все числа, которые не являются отрицательными. Это означает, что к неотрицательным числам относятся все положительные числа и число ноль.

Таким образом, любое число a является неотрицательным, если оно больше или равно нулю. Математически это условие записывается в виде неравенства:$a \ge 0$.

На координатной прямой неотрицательные числа — это точка 0 и все точки, расположенные справа от нее.

Например, числа 0, 7, 15.3, $\frac{2}{5}$, $\sqrt{3}$ являются неотрицательными. В то же время, числа -4, -0.8, $-\frac{1}{2}$ не являются неотрицательными, так как они меньше нуля (их называют отрицательными).

Ответ: Неотрицательные числа — это все положительные числа и число ноль.

4. Какие числа называют неположительными?

Неположительными называют числа, которые не являются положительными. Чтобы точно определить это множество чисел, разделим все действительные числа на три группы:

1. Положительные числа — это все числа, которые строго больше нуля. Например: 5, 12.3, 1/2. Для любого положительного числа $x$ выполняется неравенство $x > 0$.

2. Отрицательные числа — это все числа, которые строго меньше нуля. Например: -1, -8.7, -3/4. Для любого отрицательного числа $x$ выполняется неравенство $x < 0$.

3. Ноль (0) — это число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Исходя из определения, "неположительные" — это все числа, которые не входят в группу положительных. Следовательно, к неположительным числам относятся все отрицательные числа и ноль.

Таким образом, число $x$ является неположительным, если оно меньше или равно нулю. Это можно записать в виде математического неравенства: $x \le 0$.

Примеры неположительных чисел: -25, -7.15, -1/9, 0.

Ответ: Неположительными числами называют все отрицательные числа и число ноль, то есть все числа, которые меньше или равны нулю ($x \le 0$).

1. Выполните действия:

1) $0,18 : 0,06;$

2) $0,18 : 0,6;$

3) $1,8 : 0,06;$

4) $1,8 : 0,6;$

5) $\frac{3}{11} + \frac{3}{4};$

6) $\frac{9}{16} - \frac{3}{8};$

7) $\frac{5}{7} \cdot \frac{14}{25};$

8) $\frac{9}{16} : \frac{3}{8}.$

1) Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе (в данном случае на два знака), а затем выполнить деление на натуральное число.

$0,18 : 0,06 = 18 : 6 = 3$

Ответ: 3

2) Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо, чтобы делитель стал целым числом.

$0,18 : 0,6 = 1,8 : 6 = 0,3$

Ответ: 0,3

3) Перенесем запятую в делимом и делителе на два знака вправо.

$1,8 : 0,06 = 180 : 6 = 30$

Ответ: 30

4) Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо.

$1,8 : 0,6 = 18 : 6 = 3$

Ответ: 3

5) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 4 — это их произведение, то есть 44. Дополнительный множитель для первой дроби — 4, для второй — 11.

$\frac{3}{11} + \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4}{11 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 11}{4 \cdot 11} = \frac{12}{44} + \frac{33}{44} = \frac{12+33}{44} = \frac{45}{44} = 1\frac{1}{44}$

Ответ: $1\frac{1}{44}$

6) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16 и 8 — это 16. Дополнительный множитель для второй дроби — 2.

$\frac{9}{16} - \frac{3}{8} = \frac{9}{16} - \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{9}{16} - \frac{6}{16} = \frac{9-6}{16} = \frac{3}{16}$

Ответ: $\frac{3}{16}$

7) Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед умножением можно сократить числитель одной дроби и знаменатель другой. Сократим 5 и 25 на 5, а 14 и 7 на 7.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{14}{25} = \frac{5 \cdot 14}{7 \cdot 25} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

8) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую). Сократим 9 и 3 на 3, а 16 и 8 на 8.

$\frac{9}{16} : \frac{3}{8} = \frac{9}{16} \cdot \frac{8}{3} = \frac{9 \cdot 8}{16 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

2. Укажите неверное равенство:

1) $ \frac{14}{63} = \frac{2}{9} $;

2) $ \frac{4}{5} = \frac{32}{40} $;

3) $ \frac{56}{80} = \frac{7}{8} $;

4) $ \frac{2}{9} = \frac{8}{36} $.

Для того чтобы найти неверное равенство, необходимо проверить каждое из предложенных равенств на истинность.

1) Проверим равенство $ \frac{14}{63} = \frac{2}{9} $.

Для этого сократим дробь $ \frac{14}{63} $. Наибольший общий делитель для чисел 14 и 63 — это 7. Разделим числитель и знаменатель на 7:

$ \frac{14 \div 7}{63 \div 7} = \frac{2}{9} $

Мы получили $ \frac{2}{9} = \frac{2}{9} $, что является верным равенством.

2) Проверим равенство $ \frac{4}{5} = \frac{32}{40} $.

Сократим дробь $ \frac{32}{40} $. Наибольший общий делитель для 32 и 40 — это 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$ \frac{32 \div 8}{40 \div 8} = \frac{4}{5} $

Мы получили $ \frac{4}{5} = \frac{4}{5} $, что является верным равенством.

3) Проверим равенство $ \frac{56}{80} = \frac{7}{8} $.

Сократим дробь $ \frac{56}{80} $. Наибольший общий делитель для 56 и 80 — это 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$ \frac{56 \div 8}{80 \div 8} = \frac{7}{10} $

Теперь сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $ \frac{7}{10} \neq \frac{7}{8} $. Следовательно, это равенство неверное.

4) Проверим равенство $ \frac{2}{9} = \frac{8}{36} $.

Сократим дробь $ \frac{8}{36} $. Наибольший общий делитель для 8 и 36 — это 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9} $

Мы получили $ \frac{2}{9} = \frac{2}{9} $, что является верным равенством.

Таким образом, единственное неверное равенство представлено в пункте 3.

Ответ: 3

3. За 3 ч турист прошёл 9,6 км. Сколько километров он пройдёт с той же скоростью:

1) за 1,5 ч;

2) за 6 ч?

Для решения задачи сначала необходимо найти скорость туриста. Скорость ($v$) — это отношение расстояния ($s$) ко времени ($t$).

Известно, что:

$s = 9,6$ км

$t = 3$ ч

Вычислим скорость:

$v = \frac{s}{t} = \frac{9,6 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 3,2$ км/ч

Зная, что скорость туриста постоянна, мы можем найти расстояние, которое он пройдет за другое время.

1) за 1,5 ч

Чтобы найти расстояние ($s_1$), нужно умножить скорость туриста ($v$) на время в пути ($t_1$).

$t_1 = 1,5$ ч

$s_1 = v \cdot t_1 = 3,2 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 4,8$ км

Ответ: 4,8 км.

2) за 6 ч

Аналогично, найдем расстояние ($s_2$) для времени ($t_2$).

$t_2 = 6$ ч

$s_2 = v \cdot t_2 = 3,2 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 19,2$ км

Ответ: 19,2 км.

4. Найдите:

1) $12,5 \%$ метра;

2) $46,7 \%$ килограмма.

1) 12,5 % метра

Чтобы найти процент от величины, необходимо представить проценты в виде десятичной дроби и умножить эту дробь на исходную величину. Сначала переведем 12,5 % в десятичную дробь, разделив на 100.

$12{,}5\% = \frac{12{,}5}{100} = 0{,}125$

Теперь умножим полученное число на 1 метр:

$1 \text{ м} \cdot 0{,}125 = 0{,}125 \text{ м}$

Для большей наглядности можно выразить результат в сантиметрах. Учитывая, что 1 метр равен 100 сантиметрам, получаем:

$100 \text{ см} \cdot 0{,}125 = 12{,}5 \text{ см}$

Ответ: 0,125 м или 12,5 см.

2) 46,7 % килограмма

Аналогично, найдем 46,7 % от килограмма. Сначала переведем проценты в десятичную дробь.

$46{,}7\% = \frac{46{,}7}{100} = 0{,}467$

Далее умножим полученное значение на 1 килограмм:

$1 \text{ кг} \cdot 0{,}467 = 0{,}467 \text{ кг}$

Чтобы получить более удобное для восприятия число, переведем результат в граммы. Поскольку 1 килограмм равен 1000 граммам, то:

$1000 \text{ г} \cdot 0{,}467 = 467 \text{ г}$

Ответ: 0,467 кг или 467 г.