Страница 200 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

953. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки A $(-1)$ и B $(5)$. Найдите на прямой точку, которая является серединой отрезка $AB$, и определите её координату.

1. Начертим координатную прямую. Для этого проведем горизонтальную линию, выберем на ней начало отсчета (точку 0), зададим единичный отрезок и укажем стрелкой положительное направление.

2. Отметим на прямой заданные точки $A(-1)$ и $B(5)$. Точка $A$ с координатой $-1$ будет расположена на один единичный отрезок левее начала отсчета. Точка $B$ с координатой $5$ будет расположена на пять единичных отрезков правее начала отсчета.

3. Теперь найдем координату точки, которая является серединой отрезка $AB$. Обозначим эту точку буквой $C$. Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому (полусумме) координат его концов.

Пусть точка $A$ имеет координату $x_A$, а точка $B$ — координату $x_B$. Тогда координата $x_C$ их середины находится по формуле:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Подставим в формулу координаты точек $A(-1)$ и $B(5)$:

$x_C = \frac{-1 + 5}{2}$

Выполним вычисления:

$x_C = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, середина отрезка $AB$ — это точка $C$ с координатой 2. Эта точка отмечена на рисунке красным цветом.

Проверка: Чтобы убедиться в правильности решения, найдем расстояние от найденной середины $C(2)$ до каждого из концов отрезка $A(-1)$ и $B(5)$. Расстояния должны быть равны.

• Расстояние от $C$ до $A$: $|-1 - 2| = |-3| = 3$.
• Расстояние от $C$ до $B$: $|5 - 2| = |3| = 3$.

Расстояния равны, следовательно, точка с координатой 2 действительно является серединой отрезка $AB$.

Ответ: 2.

954. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки $M (-6)$ и $C (-2)$. Найдите на прямой точку $N$ такую, что точка $C$ – середина отрезка $MN$, и определите координату точки $N$.

1. Начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчета (0), выберем единичный отрезок и положительное направление. Затем отметим точки $M$ с координатой $-6$ (на 6 единичных отрезков левее нуля) и $C$ с координатой $-2$ (на 2 единичных отрезка левее нуля).

2. Для нахождения координаты точки $N$ воспользуемся тем, что точка $C$ является серединой отрезка $MN$. Это означает, что расстояние от $M$ до $C$ равно расстоянию от $C$ до $N$.

Вычислим расстояние между точками $M$ и $C$:
$|MC| = |-2 - (-6)| = |-2 + 6| = |4| = 4$.

Следовательно, расстояние $|CN|$ также равно 4. Так как точка $M$ находится левеe точки $C$, точка $N$ должна находиться правее точки $C$ на том же расстоянии. Чтобы найти координату точки $N$, нужно к координате точки $C$ прибавить найденное расстояние:

Координата $N = -2 + 4 = 2$.

Также можно решить эту задачу, используя формулу координаты середины отрезка. Если $x_M, x_C, x_N$ — координаты точек $M, C, N$ соответственно, то координата середины отрезка $MN$ вычисляется по формуле:

$x_C = \frac{x_M + x_N}{2}$

Подставим известные значения $x_M = -6$ и $x_C = -2$ и найдем $x_N$:

$-2 = \frac{-6 + x_N}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$-4 = -6 + x_N$

Выразим $x_N$:

$x_N = -4 + 6$

$x_N = 2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Координата точки N равна 2.

955. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки $K(-1)$ и $F(5)$. Найдите на прямой точку $E$ такую, что точка $K$ – середина отрезка $EF$, и определите координату точки $E$.

1. Анализ условия и построение.

Сначала начертим координатную прямую. Отметим на ней точку K с координатой -1 и точку F с координатой 5. По условию задачи, точка K является серединой отрезка EF. Это означает, что точка E находится на таком же расстоянии от K, как и точка F, но с противоположной стороны.

2. Нахождение расстояния между K и F.

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, нужно из большей координаты вычесть меньшую. Найдем длину отрезка KF:

$|KF| = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$

Расстояние между точками K и F составляет 6 единичных отрезков.

3. Определение координаты точки E.

Поскольку K — середина отрезка EF, то расстояние $|EK|$ должно быть равно расстоянию $|KF|$.

$|EK| = |KF| = 6$

Так как точка F находится справа от точки K, точка E должна находиться слева от точки K на расстоянии 6 единичных отрезков. Чтобы найти координату точки E ($x_E$), нужно от координаты точки K отнять 6:

$x_E = -1 - 6 = -7$

Проверочный метод с использованием формулы середины отрезка:

Координата середины отрезка ($x_K$) вычисляется по формуле как среднее арифметическое координат его концов ($x_E$ и $x_F$):

$x_K = \frac{x_E + x_F}{2}$

Подставим известные значения ($x_K = -1$, $x_F = 5$) и решим уравнение относительно $x_E$:

$-1 = \frac{x_E + 5}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$-1 \cdot 2 = x_E + 5$

$-2 = x_E + 5$

Выразим $x_E$:

$x_E = -2 - 5$

$x_E = -7$

Оба метода дали одинаковый результат.

Ответ: -7

956. Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку $B (-4)$. Отметьте на этой прямой точку, удалённую от точки $B$:

1) в положительном направлении на 8 единиц;

2) в отрицательном направлении на 3 единицы.

Сначала начертим координатную прямую. Это прямая линия с началом отсчета в точке 0, единичным отрезком и указанным положительным направлением (обычно вправо). Отметим на ней точку $B$ с координатой $-4$. Эта точка будет находиться на 4 единичных отрезка левее нуля.

1) в положительном направлении на 8 единиц;

Чтобы найти точку, удаленную от точки $B(-4)$ в положительном направлении на 8 единиц, необходимо к координате точки $B$ прибавить 8. Движение в положительном направлении — это движение вправо по координатной прямой, что соответствует увеличению координаты.

Выполним вычисление:

$ -4 + 8 = 4 $

Следовательно, новая точка будет иметь координату 4.

Ответ: Точка с координатой 4.

2) в отрицательном направлении на 3 единицы.

Чтобы найти точку, удаленную от точки $B(-4)$ в отрицательном направлении на 3 единицы, необходимо из координаты точки $B$ вычесть 3. Движение в отрицательном направлении — это движение влево по координатной прямой, что соответствует уменьшению координаты.

Выполним вычисление:

$ -4 - 3 = -7 $

Следовательно, новая точка будет иметь координату -7.

Ответ: Точка с координатой -7.

957. Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку $K (2)$. Отметьте на этой прямой точку, удалённую от точки $K$:

1) в отрицательном направлении на 2 единицы;

2) в положительном направлении на 4 единицы.

Для решения задачи начертим координатную прямую. Координатная прямая — это прямая с указанным на ней началом отсчёта (точка 0), единичным отрезком и направлением. Положительное направление обычно указывается стрелкой вправо, отрицательное — влево.

Отметим на этой прямой исходную точку $K$ с координатой 2.

1) в отрицательном направлении на 2 единицы;

Чтобы найти точку, удалённую от точки $K(2)$ в отрицательном направлении (влево), нужно из её координаты вычесть 2 единицы. Это соответствует движению влево по координатной прямой.

Выполним вычисление:

$2 - 2 = 0$

Следовательно, искомая точка имеет координату 0.

Ответ: 0.

2) в положительном направлении на 4 единицы.

Чтобы найти точку, удалённую от точки $K(2)$ в положительном направлении (вправо), нужно к её координате прибавить 4 единицы. Это соответствует движению вправо по координатной прямой.

Выполним вычисление:

$2 + 4 = 6$

Следовательно, искомая точка имеет координату 6.

Ответ: 6.

Изобразим все точки на координатной прямой. Обозначим точку с координатой 0 как $A$, а точку с координатой 6 как $B$.

958. Запишите какие-нибудь три числа, лежащие на координатной прямой:

1) левее числа $2$;

2) правее числа $3.6$;

3) левее числа $-100$;

4) правее числа $-25$.

1) левее числа 2;

На координатной прямой числа, расположенные левее заданного числа, меньше его. Следовательно, нам нужно найти три любых числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $x < 2$. В качестве примера можно взять целые числа, такие как 1, 0 и -1, или дробные, например, 1,5. Возьмем три числа: 1, 0 и -5.

Ответ: 1; 0; -5.

2) правее числа 3,6;

Числа, расположенные правее заданного числа на координатной прямой, больше его. Таким образом, нам нужно найти три числа $x$, удовлетворяющие неравенству $x > 3,6$. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Например, 4, 5, 10 или 3,7. Возьмем три числа: 4, 5 и 10.

Ответ: 4; 5; 10.

3) левее числа –100;

Числа, лежащие левее числа –100, должны быть меньше него. Это означает, что мы ищем три числа $x$, для которых выполняется условие $x < -100$. Важно помнить, что для отрицательных чисел, чем больше их модуль, тем они меньше. Например, число -101 меньше, чем -100. В качестве примера возьмем числа: -101, -150 и -200.

Ответ: -101; -150; -200.

4) правее числа –25.

Числа, лежащие правее числа –25, должны быть больше него. Нам нужно найти три числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $x > -25$. Для отрицательных чисел, чем меньше их модуль, тем они больше. Также подойдут ноль и любые положительные числа. Например, -24, -10, 0 или 15. Возьмем три числа: -20, 0 и 10.

Ответ: -20; 0; 10.

859. Запишите какие-нибудь четыре числа, лежащие на координатной прямой между числами $-1$ и $0$.

Нам необходимо найти четыре числа, которые на координатной прямой находятся в интервале от -1 до 0. Это значит, что для любого такого числа $x$ должно выполняться двойное неравенство: $-1 < x < 0$.

Это условие означает, что искомые числа должны быть отрицательными, но при этом их модуль (абсолютная величина) должен быть меньше 1. Существует бесконечно много таких чисел, и мы можем выбрать любые четыре из них. Это могут быть как десятичные, так и обыкновенные дроби.

Например, можно выбрать следующие числа в виде десятичных дробей:
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
Все они очевидно больше -1 и меньше 0.

Другим примером могут служить обыкновенные дроби:
$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{3}$
$-\frac{1}{4}$
$-\frac{1}{5}$
Эти числа также удовлетворяют заданному условию $-1 < x < 0$.

В качестве ответа можно записать любой из этих наборов или любой другой подходящий набор чисел.

Ответ: -0,2; -0,5; -0,7; -0,9.

960. Запишите какие-нибудь два числа, лежащие на координатной прямой:

1) левее числа $-240$;

2) правее числа $-0,5$;

3) между числами $-9$ и $-8$;

4) между числами $-0,1$ и $0,1$.

1) левее числа –240;

На координатной прямой числа, расположенные левее какого-либо числа, всегда меньше его. Следовательно, нам нужно найти два числа, которые меньше, чем –240. Для отрицательных чисел действует правило: чем больше абсолютное значение (модуль) числа, тем оно меньше. Например, возьмем числа –241 и –300. Они оба меньше –240, так как $–241 < –240$ и $–300 < –240$.
Ответ: –241 и –300.

2) правее числа –0,5;

На координатной прямой числа, расположенные правее какого-либо числа, всегда больше его. Нам нужно найти два числа, которые больше, чем –0,5. Любое положительное число, а также ноль, больше любого отрицательного числа. Также подойдут отрицательные числа, модуль которых меньше 0,5 (например, –0,4). В качестве примера возьмем числа 0 и 15. Они оба больше –0,5, так как $0 > –0,5$ и $15 > –0,5$.
Ответ: 0 и 15.

3) между числами –9 и –8;

Найти числа, лежащие между –9 и –8, означает найти числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $–9 < x < –8$. Это могут быть, например, десятичные дроби. Возьмем число –8,5. Оно удовлетворяет условию, так как $–9 < –8,5 < –8$. В качестве второго числа возьмем –8,2. Оно также удовлетворяет условию: $–9 < –8,2 < –8$.
Ответ: –8,5 и –8,2.

4) между числами –0,1 и 0,1.

Найти числа, лежащие между –0,1 и 0,1, означает найти числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $–0,1 < x < 0,1$. Таким числом является, например, 0. Также мы можем взять любое число, модуль которого меньше 0,1, например, 0,05 или –0,09. В качестве примера возьмем числа 0 и –0,05. Они оба удовлетворяют условию: $–0,1 < 0 < 0,1$ и $–0,1 < –0,05 < 0,1$.
Ответ: 0 и –0,05.

961. Запишите числа, удалённые на 7 единиц от числа:

1) 80;

2) 4;

3) 0;

4) -3;

5) -12;

6) -7.

Чтобы найти числа, удалённые на 7 единиц от заданного числа, необходимо найти два числа: одно, которое на 7 больше заданного, и другое, которое на 7 меньше заданного. Для любого исходного числа $a$ искомыми числами будут $a + 7$ и $a - 7$.

1) 80;

1) $80 + 7 = 87$

2) $80 - 7 = 73$

Ответ: 73 и 87.

2) 4;

1) $4 + 7 = 11$

2) $4 - 7 = -3$

Ответ: -3 и 11.

3) 0;

1) $0 + 7 = 7$

2) $0 - 7 = -7$

Ответ: -7 и 7.

4) -3;

1) $-3 + 7 = 4$

2) $-3 - 7 = -10$

Ответ: -10 и 4.

5) -12;

1) $-12 + 7 = -5$

2) $-12 - 7 = -19$

Ответ: -19 и -5.

6) -7;

1) $-7 + 7 = 0$

2) $-7 - 7 = -14$

Ответ: -14 и 0.

962. На координатной прямой отметили числа -8 и 12 (рис. 174). Какая из точек A, B, C или D является началом отсчёта?

Рис. 174

Для того чтобы определить, какая из точек A, B, C или D является началом отсчёта (то есть имеет координату 0), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти расстояние между известными точками.

На координатной прямой отмечены точки с координатами $-8$ и $12$. Расстояние между ними равно модулю разности их координат:

$|12 - (-8)| = |12 + 8| = 20$

2. Определить количество равных отрезков между этими точками.

Из рисунка видно, что отрезок между точками $-8$ и $12$ разделен на 5 равных частей точками A, B, C и D. Эти части: от $-8$ до A, от A до B, от B до C, от C до D и от D до 12.

3. Найти длину одного отрезка (цену деления).

Для этого разделим общее расстояние на количество отрезков:

$20 \div 5 = 4$

Таким образом, цена одного деления на этой координатной прямой равна 4.

4. Вычислить координаты точек A, B, C и D.

Будем последовательно прибавлять цену деления (4) к координате предыдущей точки, начиная с $-8$:

• Координата точки A: $-8 + 4 = -4$
• Координата точки B: $-4 + 4 = 0$
• Координата точки C: $0 + 4 = 4$
• Координата точки D: $4 + 4 = 8$

Проверим, дойдем ли мы до 12: от точки D (с координатой 8) до следующей отметки $8 + 4 = 12$. Всё верно.

Начало отсчёта — это точка с координатой 0. Согласно нашим вычислениям, это точка B.

Ответ: Точка B является началом отсчёта.

963. Найдите координату точки C (рис. 175).

Рис. 175

$C$

$A(3)$

$B(5)$

Чтобы найти координату точки C на координатной прямой, выполним следующие шаги:

1. Определим цену деления (длину единичного отрезка) на координатной прямой.

Нам известны координаты двух точек: A(3) и B(5). Расстояние между ними на прямой равно разности их координат:

$5 - 3 = 2$

Из рисунка видно, что расстояние между точками A и B соответствует одному делению на шкале. Следовательно, цена одного деления равна 2.

2. Найдем положение точки C относительно известной точки A.

Точка C находится левее точки A. Посчитаем количество делений между ними. От точки A до точки C — 4 деления влево.

3. Вычислим координату точки C.

Поскольку одно деление равно 2, то расстояние между точками A и C составляет:

$4 \times 2 = 8$

Так как точка C расположена левее точки A, ее координату можно найти, вычитая найденное расстояние из координаты точки A:

$3 - 8 = -5$

Следовательно, координата точки C равна -5.

Ответ: -5