Страница 199 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

946. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа: $0$; $1$; $4$; $-3$; $6$; $-2$; $-5$; $2.5$; $-4.5$.

Для того чтобы отметить заданные числа на координатной прямой, необходимо сначала её построить. Координатная прямая — это прямая, на которой выбрано начало отсчёта (точка $O$, соответствующая числу $0$), единичный отрезок и положительное направление (обычно указывается стрелкой вправо).

Построение и отметка точек выполняются в несколько шагов:

1. Чертим горизонтальную прямую и отмечаем на ней точку $O$ — начало отсчёта.

2. Выбираем единичный отрезок (например, 1 см или 2 клетки тетради) и откладываем его от точки $O$ вправо и влево, размечая таким образом целые числа. Числа, расположенные справа от нуля, называются положительными, а слева — отрицательными.

3. Находим и отмечаем на прямой точки, соответствующие каждому из заданных чисел: $0; 1; 4; -3; 6; -2; -5; 2,5; -4,5$.

   • Точка, соответствующая числу $0$, является началом отсчёта.

   • Положительные числа $1, 4, 6$ находятся справа от нуля на расстоянии $1, 4$ и $6$ единичных отрезков соответственно.

   • Отрицательные числа $-2, -3, -5$ находятся слева от нуля на расстоянии $2, 3$ и $5$ единичных отрезков соответственно.

   • Число $2,5$ является положительным, поэтому оно находится справа от нуля, на расстоянии $2,5$ единичных отрезка. Эта точка расположена ровно посередине между отметками $2$ и $3$.

   • Число $-4,5$ является отрицательным, поэтому оно находится слева от нуля, на расстоянии $4,5$ единичных отрезка. Эта точка расположена ровно посередине между отметками $-4$ и $-5$.

Ответ:

Координатная прямая с отмеченными на ней заданными числами выглядит следующим образом (отмеченные точки выделены красным цветом):

947. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа: $0$; $1$; $-2$; $7$; $5$; $-4$; $-2.5$; $-5.5$; $-6$.

Чтобы начертить координатную прямую и отметить на ней заданные числа, сначала начертим горизонтальную прямую — ось координат.

Затем выберем на прямой точку, которую примем за начало отсчета, и обозначим ее числом 0. После этого выберем единичный отрезок, который будет определять масштаб (например, 1 см). Положительное направление отметим стрелкой, как правило, вправо от начала отсчета.

Теперь разместим заданные числа на прямой: $0$; $1$; $-2$; $7$; $5$; $-4$; $-2,5$; $-5,5$; $-6$.

Порядок действий:

1. Число 0 уже отмечено как начало отсчета.

2. Положительные числа 1, 5 и 7 откладываем вправо от нуля на расстояние, равное одному, пяти и семи единичным отрезкам соответственно.

3. Отрицательные числа -2, -4 и -6 откладываем влево от нуля на расстояние, равное двум, четырем и шести единичным отрезкам соответственно.

4. Дробное число -2,5 ($-2,5$) располагается слева от нуля, ровно посередине между точками, соответствующими числам -2 и -3.

5. Дробное число -5,5 ($-5,5$) располагается слева от нуля, ровно посередине между точками, соответствующими числам -5 и -6.

Ниже представлено изображение координатной прямой с отмеченными точками:

Ответ: Координатная прямая с отмеченными числами представлена на изображении выше.

948. На координатной прямой отметили точки A, B и C (рис. 173). Установите соответствие между данными точками и их координатами.

Точки

А) A

Б) B

В) C

Координаты

1) $1\frac{5}{6}$

2) $2\frac{1}{6}$

3) -2,9

4) -3,1

5) $\frac{5}{6}$

Рис. 173

Для того чтобы установить соответствие между точками на координатной прямой и их координатами, проанализируем положение каждой точки относительно нуля и других целых чисел.

А) A

Точка A расположена на координатной прямой между 0 и 1. Это означает, что её координата — положительное число, меньшее 1. Рассмотрим предложенные варианты координат:

1. $1 \frac{5}{6}$ (больше 1)
2. $2 \frac{1}{6}$ (больше 1)
3. -2,9 (отрицательное)
4. -3,1 (отрицательное)
5. $\frac{5}{6}$ (положительное, меньше 1)

Единственная подходящая координата — это $\frac{5}{6}$, так как $0 < \frac{5}{6} < 1$.

Ответ: 5

Б) B

Точка B расположена на координатной прямой правее 1. Судя по рисунку, расстояние от 0 до B примерно в два раза больше, чем расстояние от 0 до 1, значит, координата точки B должна быть больше 2. Рассмотрим оставшиеся положительные координаты:

• $1 \frac{5}{6} = 1 + \frac{5}{6} \approx 1,83$. Это число меньше 2.
• $2 \frac{1}{6} = 2 + \frac{1}{6} \approx 2,17$. Это число немного больше 2, что соответствует положению точки B.

Следовательно, точке B соответствует координата $2 \frac{1}{6}$.

Ответ: 2

В) C

Точка C расположена на координатной прямой левее 0, значит, её координата — отрицательное число. Оставшиеся варианты координат:

• -2,9
• -3,1

На рисунке видно, что точка C находится очень близко к отметке -3, но немного правее её. На координатной прямой числа увеличиваются слева направо, поэтому число, расположенное правее, всегда больше. Сравним наши варианты:

$-2,9 > -3$

$-3,1 < -3$

Так как точка C находится правее отметки -3, её координата должна быть больше -3. Этому условию соответствует число -2,9.

Ответ: 3

949. Начертите координатную прямую, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 6 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте точки $A(1)$, $B(-1)$, $C(-0.5)$, $D(\frac{2}{3})$, $E(-1\frac{1}{6})$, $F(2\frac{1}{3})$, $M(-1\frac{2}{3})$, $P(-2\frac{1}{6})$, $R(-\frac{1}{3})$.

Для построения координатной прямой согласно условию, мы примем за единичный отрезок длину, равную 6 клеткам тетради. Это означает, что расстояние от 0 до 1 будет составлять 6 клеток. Таким образом, длина одной клетки на нашей координатной прямой будет соответствовать дроби $1/6$.

Чтобы отметить заданные точки, необходимо определить их положение на прямой, рассчитав, на сколько клеток от начала отсчета (точки 0) они удалены. Положительные числа откладываются вправо, отрицательные — влево.

• Точка A(1): Координата 1. Так как единичный отрезок равен 6 клеткам, точка А находится на 6 клеток правее точки 0.
• Точка B(-1): Координата -1. Точка B находится на 6 клеток левее точки 0.
• Точка C(-0,5): Координата $-0,5 = -1/2$. Приведем к знаменателю 6: $-\frac{1}{2} = -\frac{3}{6}$. Точка C находится на 3 клетки левее точки 0.
• Точка D($\frac{2}{3}$): Координата $\frac{2}{3}$. Приведем к знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Точка D находится на 4 клетки правее точки 0.
• Точка E($-1\frac{1}{6}$): Координата $-1\frac{1}{6} = -\frac{7}{6}$. Точка E находится на 7 клеток левее точки 0 (или на 1 клетку левее точки -1).
• Точка F($2\frac{1}{3}$): Координата $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Приведем к знаменателю 6: $\frac{7}{3} = \frac{14}{6}$. Точка F находится на 14 клеток правее точки 0 (или на 2 клетки правее точки 2).
• Точка M($-1\frac{2}{3}$): Координата $-1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$. Приведем к знаменателю 6: $-\frac{5}{3} = -\frac{10}{6}$. Точка M находится на 10 клеток левее точки 0 (или на 4 клетки левее точки -1).
• Точка P($-2\frac{1}{6}$): Координата $-2\frac{1}{6} = -\frac{13}{6}$. Точка P находится на 13 клеток левее точки 0 (или на 1 клетку левее точки -2).
• Точка R($-\frac{1}{3}$): Координата $-\frac{1}{3}$. Приведем к знаменателю 6: $-\frac{1}{3} = -\frac{2}{6}$. Точка R находится на 2 клетки левее точки 0.

Теперь начертим координатную прямую и отметим на ней все точки.

Ответ:

950. Начертите координатную прямую, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 4 раза больше стороны клетки тетради. Отметьте точки $A (2)$, $B \left( \frac{1}{2} \right)$, $C \left( 1\frac{1}{4} \right)$, $D (-2)$, $E \left( -\frac{1}{4} \right)$, $F (-1,75)$, $Q \left( -2\frac{1}{8} \right)$, $S (0,25)$, $T (-1,5)$, $N (1,25)$.

Для решения задачи необходимо начертить координатную прямую. Согласно условию, единичный отрезок, то есть расстояние между двумя целыми числами (например, от 0 до 1), равен 4 клеткам тетради. Это означает, что одна клетка соответствует отрезку длиной $\frac{1}{4}$ или $0,25$.

Прежде чем отмечать точки, переведем все координаты в десятичные дроби для удобства и определим их положение в клетках относительно начала координат (точки 0).

A(2): Точка находится на расстоянии $2 \times 4 = 8$ клеток вправо от 0.
B($\frac{1}{2}$): Координата равна $0,5$. Точка находится на расстоянии $0,5 \times 4 = 2$ клетки вправо от 0.
C($1\frac{1}{4}$): Координата равна $1,25$. Точка находится на расстоянии $1,25 \times 4 = 5$ клеток вправо от 0.
D(-2): Точка находится на расстоянии $2 \times 4 = 8$ клеток влево от 0.
E($-\frac{1}{4}$): Координата равна $-0,25$. Точка находится на расстоянии $0,25 \times 4 = 1$ клетку влево от 0.
F(-1,75): Координата равна $-1\frac{3}{4}$. Точка находится на расстоянии $1,75 \times 4 = 7$ клеток влево от 0.
Q($-2\frac{1}{8}$): Координата равна $-2,125$. Точка находится на расстоянии $2,125 \times 4 = 8,5$ клеток (восемь с половиной) влево от 0.
S(0,25): Координата равна $\frac{1}{4}$. Точка находится на расстоянии $0,25 \times 4 = 1$ клетку вправо от 0.
T(-1,5): Координата равна $-1\frac{1}{2}$. Точка находится на расстоянии $1,5 \times 4 = 6$ клеток влево от 0.
N(1,25): Координата равна $1\frac{1}{4}$. Эта точка имеет ту же координату, что и точка C, поэтому они совпадают.

Ответ:

Ниже изображена координатная прямая с отмеченными точками в соответствии с заданным масштабом.

951. Длина единичного отрезка координатной прямой равна 1 см. Чему равно расстояние между точками:

Для нахождения расстояния между двумя точками на координатной прямой необходимо найти модуль разности их координат. Если точки имеют координаты $x_1$ и $x_2$, то расстояние $d$ между ними равно $d = |x_2 - x_1|$. По условию задачи, длина единичного отрезка составляет 1 см, поэтому численное значение расстояния в единичных отрезках будет равно расстоянию в сантиметрах.

1) A (2) и B (6)
Найдем расстояние между точками A с координатой 2 и B с координатой 6.
$d = |6 - 2| = |4| = 4$.
Расстояние составляет 4 единичных отрезка, что равно 4 см.
Ответ: 4 см.

2) C (-3) и D (-1)
Найдем расстояние между точками C с координатой -3 и D с координатой -1.
$d = |-1 - (-3)| = |-1 + 3| = |2| = 2$.
Расстояние составляет 2 единичных отрезка, что равно 2 см.
Ответ: 2 см.

3) M (-4) и N (2)
Найдем расстояние между точками M с координатой -4 и N с координатой 2.
$d = |2 - (-4)| = |2 + 4| = |6| = 6$.
Расстояние составляет 6 единичных отрезков, что равно 6 см.
Ответ: 6 см.

952. Длина единичного отрезка координатной прямой равна 5 мм. Чему равно расстояние между точками:

1) C $(-5)$ и O $(0)$;

2) A $(-10)$ и B $(-3)$;

3) D $(-2)$ и E $(2)$?

Для решения задачи необходимо сначала найти расстояние между точками в единичных отрезках, а затем умножить это значение на длину одного единичного отрезка, которая по условию равна 5 мм. Расстояние в единичных отрезках между двумя точками с координатами $x_1$ и $x_2$ на координатной прямой вычисляется по формуле: $d = |x_2 - x_1|$.

1) C (-5) и O (0)

Сначала найдем расстояние между точками C и O в единичных отрезках. Для этого вычислим модуль разности их координат:
$d = |0 - (-5)| = |0 + 5| = 5$.
Расстояние составляет 5 единичных отрезков.
Теперь найдем расстояние в миллиметрах, умножив количество единичных отрезков на длину одного отрезка:
$5 \times 5 \text{ мм} = 25 \text{ мм}$.
Ответ: 25 мм.

2) A (-10) и B (-3)

Найдем расстояние между точками A и B в единичных отрезках:
$d = |-3 - (-10)| = |-3 + 10| = |7| = 7$.
Расстояние составляет 7 единичных отрезков.
Теперь умножим полученное расстояние на длину единичного отрезка в миллиметрах:
$7 \times 5 \text{ мм} = 35 \text{ мм}$.
Ответ: 35 мм.

3) D (-2) и E (2)

Найдем расстояние между точками D и E в единичных отрезках:
$d = |2 - (-2)| = |2 + 2| = |4| = 4$.
Расстояние составляет 4 единичных отрезка.
Переведем это расстояние в миллиметры:
$4 \times 5 \text{ мм} = 20 \text{ мм}$.
Ответ: 20 мм.