Страница 201 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

964. На координатной прямой отметили точки $A(2)$ и $B(8)$. Какую координату должна иметь точка $M$, чтобы отрезок $BM$ был в 2 раза длиннее отрезка $AM$? Сколько решений имеет задача?

Пусть координата точки М равна $x$. Координаты заданных точек: A(2) и B(8). Длина отрезка на координатной прямой — это модуль разности координат его концов. Следовательно, длина отрезка AM равна $|x - 2|$, а длина отрезка BM равна $|x - 8|$.

По условию задачи, отрезок BM в 2 раза длиннее отрезка AM. Запишем это в виде математического уравнения:

$|x - 8| = 2 \cdot |x - 2|$

Для решения этого уравнения с модулями необходимо рассмотреть случаи, в которых выражения под модулями меняют знак. Точки, в которых это происходит: $x = 2$ и $x = 8$. Эти точки делят координатную прямую на три промежутка. Рассмотрим каждый из них.

1. Точка M лежит между точками A и B ($2 \le x \le 8$)

В этом случае выражение $(x - 2)$ неотрицательно, а $(x - 8)$ неположительно. Таким образом, $|x - 2| = x - 2$ и $|x - 8| = -(x - 8) = 8 - x$. Подставим эти выражения в уравнение:

$8 - x = 2(x - 2)$

$8 - x = 2x - 4$

$8 + 4 = 2x + x$

$12 = 3x$

$x_1 = 4$

Значение $x = 4$ принадлежит промежутку $[2, 8]$, следовательно, это является одним из решений.

2. Точка M лежит левее точки A ($x < 2$)

В этом случае оба выражения, $(x - 2)$ и $(x - 8)$, отрицательны. Таким образом, $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x - 8| = -(x - 8) = 8 - x$. Уравнение принимает вид:

$8 - x = 2(2 - x)$

$8 - x = 4 - 2x$

$2x - x = 4 - 8$

$x_2 = -4$

Значение $x = -4$ удовлетворяет условию $x < 2$, следовательно, это второе решение.

3. Точка M лежит правее точки B ($x > 8$)

В этом случае оба выражения, $(x - 2)$ и $(x - 8)$, положительны. Таким образом, $|x - 2| = x - 2$ и $|x - 8| = x - 8$. Уравнение принимает вид:

$x - 8 = 2(x - 2)$

$x - 8 = 2x - 4$

$-8 + 4 = 2x - x$

$x = -4$

Полученное значение $x = -4$ не удовлетворяет условию $x > 8$, поэтому на этом промежутке решений нет.

Таким образом, мы нашли две возможные координаты для точки М: 4 и -4. Это означает, что задача имеет два решения.

Ответ: Точка М может иметь координату 4 или -4. Задача имеет 2 решения.

965. Начертите две окружности, радиусы которых равны $2 \text{ см}$, так, чтобы они:

1) имели две общие точки;

2) имели одну общую точку,

3) не имели общих точек.

Для решения задачи рассмотрим взаимное расположение двух окружностей. Пусть радиусы окружностей равны $r_1$ и $r_2$, а расстояние между их центрами — $d$. По условию, $r_1 = r_2 = 2$ см.

1) имели две общие точки

Две окружности имеют две общие точки (пересекаются), если расстояние между их центрами $d$ больше разности их радиусов, но меньше их суммы. Это выражается неравенством: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.
Подставим наши значения: $|2 - 2| < d < 2 + 2$, что дает $0 < d < 4$ см.
Таким образом, чтобы окружности имели две общие точки, расстояние между их центрами должно быть больше 0 см и меньше 4 см. Например, можно выбрать $d = 3$ см.
Построение:
1. Начертите отрезок $O_1O_2$ длиной 3 см.
2. Из центра $O_1$ проведите окружность радиусом 2 см.
3. Из центра $O_2$ проведите окружность радиусом 2 см.
Полученные окружности пересекутся в двух точках.

Ответ: Необходимо начертить две окружности радиусом 2 см так, чтобы расстояние между их центрами $d$ удовлетворяло условию $0 < d < 4$ см.

2) имели одну общую точку

Две окружности имеют одну общую точку (касаются), если расстояние между их центрами $d$ равно сумме их радиусов (внешнее касание) или разности их радиусов (внутреннее касание).
Условие: $d = r_1 + r_2$ или $d = |r_1 - r_2|$.

Внешнее касание: $d = 2 + 2 = 4$ см.
Внутреннее касание: $d = |2 - 2| = 0$ см. Если расстояние между центрами равно нулю, а радиусы равны, то окружности совпадают, то есть имеют бесконечно много общих точек, а не одну. Следовательно, этот случай нам не подходит.

Значит, окружности должны касаться внешним образом, и расстояние между их центрами должно быть равно 4 см.
Построение:
1. Начертите отрезок $O_1O_2$ длиной 4 см.
2. Из центра $O_1$ проведите окружность радиусом 2 см.
3. Из центра $O_2$ проведите окружность радиусом 2 см.
Окружности будут касаться в одной точке.

Ответ: Необходимо начертить две окружности радиусом 2 см так, чтобы расстояние между их центрами $d$ было равно 4 см.

3) не имели общих точек

Две окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами $d$ больше суммы их радиусов (окружности лежат одна вне другой) или меньше разности их радиусов (одна окружность лежит внутри другой).
Условие: $d > r_1 + r_2$ или $d < |r_1 - r_2|$.

Случай 1: $d > 2 + 2$, то есть $d > 4$ см.
Случай 2: $d < |2 - 2|$, то есть $d < 0$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен.

Следовательно, чтобы окружности не имели общих точек, расстояние между их центрами должно быть больше 4 см. Например, можно выбрать $d = 5$ см.
Построение:
1. Начертите отрезок $O_1O_2$ длиной 5 см.
2. Из центра $O_1$ проведите окружность радиусом 2 см.
3. Из центра $O_2$ проведите окружность радиусом 2 см.
Окружности не будут иметь общих точек.

Ответ: Необходимо начертить две окружности радиусом 2 см так, чтобы расстояние между их центрами $d$ было больше 4 см.

966. Из некоторого числа вычли $\frac{5}{17}$ этого числа и получили 480. Найдите это число.

Пусть искомое число равно $x$.

Согласно условию задачи, из этого числа вычли $\frac{5}{17}$ этого же числа. Математически это можно записать как $x - \frac{5}{17}x$.

В результате получилось 480. Составим и решим уравнение:

$x - \frac{5}{17}x = 480$

Сначала упростим левую часть уравнения. Целое число $x$ можно представить как $\frac{17}{17}x$:

$\frac{17}{17}x - \frac{5}{17}x = 480$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$(\frac{17 - 5}{17})x = 480$

$\frac{12}{17}x = 480$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $\frac{12}{17}$. Это то же самое, что найти число по его части:

$x = 480 \div \frac{12}{17}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$x = 480 \cdot \frac{17}{12}$

Сократим 480 и 12 ($480 \div 12 = 40$):

$x = 40 \cdot 17$

$x = 680$

Сделаем проверку. Исходное число 680. Найдем $\frac{5}{17}$ от 680: $680 \cdot \frac{5}{17} = \frac{680 \cdot 5}{17} = 40 \cdot 5 = 200$.

Вычтем из исходного числа полученное значение: $680 - 200 = 480$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 680

967. Все учащиеся 6 класса занимаются или в секции тенниса, или в секции плавания. Некоторые из них занимаются и теннисом, и плаванием: $\frac{1}{6}$ теннисистов занимаются плаванием, а $\frac{1}{5}$ пловцов — теннисом. Кого в классе больше — теннисистов или пловцов?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $T$ — общее количество учащихся, занимающихся теннисом.
• Пусть $P$ — общее количество учащихся, занимающихся плаванием.
• Пусть $B$ — количество учащихся, которые занимаются и теннисом, и плаванием.

Из условия задачи нам известно, что $\frac{1}{6}$ часть всех теннисистов также занимается плаванием. Это можно записать в виде уравнения:

$B = \frac{1}{6} T$

Также нам известно, что $\frac{1}{5}$ часть всех пловцов также занимается теннисом. Это можно записать в виде другого уравнения:

$B = \frac{1}{5} P$

Поскольку $B$ обозначает одну и ту же группу учащихся в обоих случаях, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:

$\frac{1}{6} T = \frac{1}{5} P$

Теперь, чтобы сравнить количество теннисистов ($T$) и пловцов ($P$), выразим одну переменную через другую. Давайте выразим $T$ через $P$, умножив обе части уравнения на 6:

$T = 6 \cdot \frac{1}{5} P$

$T = \frac{6}{5} P$

Мы получили соотношение между количеством теннисистов и пловцов. Чтобы их сравнить, посмотрим на коэффициент $\frac{6}{5}$. Так как $\frac{6}{5} = 1.2$, а $1.2 > 1$, то получается, что $T > P$.

Следовательно, количество учащихся, занимающихся теннисом, больше, чем количество учащихся, занимающихся плаванием.

Ответ: в классе больше теннисистов.

968. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза?

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле:

$S_1 = a^2$

Согласно условию, каждую сторону квадрата увеличили в 2 раза. Новая длина стороны станет равной $2a$.

Площадь нового квадрата, $S_2$, будет равна:

$S_2 = (2a)^2 = 4a^2$

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, найдем отношение новой площади к старой:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4a^2}{a^2} = 4$

Это означает, что новая площадь в 4 раза больше исходной. Если принять исходную площадь за 100%, то новая площадь составит $4 \times 100\% = 400\%$ от исходной.

Увеличение площади в процентах равно разности между новой и исходной процентной величиной:

$400\% - 100\% = 300\%$

Таким образом, площадь квадрата увеличится на 300%.

Ответ: на 300%.

969. На сколько процентов уменьшится площадь квадрата, если каждую из его сторон уменьшить в 2 раза?

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1$ равна:

$S_1 = a^2$

По условию, каждую сторону квадрата уменьшили в 2 раза. Новая длина стороны стала равной $\frac{a}{2}$.

Найдем новую площадь квадрата $S_2$ с новой стороной:

$S_2 = (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}$

Теперь сравним новую площадь с первоначальной. Первоначальную площадь $S_1$ примем за 100%. Новая площадь $S_2$ составляет:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a^2} = \frac{1}{4}$

Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100%:

$\frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$

Это означает, что новая площадь составляет 25% от первоначальной.

Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилась площадь, нужно из 100% вычесть процент, который составляет новая площадь:

$100\% - 25\% = 75\%$

Ответ: 75%

970. Число 50 увеличили на 500%. Во сколько раз полученное число больше 50?

Чтобы решить данную задачу, необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найти величину, на которую увеличили исходное число. Исходное число — 50. Его увеличили на 500%. Чтобы найти 500% от 50, нужно умножить 50 на 500 и разделить на 100.

$50 \times \frac{500}{100} = 50 \times 5 = 250$

Таким образом, число 50 увеличили на 250.

2. Найти полученное число. Для этого к исходному числу прибавим величину, на которую его увеличили.

$50 + 250 = 300$

Полученное число равно 300.

3. Определить, во сколько раз полученное число больше исходного. Для этого разделим полученное число на исходное.

$\frac{300}{50} = 6$

Следовательно, полученное число в 6 раз больше 50.

Альтернативное решение:
Исходное число можно принять за 100%. Увеличение на 500% означает, что новое число составит $100\% + 500\% = 600\%$ от исходного. Чтобы найти, во сколько раз новое число больше, нужно разделить его процентное значение на процентное значение исходного числа: $\frac{600\%}{100\%} = 6$.

Ответ: 6

971. На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход разрешается перевернуть любые четыре стакана. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием инварианта, а именно четностью количества стаканов, стоящих вверх дном. Пусть $N$ — это количество стаканов, стоящих вверх дном.

В начальном состоянии все семь стаканов стоят вверх дном, то есть $N = 7$. Это нечетное число.

Цель состоит в том, чтобы все стаканы стояли правильно (дном вниз). В этом конечном состоянии количество стаканов, стоящих вверх дном, должно быть равно $N = 0$. Это четное число.

Рассмотрим, как изменяется количество стаканов $N$ за один ход. За один ход мы переворачиваем 4 стакана. Пусть среди этих четырех стаканов $k$ стаканов стояли вверх дном, а остальные $(4-k)$ стаканов стояли правильно.

После переворота:

• $k$ стаканов, которые стояли вверх дном, теперь будут стоять правильно. Это уменьшает число $N$ на $k$.
• $(4-k)$ стаканов, которые стояли правильно, теперь будут стоять вверх дном. Это увеличивает число $N$ на $(4-k)$.

Таким образом, общее изменение количества стаканов, стоящих вверх дном, за один ход составляет: $\Delta N = (4-k) - k = 4 - 2k$.

Величина $k$ может быть любым целым числом от 0 до 4. Независимо от значения $k$, изменение $\Delta N = 4 - 2k = 2(2-k)$ всегда будет четным числом, так как оно является произведением двойки и целого числа $(2-k)$.

Итак, каждый ход изменяет количество стаканов, стоящих вверх дном, на четное число. В начальный момент это количество было нечетным (7). При прибавлении или вычитании четного числа из нечетного числа результат всегда будет нечетным. Следовательно, после любого количества ходов число стаканов, стоящих вверх дном, будет оставаться нечетным.

Поскольку для достижения цели необходимо, чтобы количество стаканов, стоящих вверх дном, стало равным нулю (четному числу), а это невозможно, то добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно, нельзя.

Ответ: нет, этого добиться нельзя.