Номер 971, страница 201 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Координатная прямая. Глава 4. Рациональные числа - номер 971, страница 201.

Условие.

971. На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход разрешается перевернуть любые четыре стакана. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием инварианта, а именно четностью количества стаканов, стоящих вверх дном. Пусть $N$ — это количество стаканов, стоящих вверх дном.

В начальном состоянии все семь стаканов стоят вверх дном, то есть $N = 7$. Это нечетное число.

Цель состоит в том, чтобы все стаканы стояли правильно (дном вниз). В этом конечном состоянии количество стаканов, стоящих вверх дном, должно быть равно $N = 0$. Это четное число.

Рассмотрим, как изменяется количество стаканов $N$ за один ход. За один ход мы переворачиваем 4 стакана. Пусть среди этих четырех стаканов $k$ стаканов стояли вверх дном, а остальные $(4-k)$ стаканов стояли правильно.

После переворота:

• $k$ стаканов, которые стояли вверх дном, теперь будут стоять правильно. Это уменьшает число $N$ на $k$.
• $(4-k)$ стаканов, которые стояли правильно, теперь будут стоять вверх дном. Это увеличивает число $N$ на $(4-k)$.

Таким образом, общее изменение количества стаканов, стоящих вверх дном, за один ход составляет: $\Delta N = (4-k) - k = 4 - 2k$.

Величина $k$ может быть любым целым числом от 0 до 4. Независимо от значения $k$, изменение $\Delta N = 4 - 2k = 2(2-k)$ всегда будет четным числом, так как оно является произведением двойки и целого числа $(2-k)$.

Итак, каждый ход изменяет количество стаканов, стоящих вверх дном, на четное число. В начальный момент это количество было нечетным (7). При прибавлении или вычитании четного числа из нечетного числа результат всегда будет нечетным. Следовательно, после любого количества ходов число стаканов, стоящих вверх дном, будет оставаться нечетным.

Поскольку для достижения цели необходимо, чтобы количество стаканов, стоящих вверх дном, стало равным нулю (четному числу), а это невозможно, то добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно, нельзя.

Ответ: нет, этого добиться нельзя.