Номер 964, страница 201 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Координатная прямая. Глава 4. Рациональные числа - номер 964, страница 201.

Условие.

964. На координатной прямой отметили точки $A(2)$ и $B(8)$. Какую координату должна иметь точка $M$, чтобы отрезок $BM$ был в 2 раза длиннее отрезка $AM$? Сколько решений имеет задача?

Решение.

Решение 2.

Пусть координата точки М равна $x$. Координаты заданных точек: A(2) и B(8). Длина отрезка на координатной прямой — это модуль разности координат его концов. Следовательно, длина отрезка AM равна $|x - 2|$, а длина отрезка BM равна $|x - 8|$.

По условию задачи, отрезок BM в 2 раза длиннее отрезка AM. Запишем это в виде математического уравнения:

$|x - 8| = 2 \cdot |x - 2|$

Для решения этого уравнения с модулями необходимо рассмотреть случаи, в которых выражения под модулями меняют знак. Точки, в которых это происходит: $x = 2$ и $x = 8$. Эти точки делят координатную прямую на три промежутка. Рассмотрим каждый из них.

1. Точка M лежит между точками A и B ($2 \le x \le 8$)

В этом случае выражение $(x - 2)$ неотрицательно, а $(x - 8)$ неположительно. Таким образом, $|x - 2| = x - 2$ и $|x - 8| = -(x - 8) = 8 - x$. Подставим эти выражения в уравнение:

$8 - x = 2(x - 2)$

$8 - x = 2x - 4$

$8 + 4 = 2x + x$

$12 = 3x$

$x_1 = 4$

Значение $x = 4$ принадлежит промежутку $[2, 8]$, следовательно, это является одним из решений.

2. Точка M лежит левее точки A ($x < 2$)

В этом случае оба выражения, $(x - 2)$ и $(x - 8)$, отрицательны. Таким образом, $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x - 8| = -(x - 8) = 8 - x$. Уравнение принимает вид:

$8 - x = 2(2 - x)$

$8 - x = 4 - 2x$

$2x - x = 4 - 8$

$x_2 = -4$

Значение $x = -4$ удовлетворяет условию $x < 2$, следовательно, это второе решение.

3. Точка M лежит правее точки B ($x > 8$)

В этом случае оба выражения, $(x - 2)$ и $(x - 8)$, положительны. Таким образом, $|x - 2| = x - 2$ и $|x - 8| = x - 8$. Уравнение принимает вид:

$x - 8 = 2(x - 2)$

$x - 8 = 2x - 4$

$-8 + 4 = 2x - x$

$x = -4$

Полученное значение $x = -4$ не удовлетворяет условию $x > 8$, поэтому на этом промежутке решений нет.

Таким образом, мы нашли две возможные координаты для точки М: 4 и -4. Это означает, что задача имеет два решения.

Ответ: Точка М может иметь координату 4 или -4. Задача имеет 2 решения.