Номер 965, страница 201 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Координатная прямая. Глава 4. Рациональные числа - номер 965, страница 201.

Условие.

965. Начертите две окружности, радиусы которых равны $2 \text{ см}$, так, чтобы они:

1) имели две общие точки;

2) имели одну общую точку,

3) не имели общих точек.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи рассмотрим взаимное расположение двух окружностей. Пусть радиусы окружностей равны $r_1$ и $r_2$, а расстояние между их центрами — $d$. По условию, $r_1 = r_2 = 2$ см.

1) имели две общие точки

Две окружности имеют две общие точки (пересекаются), если расстояние между их центрами $d$ больше разности их радиусов, но меньше их суммы. Это выражается неравенством: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.
Подставим наши значения: $|2 - 2| < d < 2 + 2$, что дает $0 < d < 4$ см.
Таким образом, чтобы окружности имели две общие точки, расстояние между их центрами должно быть больше 0 см и меньше 4 см. Например, можно выбрать $d = 3$ см.
Построение:
1. Начертите отрезок $O_1O_2$ длиной 3 см.
2. Из центра $O_1$ проведите окружность радиусом 2 см.
3. Из центра $O_2$ проведите окружность радиусом 2 см.
Полученные окружности пересекутся в двух точках.

Ответ: Необходимо начертить две окружности радиусом 2 см так, чтобы расстояние между их центрами $d$ удовлетворяло условию $0 < d < 4$ см.

2) имели одну общую точку

Две окружности имеют одну общую точку (касаются), если расстояние между их центрами $d$ равно сумме их радиусов (внешнее касание) или разности их радиусов (внутреннее касание).
Условие: $d = r_1 + r_2$ или $d = |r_1 - r_2|$.

Внешнее касание: $d = 2 + 2 = 4$ см.
Внутреннее касание: $d = |2 - 2| = 0$ см. Если расстояние между центрами равно нулю, а радиусы равны, то окружности совпадают, то есть имеют бесконечно много общих точек, а не одну. Следовательно, этот случай нам не подходит.

Значит, окружности должны касаться внешним образом, и расстояние между их центрами должно быть равно 4 см.
Построение:
1. Начертите отрезок $O_1O_2$ длиной 4 см.
2. Из центра $O_1$ проведите окружность радиусом 2 см.
3. Из центра $O_2$ проведите окружность радиусом 2 см.
Окружности будут касаться в одной точке.

Ответ: Необходимо начертить две окружности радиусом 2 см так, чтобы расстояние между их центрами $d$ было равно 4 см.

3) не имели общих точек

Две окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами $d$ больше суммы их радиусов (окружности лежат одна вне другой) или меньше разности их радиусов (одна окружность лежит внутри другой).
Условие: $d > r_1 + r_2$ или $d < |r_1 - r_2|$.

Случай 1: $d > 2 + 2$, то есть $d > 4$ см.
Случай 2: $d < |2 - 2|$, то есть $d < 0$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен.

Следовательно, чтобы окружности не имели общих точек, расстояние между их центрами должно быть больше 4 см. Например, можно выбрать $d = 5$ см.
Построение:
1. Начертите отрезок $O_1O_2$ длиной 5 см.
2. Из центра $O_1$ проведите окружность радиусом 2 см.
3. Из центра $O_2$ проведите окружность радиусом 2 см.
Окружности не будут иметь общих точек.

Ответ: Необходимо начертить две окружности радиусом 2 см так, чтобы расстояние между их центрами $d$ было больше 4 см.