Страница 203 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Если число положительное, то положительным или отрицательным является противоположное ему число?

1.

По определению, противоположным для числа $a$ является число $-a$. Сумма этих чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$.

В условии сказано, что исходное число является положительным. Обозначим это число как $a$. Тогда, согласно условию, $a > 0$.

Нам нужно определить знак противоположного ему числа, то есть числа $-a$.

Возьмём верное неравенство $a > 0$ и умножим обе его части на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:

$a \cdot (-1) < 0 \cdot (-1)$

$-a < 0$

Неравенство $-a < 0$ показывает, что число, противоположное $a$, является отрицательным.

Например, для положительного числа 5 противоположным будет число -5, которое является отрицательным. Для положительного числа 12,3 противоположным будет -12,3, которое также является отрицательным.

Ответ: отрицательным.

2. Если число отрицательное, то положительным или отрицательным является противоположное ему число?

По определению, противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга только знаками. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$.
В условии задачи дано, что исходное число является отрицательным. Обозначим это число буквой $a$. То, что число $a$ отрицательное, математически записывается как неравенство $a < 0$.
Нам необходимо определить знак противоположного ему числа, то есть числа $-a$.
Для этого воспользуемся свойством неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Умножим обе части неравенства $a < 0$ на $-1$:
$a \cdot (-1) > 0 \cdot (-1)$
$-a > 0$
Полученное неравенство $-a > 0$ показывает, что число $-a$ больше нуля, а значит, оно является положительным.
Например, возьмем отрицательное число $-15$. Противоположным ему будет число $-(-15)$, что равно $15$. Число $15$ — положительное.
Таким образом, если число отрицательное, то противоположное ему число всегда будет положительным.
Ответ: положительным.

3. Какое число является противоположным самому себе?

Противоположными числами называются два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Например, числа 5 и -5 являются противоположными. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.

Нам нужно найти число, которое является противоположным самому себе. Обозначим это число переменной $x$. По определению, противоположное число для $x$ — это $-x$. Условие задачи можно записать в виде уравнения:

$x = -x$

Чтобы решить это уравнение, перенесем $-x$ из правой части в левую, изменив знак:

$x + x = 0$

Упростим левую часть:

$2x = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{0}{2}$

$x = 0$

Таким образом, единственное число, которое является противоположным самому себе, — это ноль. Действительно, противоположное числу 0 есть -0, что равно 0.

Ответ: 0

4. Какие числа называют целыми?

Целыми числами называют множество чисел, которое объединяет в себе натуральные числа, число ноль и отрицательные числа, противоположные натуральным.

Более подробно, множество целых чисел состоит из трёх частей:

• Натуральные числа (или целые положительные числа). Это числа, которые мы используем для счёта предметов: $1, 2, 3, 4, ...$
• Отрицательные целые числа. Это числа, которые противоположны натуральным: $-1, -2, -3, -4, ...$
• Число ноль ($0$). Ноль является целым числом, но не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.

Таким образом, любое натуральное число (например, $5$), любое противоположное ему отрицательное число (например, $-5$) и ноль ($0$) являются целыми числами.

Множество всех целых чисел в математике принято обозначать заглавной буквой $\mathbb{Z}$. Это множество можно записать так: $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$

Числа, которые имеют дробную часть (например, $1.5$ или $-\frac{2}{3}$) или являются иррациональными (например, $\sqrt{2}$ или $\pi$), не являются целыми.

Ответ: Целыми числами называют натуральные числа ($1, 2, 3, ...$), противоположные им отрицательные числа ($-1, -2, -3, ...$) и число $0$.

5. Как иначе называют целые положительные числа?

Целые положительные числа — это числа, которые используются при счёте предметов. Это ряд чисел, начинающийся с 1 и идущий до бесконечности: 1, 2, 3, 4, 5, и так далее. Они являются подмножеством целых чисел ($Z$) и не имеют дробной части.

Так как эти числа возникли в процессе человеческой деятельности естественным образом для подсчета, их также называют натуральными числами.

Множество натуральных чисел в математике принято обозначать символом $N$. Таким образом, множество целых положительных чисел — это и есть множество натуральных чисел:

$N = \{1, 2, 3, ...\}$

Ответ: натуральные числа.

6. Каждое ли натуральное число является целым?

Да, каждое натуральное число является целым. Чтобы понять почему, давайте разберемся с определениями натуральных и целых чисел.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счёте предметов (1, 2, 3, 4, ...). Множество натуральных чисел принято обозначать латинской буквой $N$.
$N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число ноль. Множество целых чисел принято обозначать латинской буквой $Z$.
$Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$

Сравнивая эти два определения, мы видим, что множество целых чисел $Z$ полностью включает в себя всё множество натуральных чисел $N$. Другими словами, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. В математике это записывается с помощью знака включения: $N \subset Z$.

Поскольку любое число, которое принадлежит множеству натуральных чисел, также принадлежит и множеству целых чисел, то утверждение "каждое натуральное число является целым" является верным.

Ответ: Да.

7. Верно ли, что если число рациональное, то оно является целым?

Нет, данное утверждение неверно.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$).

Целые числа — это натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им числа (-1, -2, -3, ...) и ноль (0).

Чтобы доказать, что утверждение "если число рациональное, то оно является целым" неверно, достаточно привести хотя бы один пример рационального числа, которое не является целым. Такой пример называется контрпримером.

Рассмотрим число $\frac{1}{2}$.

• Это число является рациональным, так как оно представлено в виде дроби, где числитель $m=1$ (целое число) и знаменатель $n=2$ (натуральное число).
• Однако, число $\frac{1}{2}$ не является целым. Его десятичное представление — $0.5$.

Поскольку мы нашли рациональное число ($\frac{1}{2}$), которое не является целым, исходное утверждение неверно.

Стоит отметить, что верным является обратное утверждение: любое целое число является рациональным. Например, целое число 5 можно представить в виде дроби $\frac{5}{1}$, что соответствует определению рационального числа. Таким образом, множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

8. Каждое ли целое число является рациональным?

Да, каждое целое число является рациональным. Чтобы доказать это утверждение, необходимо обратиться к определениям целого и рационального числа.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где числитель $p$ является целым числом, а знаменатель $q$ — целым числом, не равным нулю.

Целое число — это элемент множества $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$, которое состоит из натуральных чисел, противоположных им чисел и нуля.

Теперь покажем, что любое целое число $n$ можно представить в виде, соответствующем определению рационального числа. Для этого достаточно представить целое число $n$ как дробь со знаменателем 1:

$n = \frac{n}{1}$

В этой записи числитель ($p=n$) является целым числом, а знаменатель ($q=1$) также является целым числом и не равен нулю. Следовательно, любое целое число удовлетворяет определению рационального числа.

Например:

Целое число 5 можно записать как рациональную дробь $\frac{5}{1}$.

Целое число -17 можно записать как рациональную дробь $\frac{-17}{1}$.

Целое число 0 можно записать как рациональную дробь $\frac{0}{1}$.

Таким образом, множество всех целых чисел является подмножеством множества всех рациональных чисел. В математике это обозначается как $Z \subset Q$.

Ответ: Да, каждое целое число является рациональным, поскольку любое целое число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$, что соответствует определению рационального числа.

1. Вычислите:

1) $(\frac{3}{5} + 4) \cdot 5;$

2) $9 \cdot (\frac{1}{3} + 2);$

3) $\frac{1}{7} : 2;$

4) $\frac{4}{5} : 4;$

5) $\frac{3}{11} : \frac{3}{8};$

6) $\frac{4}{5} : 0,8.$

1) Для вычисления значения выражения $\left(\frac{3}{5} + 4\right) \cdot 5$ можно воспользоваться распределительным свойством умножения относительно сложения: $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
$\left(\frac{3}{5} + 4\right) \cdot 5 = \frac{3}{5} \cdot 5 + 4 \cdot 5$.
Вычислим каждое произведение по отдельности:
$\frac{3}{5} \cdot 5 = \frac{3 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5}} = 3$.
$4 \cdot 5 = 20$.
Теперь сложим полученные результаты:
$3 + 20 = 23$.
Ответ: 23

2) Для вычисления $9 \cdot \left(\frac{1}{3} + 2\right)$ также применим распределительное свойство умножения.
$9 \cdot \left(\frac{1}{3} + 2\right) = 9 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot 2$.
Вычислим первое произведение: $9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
Вычислим второе произведение: $9 \cdot 2 = 18$.
Сложим результаты: $3 + 18 = 21$.
Ответ: 21

3) Чтобы разделить дробь $\frac{1}{7}$ на целое число $2$, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить без изменений.
$\frac{1}{7} : 2 = \frac{1}{7 \cdot 2} = \frac{1}{14}$.
Это действие равносильно умножению на обратное число: $\frac{1}{7} : \frac{2}{1} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{14}$.
Ответ: $\frac{1}{14}$

4) Чтобы разделить дробь $\frac{4}{5}$ на целое число $4$, нужно умножить знаменатель дроби на это число.
$\frac{4}{5} : 4 = \frac{4}{5 \cdot 4}$.
Сократим дробь на 4: $\frac{\cancel{4}}{5 \cdot \cancel{4}} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

5) Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю).
$\frac{3}{11} : \frac{3}{8} = \frac{3}{11} \cdot \frac{8}{3}$.
Сократим одинаковые множители (3) в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{3} \cdot 8}{11 \cdot \cancel{3}} = \frac{8}{11}$.
Ответ: $\frac{8}{11}$

6) Для вычисления выражения $\frac{4}{5} : 0,8$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную.
$0,8 = \frac{8}{10}$. Сократим эту дробь на 2, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель: $\frac{8:2}{10:2} = \frac{4}{5}$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $\frac{4}{5} : \frac{4}{5}$.
Деление любого числа, отличного от нуля, на само себя равно 1.
$\frac{4}{5} : \frac{4}{5} = 1$.
Ответ: 1

2. Укажите, какое из данных чисел расположено на координатной прямой ближе к числу 0:

1) $5$ или $10$;

2) $-5$ или $10$;

3) $5$ или $-10$;

4) $-5$ или $-10$;

5) $-5$ или $5$;

6) $-2$ или $-6$.

Чтобы определить, какое из данных чисел расположено на координатной прямой ближе к числу 0, необходимо сравнить их модули (абсолютные значения). Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (точки 0). Чем меньше модуль числа, тем ближе оно к нулю.

1) 5 или 10;

Найдем модули чисел 5 и 10:

Модуль числа 5: $|5| = 5$.

Модуль числа 10: $|10| = 10$.

Сравниваем модули: $5 < 10$. Так как модуль числа 5 меньше, оно расположено ближе к 0.

Ответ: 5

2) -5 или 10;

Найдем модули чисел -5 и 10:

Модуль числа -5: $|-5| = 5$.

Модуль числа 10: $|10| = 10$.

Сравниваем модули: $5 < 10$. Так как модуль числа -5 меньше, оно расположено ближе к 0.

Ответ: -5

3) 5 или -10;

Найдем модули чисел 5 и -10:

Модуль числа 5: $|5| = 5$.

Модуль числа -10: $|-10| = 10$.

Сравниваем модули: $5 < 10$. Так как модуль числа 5 меньше, оно расположено ближе к 0.

Ответ: 5

4) -5 или -10;

Найдем модули чисел -5 и -10:

Модуль числа -5: $|-5| = 5$.

Модуль числа -10: $|-10| = 10$.

Сравниваем модули: $5 < 10$. Так как модуль числа -5 меньше, оно расположено ближе к 0.

Ответ: -5

5) -5 или 5;

Найдем модули чисел -5 и 5:

Модуль числа -5: $|-5| = 5$.

Модуль числа 5: $|5| = 5$.

Сравниваем модули: $5 = 5$. Так как модули чисел равны, они находятся на одинаковом расстоянии от 0.

Ответ: числа -5 и 5 расположены на одинаковом расстоянии от 0.

6) -2 или -6.

Найдем модули чисел -2 и -6:

Модуль числа -2: $|-2| = 2$.

Модуль числа -6: $|-6| = 6$.

Сравниваем модули: $2 < 6$. Так как модуль числа -2 меньше, оно расположено ближе к 0.

Ответ: -2

3. Назовите два числа, равноудалённые от числа 0 на координатной прямой. Назовите ещё четыре пары таких чисел.

Числа, которые равноудалены от числа 0 на координатной прямой, называются противоположными. Они имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но противоположные знаки. Для любого числа $a$ (кроме 0), пара чисел $a$ и $-a$ будет равноудалена от 0, так как расстояние от 0 до каждого из них равно $|a|$.

Назовите два числа, равноудалённые от числа 0 на координатной прямой

Возьмём произвольное число, например, 3. Расстояние от 0 до 3 равно $|3| = 3$. Противоположное ему число — это -3. Расстояние от 0 до -3 равно $|-3| = 3$. Следовательно, числа 3 и -3 равноудалены от 0.

Ответ: 3 и -3.

Назовите ещё четыре пары таких чисел

Можно составить бесконечное количество таких пар. Приведем четыре примера:

1. Пара чисел 8 и -8. Оба числа находятся на расстоянии 8 от 0.
2. Пара чисел 1,25 и -1,25. Оба числа находятся на расстоянии 1,25 от 0.
3. Пара чисел 200 и -200. Оба числа находятся на расстоянии 200 от 0.
4. Пара чисел $\frac{5}{7}$ и $-\frac{5}{7}$. Оба числа находятся на расстоянии $\frac{5}{7}$ от 0.

Ответ: (8 и -8); (1,25 и -1,25); (200 и -200); ($\frac{5}{7}$ и $-\frac{5}{7}$).

4. Начало отсчёта является серединой отрезка $AB$, лежащего на координатной прямой. Каковы координаты точки $B$, если:

1) $A (7)$;

2) $A (-4,86)$?

Пусть координаты точек A и B на координатной прямой равны $x_A$ и $x_B$ соответственно. Координата середины отрезка AB вычисляется по формуле: $x_{сер} = \frac{x_A + x_B}{2}$.

По условию задачи, серединой отрезка AB является начало отсчета, то есть точка с координатой 0. Следовательно, $x_{сер} = 0$.

Подставим это значение в формулу:

$0 = \frac{x_A + x_B}{2}$

Умножив обе части уравнения на 2, получим:

$0 = x_A + x_B$

Из этого уравнения выразим координату точки B:

$x_B = -x_A$

Это означает, что координаты точек A и B являются противоположными числами, то есть они равноудалены от начала отсчета, но находятся по разные стороны от него. Теперь найдем координату точки B для каждого из случаев.

1) Дана точка A с координатой 7, то есть $A(7)$. Значит, $x_A = 7$.

Найдем координату точки B, используя полученную зависимость:

$x_B = -x_A = -7$

Координата точки B равна -7.

Ответ: B(-7).

2) Дана точка A с координатой -4,86, то есть $A(-4,86)$. Значит, $x_A = -4,86$.

Найдем координату точки B:

$x_B = -x_A = -(-4,86) = 4,86$

Координата точки B равна 4,86.

Ответ: B(4,86).

972. Назовите число, противоположное числу:

1) $6$;

2) $-7$;

3) $0,9$;

4) $0$;

5) $7,2$;

6) $-23$;

7) $-13,4$.

Противоположные числа — это числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$.

1) Для положительного числа 6 противоположным является число с таким же модулем, но с противоположным знаком. Таким числом является -6. Проверка: $6 + (-6) = 0$.
Ответ: -6

2) Для отрицательного числа -7 противоположным является число с таким же модулем, но с противоположным знаком. Таким числом является 7. Противоположное число для $-a$ можно найти по формуле $-(-a) = a$. Проверка: $-7 + 7 = 0$.
Ответ: 7

3) Для положительного десятичного числа 0,9 противоположным будет число -0,9. Проверка: $0,9 + (-0,9) = 0$.
Ответ: -0,9

4) Число 0 является особенным, так как оно не является ни положительным, ни отрицательным. Число, противоположное нулю, — это сам ноль. Проверка: $0 + 0 = 0$.
Ответ: 0

5) Для положительного десятичного числа 7,2 противоположным является число -7,2. Проверка: $7,2 + (-7,2) = 0$.
Ответ: -7,2

6) Для отрицательного числа -23 противоположным является положительное число 23. Проверка: $-23 + 23 = 0$.
Ответ: 23

7) Для отрицательного десятичного числа -13,4 противоположным является положительное число 13,4. Проверка: $-13,4 + 13,4 = 0$.
Ответ: 13,4

973. Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого числа из верхней строки найти противоположное ему число. Противоположным для числа $a$ является число $-a$. Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга только знаками. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$.

Для числа 10
Противоположным числом для положительного числа 10 является то же число, взятое со знаком минус.
Ответ: -10

Для числа -8
Противоположным числом для отрицательного числа -8 является то же число, но со знаком плюс, так как $-(-8) = 8$.
Ответ: 8

Для числа 0,4
Противоположным числом для положительного десятичного числа 0,4 является число -0,4.
Ответ: -0,4

Для числа 3,5
Противоположным числом для положительного десятичного числа 3,5 является число -3,5.
Ответ: -3,5

Для числа 0
Число 0 является противоположным самому себе, так как $-0 = 0$.
Ответ: 0

Для числа -7,8
Противоположным числом для отрицательного десятичного числа -7,8 является число 7,8, так как $-(-7,8) = 7,8$.
Ответ: 7,8

Для числа $2\frac{5}{7}$
Противоположным числом для положительной смешанной дроби $2\frac{5}{7}$ является число $-2\frac{5}{7}$.
Ответ: $-2\frac{5}{7}$

Для числа $-3\frac{4}{9}$
Противоположным числом для отрицательной смешанной дроби $-3\frac{4}{9}$ является число $3\frac{4}{9}$, так как $-(-3\frac{4}{9}) = 3\frac{4}{9}$.
Ответ: $3\frac{4}{9}$

Для числа 900
Противоположным числом для положительного числа 900 является число -900.
Ответ: -900

Таким образом, заполненная таблица выглядит следующим образом: