Страница 209 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют модулем числа?

Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа $a$ называют расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (точки 0). Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа является неотрицательной величиной. Например, расстояние от точки с координатой 5 до 0 равно 5, и расстояние от точки с координатой -5 до 0 также равно 5. Следовательно, $|5| = 5$ и $|-5| = 5$.

Алгебраически модуль числа $a$, который обозначается как $|a|$, определяется следующим образом:

Это определение означает, что:

• модуль неотрицательного числа (положительного или нуля) равен самому этому числу;
• модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

Примеры:

• $|12| = 12$
• $|-8| = -(-8) = 8$
• $|0| = 0$

Таким образом, можно сказать, что модуль "убирает" знак минус у отрицательного числа, а положительное число и ноль оставляет без изменений.

Ответ: Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой, поэтому он всегда неотрицателен. Модуль положительного числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

2. Какие значения может принимать модуль числа?

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат (точки 0) до точки, изображающей это число на координатной прямой. Расстояние по своей природе не может быть отрицательным, оно всегда является положительной величиной или равно нулю.

Определение модуля числа $a$ (обозначается как $|a|$) выглядит следующим образом:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Рассмотрим несколько примеров:

• Если число положительное, например 5, то его модуль равен самому числу: $|5| = 5$.
• Если число отрицательное, например -5, то его модуль равен противоположному ему числу: $|-5| = -(-5) = 5$.
• Если число равно нулю, то его модуль равен нулю: $|0| = 0$.

Таким образом, какое бы число мы ни взяли (положительное, отрицательное или ноль), его модуль всегда будет неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю.

Математически это можно записать как $|a| \ge 0$ для любого числа $a$.

Ответ: Модуль числа может принимать любые неотрицательные значения (ноль и все положительные числа).

3. Чему равен модуль положительного числа?

Модулем, или абсолютной величиной, числа называется расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля). Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа является неотрицательной величиной.

Математическое определение модуля числа $x$ (обозначается как $|x|$) следующее:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Вопрос касается модуля положительного числа. Положительное число — это любое число, которое больше нуля. Обозначим такое число буквой $a$, где $a > 0$.

Согласно определению, если число больше или равно нулю ($x \ge 0$), то его модуль равен самому этому числу. Так как любое положительное число $a$ удовлетворяет условию $a > 0$ (и, следовательно, $a \ge 0$), то мы применяем первую часть формулы.

Таким образом, для любого положительного числа $a$:
$|a| = a$

Например:
$|7| = 7$
$|15.3| = 15.3$
$|\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$

Ответ: Модуль положительного числа равен самому этому числу.

4. Чему равен модуль числа 0?

Модулем (или абсолютной величиной) числа называется расстояние от начала координат (точки 0) до точки на числовой прямой, которая соответствует этому числу. Расстояние по определению не может быть отрицательным.

Формально, модуль числа $a$, который обозначается как $|a|$, определяется следующим образом:
$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Для того чтобы найти модуль числа 0, необходимо применить это определение. Число 0 удовлетворяет первому условию, так как $0 \ge 0$.

Следовательно, для числа 0 мы используем первую часть формулы: $|a| = a$.
Подставляя $a=0$, получаем:
$|0| = 0$

Таким образом, модуль числа 0 равен самому числу 0. Геометрически это означает, что расстояние от точки 0 до самой себя на числовой прямой равно нулю.

Ответ: 0

5. Чему равен модуль отрицательного числа?

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат (точки 0) до точки на числовой прямой, которая соответствует этому числу. Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной (то есть положительным числом или нулём).

Если число является отрицательным, то его модуль равен противоположному ему числу. Противоположное для отрицательного числа — это то же число, но взятое со знаком «плюс».

Обозначим отрицательное число как $a$, где $a < 0$. Тогда его модуль, по определению, вычисляется по формуле:
$|a| = -a$
Здесь $-a$ является положительным числом, так как само число $a$ — отрицательное.

Рассмотрим на примерах:
- Модуль числа -7 равен $|-7| = -(-7) = 7$.
- Модуль числа -15.2 равен $|-15.2| = 15.2$.
- Модуль числа $- \frac{1}{3}$ равен $|- \frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.
Таким образом, чтобы найти модуль отрицательного числа, достаточно убрать у него знак минуса.

Ответ: Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

6. Что можно сказать о модулях противоположных чисел?

Противоположными числами называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Например, числа $7$ и $-7$ являются противоположными.

Модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (точки $0$). Поскольку расстояние всегда неотрицательно, модуль любого числа также является неотрицательной величиной. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.

Чтобы понять, как связаны модули противоположных чисел, рассмотрим их на примере и в общем виде. Противоположные числа, например $a$ и $-a$, находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Так как модуль — это и есть это расстояние, то их модули должны быть равны.

Формально это доказывается с помощью определения модуля:
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$

Рассмотрим все возможные случаи для числа $a$:
1. Если $a > 0$, то $-a < 0$. В этом случае $|a| = a$ и $|-a| = -(-a) = a$. Значит, $|a| = |-a|$.
2. Если $a < 0$, то $-a > 0$. В этом случае $|a| = -a$ и $|-a| = -a$. Значит, $|a| = |-a|$.
3. Если $a = 0$, то $-a = 0$. В этом случае $|0| = 0$ и $|-0| = 0$. Значит, $|0| = |-0|$.

Таким образом, для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $|a| = |-a|$.

Ответ: Модули противоположных чисел равны.