Страница 212 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1019. За 1 ч напечатали $\frac{5}{8}$ рукописи. За сколько часов напечатают всю рукопись?

По условию задачи, за 1 час была напечатана часть рукописи, равная $ \frac{5}{8} $. Всю рукопись можно принять за 1 (единицу).

Чтобы найти общее время, необходимое для того, чтобы напечатать всю рукопись, нужно разделить объем всей работы (1) на производительность (часть работы, выполняемую за 1 час).

Найдем время $T$:
$ T = 1 \div \frac{5}{8} $

Чтобы разделить число на дробь, необходимо умножить это число на дробь, обратную делителю (перевернутую дробь):
$ T = 1 \times \frac{8}{5} = \frac{8}{5} $ часа.

Преобразуем неправильную дробь в десятичную:
$ \frac{8}{5} = 1,6 $ часа.

Также можно выразить это время в часах и минутах. 1,6 часа — это 1 полный час и 0,6 часа. Переведем 0,6 часа в минуты, зная, что в 1 часе 60 минут:
$ 0,6 \times 60 = 36 $ минут.

Следовательно, на выполнение всей работы потребуется 1 час 36 минут.

Ответ: $1,6$ часа.

1020. Найдите расстояние между двумя городами, если $\frac{4}{9}$ этого расстояния на 20 км меньше всего расстояния.

Пусть искомое расстояние между городами равно $x$ км. Согласно условию задачи, $\frac{4}{9}$ этого расстояния на 20 км меньше, чем всё расстояние. Составим уравнение на основе этого условия:

$\frac{4}{9}x = x - 20$

Чтобы решить уравнение, перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Удобнее перенести $\frac{4}{9}x$ вправо, а $-20$ влево, поменяв их знаки:

$20 = x - \frac{4}{9}x$

Теперь выполним вычитание в правой части уравнения. Представим $x$ как $\frac{9}{9}x$ для удобства:

$20 = \frac{9}{9}x - \frac{4}{9}x$

$20 = (\frac{9 - 4}{9})x$

$20 = \frac{5}{9}x$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно 20 разделить на дробь $\frac{5}{9}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 20 \div \frac{5}{9} = 20 \cdot \frac{9}{5}$

Выполним вычисление:

$x = \frac{20 \cdot 9}{5} = \frac{180}{5} = 36$

Таким образом, расстояние между городами составляет 36 км.

Проверка

1. Найдем $\frac{4}{9}$ от найденного расстояния:

$\frac{4}{9} \cdot 36 = \frac{4 \cdot 36}{9} = 4 \cdot 4 = 16$ км.

2. Проверим, действительно ли эта величина на 20 км меньше всего расстояния:

$36 \text{ км} - 16 \text{ км} = 20 \text{ км}$.

Условие выполняется, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 36 км.

1021. Пётр израсходовал $10\%$ имевшихся у него денег, а затем ещё $30\%$ оставшихся. После этого у него оказалось 315 р. Сколько денег было у Петра первоначально?

Для решения этой задачи можно пойти двумя путями: составить уравнение или решать по действиям с конца.

Способ 1: Решение через уравнение

1. Обозначим первоначальную сумму денег, которая была у Петра, через $x$.

2. Пётр израсходовал 10% своих денег. После этого у него осталось $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной суммы. В виде десятичной дроби это можно записать как $x - 0.1x = 0.9x$.

3. Затем он израсходовал 30% от оставшейся суммы, то есть от $0.9x$. Это значит, что от этой суммы у него осталось $100\% - 30\% = 70\%$. Вычислим, какая сумма осталась у Петра в итоге:

$0.7 \cdot (0.9x) = 0.63x$

4. По условию, эта оставшаяся сумма равна 315 рублям. Составим и решим уравнение:

$0.63x = 315$

$x = \frac{315}{0.63}$

$x = \frac{31500}{63}$

$x = 500$

Способ 2: Решение по действиям с конца

1. Мы знаем, что 315 рублей — это сумма, которая осталась после того, как Пётр потратил 30% от денег, бывших у него после первой траты. Следовательно, 315 рублей — это $100\% - 30\% = 70\%$ от той промежуточной суммы. Найдём эту сумму:

$315 \div 0.7 = 450$ рублей.

Итак, после первой траты у Петра было 450 рублей.

2. Эти 450 рублей — это сумма, которая осталась после того, как Пётр потратил 10% от первоначальной суммы. Значит, 450 рублей — это $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной суммы. Найдём первоначальную сумму:

$450 \div 0.9 = 500$ рублей.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 500 рублей.

1022. Вычислите значение выражения:

$0.9 \cdot \left(1\frac{5}{9} - \frac{4}{9} : \left(\frac{5}{8} + \frac{3}{8} : 3\right)\right)$

Для вычисления значения данного выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (в первую очередь деление и умножение, затем сложение и вычитание), а затем остальные действия по порядку.

Исходное выражение: $0,9 \cdot \left(1\frac{5}{9} - \frac{4}{9} : \left(\frac{5}{8} + \frac{3}{8} : 3\right)\right)$

1. Первым действием выполним деление во внутренних скобках:

$\frac{3}{8} : 3 = \frac{3}{8} : \frac{3}{1} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

2. Далее выполним сложение во внутренних скобках:

$\frac{5}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5+1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

3. Теперь выражение приняло вид: $0,9 \cdot \left(1\frac{5}{9} - \frac{4}{9} : \frac{3}{4}\right)$. Выполним деление в оставшихся скобках:

$\frac{4}{9} : \frac{3}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 3} = \frac{16}{27}$

4. Следующим шагом выполним вычитание в скобках. Для этого преобразуем смешанное число $1\frac{5}{9}$ в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю:

$1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$

$\frac{14}{9} - \frac{16}{27} = \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{16}{27} = \frac{42}{27} - \frac{16}{27} = \frac{42-16}{27} = \frac{26}{27}$

5. Последним действием выполним умножение. Представим десятичную дробь $0,9$ в виде обыкновенной дроби:

$0,9 = \frac{9}{10}$

$\frac{9}{10} \cdot \frac{26}{27} = \frac{9 \cdot 26}{10 \cdot 27}$

Сократим дробь перед умножением: 9 и 27 на 9; 10 и 26 на 2.

$\frac{1 \cdot 13}{5 \cdot 3} = \frac{13}{15}$

Ответ: $\frac{13}{15}$

1023. Сравните числа:

1) $ \frac{6}{7} $ и $ \frac{17}{21}; $

2) $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{11}{15}; $

3) $ \frac{5}{9} $ и $ \frac{4}{7}; $

4) 3,4 и 3,38;

5) 0,02 и 0,019;

6) 0,001 и 0.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{17}{21}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 7 и 21 равен 21. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3:
$\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{18}{21}$
Теперь сравним полученную дробь $\frac{18}{21}$ с дробью $\frac{17}{21}$. Поскольку знаменатели дробей одинаковы, сравниваем их числители.
Так как $18 > 17$, то и $\frac{18}{21} > \frac{17}{21}$.
Следовательно, $\frac{6}{7} > \frac{17}{21}$.
Ответ: $\frac{6}{7} > \frac{17}{21}$.

2) Для сравнения дробей $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{15}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 12 и 15 равно 60.
Приведем обе дроби к знаменателю 60:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{35}{60}$
$\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{44}{60}$
Теперь сравним дроби $\frac{35}{60}$ и $\frac{44}{60}$. Сравнивая числители, получаем: $35 < 44$.
Следовательно, $\frac{35}{60} < \frac{44}{60}$, а значит $\frac{7}{12} < \frac{11}{15}$.
Ответ: $\frac{7}{12} < \frac{11}{15}$.

3) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{4}{7}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 9 и 7 будет их произведение, так как они взаимно простые числа: $9 \cdot 7 = 63$.
Приводим дроби к знаменателю 63:
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{35}{63}$
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{36}{63}$
Сравниваем числители полученных дробей: $35 < 36$.
Значит, $\frac{35}{63} < \frac{36}{63}$, из чего следует, что $\frac{5}{9} < \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{9} < \frac{4}{7}$.

4) Для сравнения десятичных дробей 3,4 и 3,38, начнем сравнивать их разряды слева направо.
Целые части обоих чисел равны 3.
Сравним разряды десятых: у числа 3,4 это 4, а у числа 3,38 это 3.
Поскольку $4 > 3$, то число 3,4 больше, чем 3,38.
Другой способ: уравнять количество знаков после запятой. $3,4 = 3,40$. Сравнивая 3,40 и 3,38, видим, что $40 > 38$, следовательно $3,4 > 3,38$.
Ответ: $3,4 > 3,38$.

5) Сравним десятичные дроби 0,02 и 0,019.
Целые части и разряды десятых у обоих чисел равны нулю.
Сравним разряды сотых: у числа 0,02 это 2, а у числа 0,019 это 1.
Так как $2 > 1$, то $0,02 > 0,019$.
Можно также привести числа к одинаковому количеству знаков после запятой: $0,02 = 0,020$. Сравнивая 0,020 и 0,019, видим, что $20 > 19$, поэтому $0,02 > 0,019$.
Ответ: $0,02 > 0,019$.

6) Сравним числа 0,001 и 0.
Число 0,001 является положительным числом. Любое положительное число всегда больше нуля.
Следовательно, $0,001 > 0$.
Ответ: $0,001 > 0$.

1024. Расположите в порядке возрастания числа:

$5 \frac{5}{8}$; $5 \frac{3}{5}$; 5,7; $4 \frac{1}{2}$; 6,1; $4 \frac{9}{16}$.

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо привести их к единому формату. Преобразуем все числа в десятичные дроби.

Выполним преобразования для каждого числа:

$5 \frac{5}{8} = 5 + \frac{5}{8} = 5 + 0,625 = 5,625$
$5 \frac{3}{5} = 5 + \frac{3}{5} = 5 + 0,6 = 5,6$
$5,7$ (уже в десятичном формате)
$4 \frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{2} = 4 + 0,5 = 4,5$
$6,1$ (уже в десятичном формате)
$4 \frac{9}{16} = 4 + \frac{9}{16} = 4 + 0,5625 = 4,5625$

Теперь у нас есть следующий ряд десятичных дробей: $5,625$; $5,6$; $5,7$; $4,5$; $6,1$; $4,5625$.

Сравним эти числа и расположим их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):

$4,5 < 4,5625 < 5,6 < 5,625 < 5,7 < 6,1$

Теперь запишем исходные числа в этом же порядке, чтобы получить итоговый ответ.

Ответ: $4 \frac{1}{2}; 4 \frac{9}{16}; 5 \frac{3}{5}; 5 \frac{5}{8}; 5,7; 6,1$.

1025. В некотором весеннем месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой день недели был 7-го числа этого месяца? Какой это месяц?

Для решения задачи проанализируем, как количество дней в месяце влияет на количество тех или иных дней недели.

• В месяце, где 28 дней ($4 \times 7$), каждого дня недели ровно по 4.
• В месяце, где 29 дней ($4 \times 7 + 1$), один день недели (тот, с которого начинается месяц) встречается 5 раз, остальные — по 4.
• В месяце, где 30 дней ($4 \times 7 + 2$), два дня недели (те, с которых начинается месяц) встречаются по 5 раз, остальные — по 4.
• В месяце, где 31 день ($4 \times 7 + 3$), три дня недели (те, с которых начинается месяц) встречаются по 5 раз, остальные — по 4.

По условию задачи, в некотором весеннем месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Это означает, что и понедельники, и воскресенья должны встречаться по 5 раз, а вторники и субботы — по 4 раза.

Какой это месяц?

Поскольку как минимум два дня недели (понедельник и воскресенье) встречаются по 5 раз, месяц не может состоять из 28 или 29 дней.

Рассмотрим вариант, когда в месяце 31 день. В этом случае 5 раз встречаются три дня недели подряд. Чтобы среди них были и воскресенье, и понедельник, месяц должен начинаться либо в субботу (тогда 5 раз будут суббота, воскресенье, понедельник), либо в воскресенье (воскресенье, понедельник, вторник).

• Если месяц начинается в субботу, то и суббот, и воскресений будет по 5. Условие "воскресений больше, чем суббот" не выполняется.
• Если месяц начинается в воскресенье, то и понедельников, и вторников будет по 5. Условие "понедельников больше, чем вторников" не выполняется.

Следовательно, в месяце не 31 день.

Рассмотрим вариант, когда в месяце 30 дней. В этом случае 5 раз встречаются два дня недели подряд. Чтобы это были воскресенье и понедельник, месяц должен начинаться в воскресенье. Проверим этот вариант:

• Если месяц начинается в воскресенье, то по 5 раз в нем будут воскресенья и понедельники.
• Все остальные дни недели, включая вторники и субботы, будут встречаться по 4 раза.
• Сравним: количество понедельников (5) больше количества вторников (4) — верно.
• Сравним: количество воскресений (5) больше количества суббот (4) — верно.

Этот вариант полностью удовлетворяет условиям задачи. Значит, это месяц, в котором 30 дней, и он начинается в воскресенье.

По условию, это весенний месяц. Весенние месяцы — это март (31 день), апрель (30 дней) и май (31 день). Единственный весенний месяц, в котором 30 дней, — это апрель.

Ответ: Это апрель.

Какой день недели был 7-го числа этого месяца?

Мы установили, что искомый месяц (апрель) начинается в воскресенье. Следовательно, календарь первой недели месяца выглядит так:

• 1-е число — воскресенье
• 2-е число — понедельник
• 3-е число — вторник
• 4-е число — среда
• 5-е число — четверг
• 6-е число — пятница
• 7-е число — суббота

Таким образом, 7-е число этого месяца пришлось на субботу.

Ответ: 7-го числа этого месяца была суббота.