Страница 217 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1033. Существует ли такое значение x, при котором верно неравенство:

1) $|x| < 0;$

2) $|x| > 1\,000\,000?$

1) $|x| < 0$

Модуль (или абсолютная величина) числа, обозначаемый как $|x|$, по определению является расстоянием от точки, соответствующей этому числу на координатной прямой, до начала отсчета (нуля). Расстояние не может быть отрицательным числом. Для любого действительного числа $x$ значение его модуля всегда неотрицательно, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, неравенство $|x| < 0$ не может быть верным ни при каком значении $x$.

Ответ: нет, не существует.

2) $|x| > 1 000 000$

Это неравенство означает, что расстояние от числа $x$ до нуля должно быть больше 1 000 000. Таких значений $x$ существует бесконечно много. Например, если взять $x = 1 000 001$, то его модуль $|1 000 001| = 1 000 001$, что больше 1 000 000. Также можно взять отрицательное число, например, $x = -2 000 000$. Его модуль $|-2 000 000| = 2 000 000$, что также больше 1 000 000. Таким образом, данное неравенство верно для любого числа $x$, которое больше 1 000 000 или меньше -1 000 000.

Ответ: да, существует.

1034. Запишите в виде неравенства утверждение:

1) 9 – положительное число;
$9 > 0$

2) –20 – отрицательное число;
$-20 < 0$

3) –6 – неположительное число;
$-6 \le 0$

4) m – отрицательное число;
$m < 0$

5) n – неотрицательное число;
$n \ge 0$

6) c – положительное число.
$c > 0$

1) Положительным числом называется число, которое строго больше нуля. Утверждение «9 — положительное число» означает, что 9 больше 0. Для записи этого используется знак «больше» ($>$).
Таким образом, неравенство выглядит следующим образом: $9 > 0$.
Ответ: $9 > 0$

2) Отрицательным числом называется число, которое строго меньше нуля. Утверждение «-20 — отрицательное число» означает, что -20 меньше 0. Для записи этого используется знак «меньше» ($<$).
Таким образом, неравенство выглядит следующим образом: $-20 < 0$.
Ответ: $-20 < 0$

3) Неположительным числом называется число, которое меньше или равно нулю. Это означает, что число является либо отрицательным, либо нулём. Утверждение «-6 — неположительное число» записывается с использованием знака «меньше или равно» ($\le$).
Таким образом, неравенство выглядит следующим образом: $-6 \le 0$.
Ответ: $-6 \le 0$

4) Утверждение «$m$ — отрицательное число» означает, что переменная $m$ принимает значения, которые строго меньше нуля. Для записи этого используется знак «меньше» ($<$).
Таким образом, неравенство выглядит следующим образом: $m < 0$.
Ответ: $m < 0$

5) Неотрицательным числом называется число, которое больше или равно нулю. Это означает, что число является либо положительным, либо нулём. Утверждение «$n$ — неотрицательное число» записывается с использованием знака «больше или равно» ($\ge$).
Таким образом, неравенство выглядит следующим образом: $n \ge 0$.
Ответ: $n \ge 0$

6) Утверждение «$c$ — положительное число» означает, что переменная $c$ принимает значения, которые строго больше нуля. Для записи этого используется знак «больше» ($>$).
Таким образом, неравенство выглядит следующим образом: $c > 0$.
Ответ: $c > 0$

1035. Найдите все целые значения x, при которых верно неравенство:

1) $-5.3 \le x \le 2.5$;

2) $-3.6 < x < 4.9$;

3) $-43 < x \le -38$;

4) $-274.6 < x < -270.8$.

1) Найдём все целые значения $x$ для неравенства $-5,3 \le x \le 2,5$.
Искомые целые числа должны быть больше или равны $-5,3$ и меньше или равны $2,5$.
Первое целое число, которое больше или равно $-5,3$, это $-5$.
Последнее целое число, которое меньше или равно $2,5$, это $2$.
Следовательно, нам подходят все целые числа от $-5$ до $2$ включительно.
Это числа: $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$.
Ответ: $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$.

2) Найдём все целые значения $x$ для неравенства $-3,6 < x < 4,9$.
Искомые целые числа должны быть строго больше $-3,6$ и строго меньше $4,9$.
Первое целое число, которое больше $-3,6$, это $-3$.
Последнее целое число, которое меньше $4,9$, это $4$.
Следовательно, нам подходят все целые числа от $-3$ до $4$ включительно.
Это числа: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.
Ответ: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

3) Найдём все целые значения $x$ для неравенства $-43 < x \le -38$.
Искомые целые числа должны быть строго больше $-43$ и меньше или равны $-38$.
Первое целое число, которое больше $-43$, это $-42$.
Последнее целое число, которое меньше или равно $-38$, это само число $-38$, так как неравенство нестрогое ($ \le $).
Следовательно, нам подходят все целые числа от $-42$ до $-38$ включительно.
Это числа: $-42, -41, -40, -39, -38$.
Ответ: $-42, -41, -40, -39, -38$.

4) Найдём все целые значения $x$ для неравенства $-274,6 < x < -270,8$.
Искомые целые числа должны быть строго больше $-274,6$ и строго меньше $-270,8$.
Первое целое число, которое больше $-274,6$, это $-274$.
Последнее целое число, которое меньше $-270,8$, это $-271$.
Следовательно, нам подходят все целые числа от $-274$ до $-271$ включительно.
Это числа: $-274, -273, -272, -271$.
Ответ: $-274, -273, -272, -271$.

1036. Найдите все целые значения x, при которых верно неравенство:

1) $-5,6 \leq x \leq 2$;

2) $-0,61 \leq x < 4$;

3) $|x| \leq 0$.

1) Найдём все целые значения $x$, для которых верно неравенство $-5,6 \le x \le 2$.
Нам нужно найти все целые числа, которые находятся в промежутке от $-5,6$ до $2$ включительно.
Первое целое число, которое больше или равно $-5,6$, это $-5$. Далее по возрастанию идут $-4, -3, -2, -1, 0, 1$. Последнее целое число, которое меньше или равно $2$, это $2$.
Таким образом, все целые значения $x$, удовлетворяющие неравенству, это: $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$.
Ответ: $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$.

2) Найдём все целые значения $x$, для которых верно неравенство $-0,61 \le x < 4$.
Нам нужно найти все целые числа, которые находятся в промежутке от $-0,61$ (включительно) до $4$ (не включая).
Первое целое число, которое больше или равно $-0,61$, это $0$. Далее по возрастанию идут $1, 2, 3$. Число $4$ не включается, так как неравенство строгое ($x < 4$).
Таким образом, все целые значения $x$, удовлетворяющие неравенству, это: $0, 1, 2, 3$.
Ответ: $0, 1, 2, 3$.

3) Найдём все целые значения $x$, для которых верно неравенство $|x| \le 0$.
Модуль (абсолютное значение) любого числа по определению является неотрицательной величиной, то есть для любого $x$ всегда выполняется условие $|x| \ge 0$.
Следовательно, неравенство $|x| \le 0$ может быть верным только в одном случае: когда обе части равны, то есть $|x| = 0$.
Это равенство справедливо только при $x = 0$. Так как $0$ является целым числом, оно является решением.
Ответ: $0$.

1037. Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $-9 < x < 3$;

2) $x \ge -10$;

3) $x \ge -2,6$.

1) $-9 < x < 3$;
Данное двойное неравенство означает, что искомое целое число $x$ должно быть строго больше -9 и строго меньше 3. Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, это: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2. Наименьшим из этих чисел является -8.
Ответ: -8

2) $x \ge -10$;
Неравенство означает, что искомое целое число $x$ должно быть больше или равно -10. Множество целых чисел, удовлетворяющих этому условию, начинается с -10 и включает все последующие целые числа: -10, -9, -8, -7, ... . Наименьшим в этом множестве является само число -10.
Ответ: -10

3) $x \ge -2,6$.
Согласно этому неравенству, искомое целое число $x$ должно быть больше или равно -2,6. На числовой прямой первое целое число, которое больше, чем -2,6, это -2. Все последующие целые числа (-1, 0, 1, ...) также удовлетворяют неравенству. Следовательно, наименьшим целым числом, удовлетворяющим данному условию, является -2.
Ответ: -2

1038. Найдите наибольшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $-5 < x \leq 5,6$;

2) $x < -13$;

3) $x \leq -64,3$.

1) Дано неравенство $-5 < x \le 5,6$.

Требуется найти наибольшее целое число $x$, которое удовлетворяет этому двойному неравенству. Неравенство означает, что $x$ должен быть одновременно строго больше $-5$ и меньше или равен $5,6$.

Выпишем все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые находятся на числовой оси между $-5$ (не включая) и $5,6$ (включая).

Целые числа в этом промежутке: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Из этого списка выбираем самое большое число. Это число 5.

Ответ: 5

2) Дано неравенство $x < -13$.

Требуется найти наибольшее целое число $x$, которое строго меньше $-13$.

На числовой прямой целые числа, которые меньше $-13$, расположены левее этой точки. Это числа: $\dots, -16, -15, -14$.

Из всех этих чисел нам нужно выбрать наибольшее. На числовой прямой большее число всегда расположено правее. Самое правое из целых чисел, меньших $-13$, — это $-14$.

Ответ: -14

3) Дано неравенство $x \le -64,3$.

Требуется найти наибольшее целое число $x$, которое меньше или равно $-64,3$.

На числовой прямой это все целые числа, которые расположены в точке $-64,3$ или левее неё. Это числа: $\dots, -66, -65$.

Число $-64$ больше, чем $-64,3$, поэтому оно не удовлетворяет неравенству. Ближайшее целое число, которое меньше (расположено левее) $-64,3$, — это $-65$.

Таким образом, наибольшее целое число, удовлетворяющее данному условию, — это $-65$.

Ответ: -65

1039. Между какими соседними целыми числами расположено на координатной прямой число:

1) $5 \frac{9}{17}$;

2) $-8,4$;

3) $0,45$;

4) $-0,17?$

Ответ запишите в виде двойного неравенства.

1) Чтобы определить, между какими соседними целыми числами находится число $5\frac{9}{17}$, посмотрим на его целую и дробную части. Целая часть равна 5. Дробная часть $\frac{9}{17}$ является положительной и меньше единицы ($0 < \frac{9}{17} < 1$). Это означает, что число $5\frac{9}{17}$ больше, чем 5, но меньше, чем следующее целое число, то есть 6.
Таким образом, число расположено между 5 и 6.
Ответ: $5 < 5\frac{9}{17} < 6$

2) Рассмотрим отрицательное число $-8,4$. На координатной прямой оно находится левее целого числа $-8$. Следующее целое число, которое меньше (левее) чем $-8$, это $-9$. Следовательно, число $-8,4$ расположено между $-9$ и $-8$.
Запишем это в виде двойного неравенства.
Ответ: $-9 < -8,4 < -8$

3) Число $0,45$ является положительной десятичной дробью. Оно больше 0, но так как его целая часть равна нулю, оно меньше 1. Значит, это число находится на координатной прямой между 0 и 1.
Запишем соответствующее двойное неравенство.
Ответ: $0 < 0,45 < 1$

4) Рассмотрим отрицательное число $-0,17$. Оно меньше 0, поэтому на координатной прямой оно находится левее нуля. Ближайшее целое число слева от $-0,17$ — это $-1$. Таким образом, число $-0,17$ расположено между $-1$ и 0.
Запишем это в виде двойного неравенства.
Ответ: $-1 < -0,17 < 0$

1040. Напишите три последовательных целых числа, меньшее из которых равно:

1) 3;

2) -4;

3) -2.

1)

По условию задачи, нам нужно найти три последовательных целых числа, где наименьшее из них равно 3. Пусть наименьшее число — это $n$.

Тогда $n = 3$.

Следующее за ним целое число будет на 1 больше, то есть $n + 1$.

$n + 1 = 3 + 1 = 4$

Третье последовательное число будет на 2 больше наименьшего, то есть $n + 2$.

$n + 2 = 3 + 2 = 5$

Таким образом, искомые три последовательных числа: 3, 4, 5.

Ответ: 3, 4, 5.

2)

В этом случае наименьшее из трех последовательных целых чисел равно -4. Обозначим это число как $n$.

Тогда $n = -4$.

Следующее за ним целое число будет $n + 1$.

$n + 1 = -4 + 1 = -3$

Третье последовательное число будет $n + 2$.

$n + 2 = -4 + 2 = -2$

Таким образом, искомые три последовательных числа: -4, -3, -2.

Ответ: -4, -3, -2.

3)

Здесь наименьшее из трех последовательных целых чисел равно -2. Обозначим это число как $n$.

Тогда $n = -2$.

Следующее за ним целое число будет $n + 1$.

$n + 1 = -2 + 1 = -1$

Третье последовательное число будет $n + 2$.

$n + 2 = -2 + 2 = 0$

Таким образом, искомые три последовательных числа: -2, -1, 0.

Ответ: -2, -1, 0.

1041. Напишите четыре последовательных целых числа, большее из которых равно:

1) $-8$;

2) $0$;

3) $3$.

Последовательные целые числа — это целые числа, которые следуют друг за другом в порядке возрастания, например, 1, 2, 3. Разница между любыми двумя соседними числами в такой последовательности равна 1.

Чтобы найти четыре последовательных целых числа, зная большее из них, нужно от этого большего числа последовательно отнимать 1 три раза. Если большее число равно $n$, то предыдущее число будет $n-1$, число перед ним $n-2$, а самое меньшее из четырех — $n-3$. Таким образом, искомые числа в порядке возрастания: $n-3$, $n-2$, $n-1$, $n$.

1)

По условию, большее из четырех последовательных целых чисел равно $-8$.

Пусть $n = -8$. Найдем остальные три числа:

Третье число: $-8 - 1 = -9$.

Второе число: $-9 - 1 = -10$.

Первое (наименьшее) число: $-10 - 1 = -11$.

Получаем последовательность: $-11, -10, -9, -8$.

Ответ: $-11, -10, -9, -8$.

2)

По условию, большее из четырех последовательных целых чисел равно $0$.

Пусть $n = 0$. Найдем остальные три числа:

Третье число: $0 - 1 = -1$.

Второе число: $-1 - 1 = -2$.

Первое (наименьшее) число: $-2 - 1 = -3$.

Получаем последовательность: $-3, -2, -1, 0$.

Ответ: $-3, -2, -1, 0$.

3)

По условию, большее из четырех последовательных целых чисел равно $3$.

Пусть $n = 3$. Найдем остальные три числа:

Третье число: $3 - 1 = 2$.

Второе число: $2 - 1 = 1$.

Первое (наименьшее) число: $1 - 1 = 0$.

Получаем последовательность: $0, 1, 2, 3$.

Ответ: $0, 1, 2, 3$.

1042. Может ли число быть меньше 5, а его модуль – больше 5?

Да, такое число может существовать. Обозначим это число за $x$. Условия, которым оно должно удовлетворять, можно записать в виде двух неравенств:
1) $x < 5$ (число меньше 5);
2) $|x| > 5$ (модуль числа больше 5).

Неравенство с модулем $|x| > 5$ равносильно совокупности двух неравенств: $x > 5$ или $x < -5$. Это означает, что мы ищем числа, которые на числовой оси находятся либо правее точки 5, либо левее точки -5.

Теперь нам нужно найти числа, которые удовлетворяют всем условиям одновременно, то есть $x < 5$ и при этом ($x > 5$ или $x < -5$). Совместим эти условия. Число не может быть одновременно меньше 5 ($x < 5$) и больше 5 ($x > 5$). Этот вариант исключается. Остается рассмотреть второй вариант: число должно быть одновременно меньше 5 ($x < 5$) и меньше -5 ($x < -5$). Это условие выполняется для всех чисел, которые меньше -5, так как если число меньше -5, оно автоматически будет и меньше 5.

Например, возьмем число -8. Проверим, удовлетворяет ли оно условиям:
1) $-8 < 5$. Это верно.
2) $|-8| = 8$. Неравенство $8 > 5$ также верно.

Следовательно, любое отрицательное число, которое меньше -5, будет меньше 5, а его модуль будет больше 5.

Ответ: Да, может. Например, число -6, -10, или любое другое число, которое меньше -5.

1043. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):

1) $-5,03 < -5,*1;$

2) $-0,9*72 < -0,9872;$

3) $-9,3*6 > -9,332;$

4) $-2*,09 < -27,1?$

1) $-5,03 < -5,*1$

При сравнении двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Таким образом, неравенство $-5,03 < -5,*1$ равносильно неравенству $5,03 > 5,*1$.

Сравним числа $5,03$ и $5,*1$ поразрядно. Целые части у них равны (5). Далее сравним цифры в разряде десятых: в первом числе это 0, во втором — *. Чтобы первое число было больше второго, его цифра в разряде десятых должна быть больше или равна цифре в разряде десятых второго числа.

Если мы предположим, что цифра в разряде десятых первого числа больше, то есть $0 > *$, то это невозможно, так как * — это цифра (от 0 до 9).

Рассмотрим случай, когда цифры в разряде десятых равны: $* = 0$. Тогда неравенство принимает вид $5,03 > 5,01$. Это верное неравенство, так как в следующем разряде (сотых) $3 > 1$.

Если же взять любую цифру $* > 0$ (например, $*=1$), то неравенство $5,03 > 5,11$ будет неверным, так как уже в разряде десятых $0 < 1$.

Следовательно, единственная возможная цифра — это 0.

Ответ: 0.

2) $-0,9*72 < -0,9872$

Данное неравенство для отрицательных чисел равносильно противоположному по знаку неравенству для их модулей: $0,9*72 > 0,9872$.

Сравним числа $0,9*72$ и $0,9872$ поразрядно. Целые части и десятые доли у них совпадают (0 и 9 соответственно). Чтобы первое число было больше второго, его цифра в разряде сотых (*) должна быть больше цифры в разряде сотых второго числа (8). То есть, должно выполняться условие $* > 8$.

Если $* = 8$, то неравенство $0,9872 > 0,9872$ неверно (числа равны).

Единственная цифра, которая больше 8, — это 9.

Ответ: 9.

3) $-9,3*6 > -9,332$

Данное неравенство для отрицательных чисел равносильно противоположному по знаку неравенству для их модулей: $9,3*6 < 9,332$.

Сравним числа $9,3*6$ и $9,332$ поразрядно. Целые части и десятые доли у них совпадают (9 и 3). Чтобы первое число было меньше второго, его цифра в разряде сотых (*) должна быть меньше цифры в разряде сотых второго числа (3). То есть, должно выполняться условие $* < 3$.

Если $* = 3$, то неравенство $9,336 < 9,332$ неверно.

Следовательно, подходят все цифры, которые меньше 3.

Ответ: 0, 1, 2.

4) $-2*,09 < -27,1$

Данное неравенство для отрицательных чисел равносильно противоположному по знаку неравенству для их модулей: $2*,09 > 27,1$.

Сравним числа $2*,09$ и $27,1$. В первую очередь сравним их целые части: $2*$ и $27$. Чтобы первое число было больше второго, его целая часть должна быть больше или равна целой части второго числа, то есть $2* \ge 27$.

Разряд десятков у обоих целых частей одинаковый (2). Значит, сравниваем разряд единиц: $* \ge 7$.

Проверим возможные варианты:
Если $* = 7$, неравенство принимает вид $27,09 > 27,1$. Это неверно, так как при равных целых частях сравниваем десятые доли, а $0 < 1$.
Если $* = 8$, получаем $28,09 > 27,1$. Это верно, так как целая часть $28 > 27$.
Если $* = 9$, получаем $29,09 > 27,1$. Это верно, так как целая часть $29 > 27$.

Следовательно, подходят цифры 8 и 9.

Ответ: 8, 9.

1044. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки, чтобы образовалось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):

1) $-6,4*6 > -6,415;$

2) $-32,1* < -32,17?$

1) Чтобы неравенство $-6,4*6 > -6,415$ было верным, нужно сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Следовательно, должно выполняться условие $|-6,4*6| < |-6,415|$, что эквивалентно неравенству $6,4*6 < 6,415$.

Сравним числа $6,4*6$ и $6,415$ по разрядам, начиная со старших:

• Разряд единиц: $6 = 6$.
• Разряд десятых: $4 = 4$.
• Разряд сотых: на этом месте в первом числе стоит $*$, а во втором – $1$.

Чтобы число $6,4*6$ было меньше, чем $6,415$, цифра на месте звёздочки должна быть меньше или равна $1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если вместо звёздочки поставить цифру, меньшую $1$, то есть $0$. Получим $6,406 < 6,415$. Это верное неравенство.
2. Если вместо звёздочки поставить $1$, то получим число $6,416$. Сравнивая его с $6,415$, видим, что $6,416 > 6,415$. Это не удовлетворяет нашему условию.

Таким образом, единственная цифра, которую можно поставить вместо звёздочки, – это $0$.

Проверка: $-6,406 > -6,415$ – верно.

Ответ: 0.

2) Чтобы неравенство $-32,1* < -32,17$ было верным, модуль левой части должен быть больше модуля правой части. Следовательно, должно выполняться условие $|-32,1*| > |-32,17|$, что эквивалентно неравенству $32,1* > 32,17$.

Сравним числа $32,1*$ и $32,17$ по разрядам:

• Целые части ($32$) и разряды десятых ($1$) у них равны.
• Чтобы первое число было больше второго, цифра в разряде сотых первого числа (на месте звёздочки) должна быть больше цифры в разряде сотых второго числа, то есть $* > 7$.

Цифры, которые больше $7$, – это $8$ и $9$.

Проверим:

• Если $*=8$, то $-32,18 < -32,17$, так как $32,18 > 32,17$. Верно.
• Если $*=9$, то $-32,19 < -32,17$, так как $32,19 > 32,17$. Верно.

Таким образом, вместо звёздочки можно поставить цифры $8$ или $9$.

Ответ: 8, 9.

1045. При каких значениях x верно неравенство $|x| > x$?

Чтобы решить неравенство $|x| > x$, необходимо рассмотреть два случая, которые следуют из определения модуля числа.

1. Если $x \ge 0$

По определению модуля, для любого неотрицательного числа $x$ выполняется равенство $|x| = x$. Подставим это выражение в исходное неравенство:

$x > x$

Данное неравенство является ложным для любого значения $x$, так как число не может быть строго больше самого себя. Следовательно, при $x \ge 0$ решений нет.

2. Если $x < 0$

По определению модуля, для любого отрицательного числа $x$ выполняется равенство $|x| = -x$. Подставим это выражение в исходное неравенство:

$-x > x$

Для решения этого неравенства прибавим $x$ к обеим его частям:

$-x + x > x + x$

$0 > 2x$

Разделим обе части на 2:

$0 > x$, что эквивалентно записи $x < 0$.

Полученное решение $x < 0$ полностью совпадает с условием, которое мы рассматривали в этом случае ($x < 0$). Это означает, что все отрицательные числа являются решениями исходного неравенства.

Объединив результаты обоих случаев, приходим к выводу, что неравенство $|x| > x$ верно только для всех отрицательных значений $x$.

Ответ: $x < 0$, или в виде интервала $(-\infty; 0)$.

1046. Существует ли такое значение $x$, при котором верно неравенство:

1) $|x| < x$;

2) $|x| \le x$;

3) $|x| \le 0?$

1) $|x| < x$
Для решения этого неравенства рассмотрим два случая, исходя из определения модуля.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x < x$. Это строгое неравенство неверно для любого значения $x$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $-x < x$. Прибавив $x$ к обеим частям, получим $0 < 2x$, что равносильно $x > 0$. Это противоречит исходному условию для этого случая ($x < 0$).
Поскольку ни для неотрицательных, ни для отрицательных $x$ неравенство не выполняется, таких значений $x$ не существует.
Ответ: нет, не существует.

2) $|x| \le x$
Снова рассмотрим два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x \le x$. Это нестрогое неравенство верно для любого неотрицательного значения $x$ (например, $0 \le 0$, $5 \le 5$).
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $-x \le x$, что равносильно $0 \le 2x$, или $x \ge 0$. Это противоречит исходному условию $x < 0$.
Таким образом, неравенство верно для любого $x \ge 0$.
Ответ: да, существует (любое неотрицательное число, то есть $x \ge 0$).

3) $|x| \le 0$
По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$.
Таким образом, неравенство $|x| \le 0$ может быть верным только в том случае, если обе его части равны, то есть при выполнении условия $|x| = 0$.
Это равенство справедливо только для одного значения $x$: $x=0$.
Проверка: $|0| \le 0$, что равно $0 \le 0$. Неравенство верно.
Ответ: да, существует (при $x = 0$).