Страница 218 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1047. На координатной прямой отметили числа $a$, $b$, $m$ и $n$ (рис. 186). Сравните:

Рис. 186

1) $b$ и $n$;

2) $m$ и $a$;

3) $0$ и $n$;

4) $a$ и $0$;

5) $m$ и $n$;

6) $b$ и $a$;

7) $-b$ и $0$;

8) $0$ и $-a$;

9) $-a$ и $m$;

10) $-b$ и $n$.

Для сравнения чисел, отмеченных на координатной прямой, воспользуемся основным свойством: чем правее расположено число на координатной прямой, тем оно больше, и наоборот, чем левее — тем меньше. Из рисунка 186 видно, что числа расположены в следующем порядке: $a < m < 0 < n < b$.

1) b и n;

Точка с координатой $b$ находится правее точки с координатой $n$. Следовательно, число $b$ больше числа $n$.

Ответ: $b > n$.

2) m и a;

Точка с координатой $m$ находится правее точки с координатой $a$. Следовательно, число $m$ больше числа $a$.

Ответ: $m > a$.

3) 0 и n;

Точка с координатой $n$ находится правее точки $0$. Это означает, что $n$ — положительное число. Следовательно, $0$ меньше $n$.

Ответ: $0 < n$.

4) a и 0;

Точка с координатой $a$ находится левее точки $0$. Это означает, что $a$ — отрицательное число. Следовательно, $a$ меньше $0$.

Ответ: $a < 0$.

5) m и n;

Точка $m$ расположена левее нуля (отрицательное число), а точка $n$ — правее нуля (положительное число). Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Следовательно, $m$ меньше $n$.

Ответ: $m < n$.

6) b и a;

Точка $b$ расположена правее всех остальных точек, а точка $a$ — левее всех. Следовательно, число $b$ больше числа $a$.

Ответ: $b > a$.

7) -b и 0;

Число $b$ положительное, так как расположено правее нуля ($b > 0$). Число $-b$ является ему противоположным, а значит, оно отрицательное. Любое отрицательное число меньше нуля. Следовательно, $-b$ меньше $0$.

Ответ: $-b < 0$.

8) 0 и -a;

Число $a$ отрицательное, так как расположено левее нуля ($a < 0$). Число $-a$ является ему противоположным, а значит, оно положительное. Любое положительное число больше нуля. Следовательно, $0$ меньше $-a$.

Ответ: $0 < -a$.

9) -a и m;

Как мы установили, число $-a$ является положительным (поскольку $a$ отрицательное). Число $m$ является отрицательным, так как расположено левее нуля. Положительное число всегда больше отрицательного. Следовательно, $-a$ больше $m$.

Ответ: $-a > m$.

10) -b и n.

Как мы установили, число $-b$ является отрицательным (поскольку $b$ положительное). Число $n$ является положительным, так как расположено правее нуля. Отрицательное число всегда меньше положительного. Следовательно, $-b$ меньше $n$.

Ответ: $-b < n$.

1048. На каком из рисунков 187 (а–д) изображены числа a и b такие, что:

1) число $a$ — отрицательное, число $b$ — положительное;

2) числа $a$ и $b$ — положительные, $|a| > |b|$;

3) числа $a$ и $b$ — отрицательные, $|a| < |b|$?

Рис. 187

$a$ $0$ $b$

а

$b$ $a$ $0$

б

$a$ $b$ $0$

в

$0$ $b$ $a$

г

$0$ $a$

д

1) число a – отрицательное, число b – положительное;

По условию, число a должно быть отрицательным, а число b – положительным. На числовой прямой отрицательные числа располагаются слева от нуля (0), а положительные – справа. Следовательно, нам нужно найти рисунок, на котором точка a находится левее 0, а точка b – правее 0.

Рассмотрим предложенные рисунки:

• На рисунке а точка a расположена слева от 0 ($a < 0$), а точка b – справа от 0 ($b > 0$). Этот рисунок соответствует условию.
• На рисунках б и в обе точки (a и b) находятся слева от 0, то есть оба числа отрицательные.
• На рисунках г и д обе точки (a и b) находятся справа от 0, то есть оба числа положительные.

Таким образом, условию соответствует только рисунок а.

Ответ: а.

2) числа a и b – положительные, $|a| > |b|$;

По условию, числа a и b – положительные. Это означает, что на числовой прямой обе точки должны находиться справа от 0. Этому условию соответствуют рисунки г и д.

Второе условие – $|a| > |b|$. Модуль числа – это расстояние от точки, изображающей это число, до начала отсчета (точки 0). Так как a и b – положительные числа, то $|a| = a$ и $|b| = b$. Таким образом, неравенство $|a| > |b|$ равносильно неравенству $a > b$. Это означает, что точка a должна находиться правее точки b.

Сравним рисунки г и д:

• На рисунке г точка a находится левее точки b, что соответствует неравенству $0 < a < b$. В этом случае $|a| < |b|$. Этот рисунок не подходит.
• На рисунке д точка a находится правее точки b, что соответствует неравенству $0 < b < a$. В этом случае $|a| > |b|$. Этот рисунок подходит.

Таким образом, условию соответствует рисунок д.

Ответ: д.

3) числа a и b – отрицательные, $|a| < |b|$;

По условию, числа a и b – отрицательные. Это означает, что на числовой прямой обе точки должны находиться слева от 0. Этому условию соответствуют рисунки б и в.

Второе условие – $|a| < |b|$. Это означает, что расстояние от точки a до 0 должно быть меньше, чем расстояние от точки b до 0. Для отрицательных чисел это значит, что точка a должна быть расположена ближе к 0, чем точка b, то есть правее точки b.

Сравним рисунки б и в:

• На рисунке б точки расположены в порядке $b, a, 0$. Это соответствует неравенству $b < a < 0$. Здесь точка a ближе к 0, чем точка b, поэтому $|a| < |b|$. Этот рисунок подходит.
• На рисунке в точки расположены в порядке $a, b, 0$. Это соответствует неравенству $a < b < 0$. Здесь точка a дальше от 0, чем точка b, поэтому $|a| > |b|$. Этот рисунок не подходит.

Таким образом, условию соответствует рисунок б.

Ответ: б.

1049. Является истинным или ложным высказывание:

1) если $a > 3$, то $a$ — положительное число;

2) если $b < 1$, то $b$ — отрицательное число;

3) если $c > -1$, то $c$ — положительное число;

4) если $d < -2$, то $d$ — отрицательное число?

1) если a > 3, то a — положительное число;
По определению, положительным называется число, которое больше нуля ($a > 0$).
В условии дано неравенство $a > 3$. Поскольку число 3 больше нуля ($3 > 0$), то любое число $a$, которое больше 3, будет тем более больше нуля. Это следует из свойства транзитивности неравенств: если $a > 3$ и $3 > 0$, то $a > 0$.
Следовательно, данное высказывание является истинным.
Ответ: истинное.

2) если b < 1, то b — отрицательное число;
По определению, отрицательным называется число, которое меньше нуля ($b < 0$).
Условие $b < 1$ означает, что число $b$ меньше 1. Этому условию удовлетворяют не только отрицательные числа (например, $-2 < 1$), но и ноль ($0 < 1$), а также положительные числа, которые меньше 1 (например, $0.5 < 1$).
Приведем контрпример: пусть $b = 0.5$. Условие $0.5 < 1$ выполняется, но число $0.5$ является положительным, а не отрицательным. Поскольку мы нашли пример, при котором условие истинно, а заключение ложно, все высказывание является ложным.
Ответ: ложное.

3) если c > -1, то c — положительное число;
Положительным называется число, которое больше нуля ($c > 0$).
Условие $c > -1$ означает, что число $c$ больше -1. Этому условию удовлетворяют все положительные числа, ноль, а также некоторые отрицательные числа (например, $-0.5 > -1$).
Приведем контрпример: пусть $c = -0.5$. Условие $-0.5 > -1$ выполняется, но число $-0.5$ является отрицательным, а не положительным. Другой контрпример: $c=0$. Условие $0 > -1$ выполняется, но 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом. Следовательно, данное высказывание является ложным.
Ответ: ложное.

4) если d < -2, то d — отрицательное число?
Отрицательным называется число, которое меньше нуля ($d < 0$).
В условии дано неравенство $d < -2$. Поскольку число -2 меньше нуля ($-2 < 0$), то любое число $d$, которое меньше -2, будет тем более меньше нуля. Это следует из свойства транзитивности неравенств: если $d < -2$ и $-2 < 0$, то $d < 0$.
Следовательно, данное высказывание является истинным.
Ответ: истинное.

1050.На координатной прямой (рис. 188) точками $A$, $B$, $C$ и $D$ отметили числа $-0,305$; $0,03$; $0,009$ и $-0,053$. Какая точка изображает число:

1) $0,03$;

2) $-0,305$;

3) $-0,053$?

Рис. 188

Чтобы определить, какая точка соответствует какому числу, необходимо расположить все данные числа в порядке возрастания. На координатной прямой значения увеличиваются слева направо. Таким образом, самому меньшему числу будет соответствовать самая левая точка (A), а самому большому — самая правая (D).

Данные числа: $-0,305$; $0,03$; $0,009$; $-0,053$.

1. Сначала сравним отрицательные числа: $-0,305$ и $-0,053$. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
$|-0,305| = 0,305$
$|-0,053| = 0,053$
Поскольку $0,305 > 0,053$, то $-0,305 < -0,053$.

2. Теперь сравним положительные числа: $0,03$ и $0,009$.
Чтобы сравнить $0,03$ и $0,009$, приведем их к одинаковому количеству знаков после запятой: $0,030$ и $0,009$.
Так как $30 > 9$, то $0,03 > 0,009$.

3. Теперь расположим все числа в порядке возрастания:
$-0,305 < -0,053 < 0,009 < 0,03$.

4. Сопоставим полученный упорядоченный ряд чисел с точками A, B, C и D на координатной прямой:
Точка A (самая левая) $\leftrightarrow$ наименьшее число $-0,305$.
Точка B (вторая слева) $\leftrightarrow$ следующее число $-0,053$.
Точка C (третья слева) $\leftrightarrow$ следующее число $0,009$.
Точка D (самая правая) $\leftrightarrow$ наибольшее число $0,03$.

1) 0,03
Число $0,03$ является наибольшим из данных чисел, поэтому ему соответствует самая правая точка на прямой — D.
Ответ: D.

2) -0,305
Число $-0,305$ является наименьшим из данных чисел, поэтому ему соответствует самая левая точка на прямой — A.
Ответ: A.

3) -0,053
Число $-0,053$ является вторым в упорядоченном ряду, поэтому ему соответствует вторая слева точка на прямой — B.
Ответ: B.

1051. На координатной прямой (рис. 189) точками $A$, $B$, $C$ и $D$ отметили числа $-1,3$; $-0,908$; $-1,08$ и $-0,76$. Какая точка изображает число:

1) $-0,908$;

2) $-1,08$;

3) $-0,76$?

Рис. 189

На координатной прямой точки расположены в порядке возрастания их координат. Чтобы определить, какая точка какому числу соответствует, нам нужно расположить данные числа в порядке возрастания: $-1,3; -0,908; -1,08; -0,76$.

При сравнении отрицательных чисел, меньшим является то число, модуль которого больше. Расположим числа в порядке возрастания. Для этого сравним их модули:

$|-1,3| = 1,3$

$|-0,908| = 0,908$

$|-1,08| = 1,08$

$|-0,76| = 0,76$

В порядке возрастания модули располагаются так: $0,76 < 0,908 < 1,08 < 1,3$.

Поскольку числа отрицательные, порядок их расположения на прямой будет обратным порядку их модулей: $-1,3 < -1,08 < -0,908 < -0,76$.

На координатной прямой точки $A, B, C, D$ расположены слева направо, что соответствует возрастанию их координат. Следовательно, мы можем установить следующее соответствие:

Точка $A$ соответствует числу $-1,3$.
Точка $B$ соответствует числу $-1,08$.
Точка $C$ соответствует числу $-0,908$.
Точка $D$ соответствует числу $-0,76$.

Теперь ответим на вопросы.

1) -0,908;
Согласно установленному соответствию, число $-0,908$ изображает точка $C$.
Ответ: $C$.

2) -1,08;
Согласно установленному соответствию, число $-1,08$ изображает точка $B$.
Ответ: $B$.

3) -0,76?
Согласно установленному соответствию, число $-0,76$ изображает точка $D$.
Ответ: $D$.