Страница 210 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое число должно стоять в конце цепочки вычислений?

$1,4 \xrightarrow{\text{+2,6}} \circ \xrightarrow{\text{-1,3}} \circ \xrightarrow{\text{:0,9}} \circ \xrightarrow{\text{-0,8}} \square$

Для того чтобы найти число в конце цепочки, необходимо последовательно выполнить все указанные математические операции, начиная с числа 1,4.

Шаг 1: Сложение
К начальному числу 1,4 нужно прибавить 2,6.
$1,4 + 2,6 = 4,0$

Шаг 2: Вычитание
Из результата первого действия (4,0) нужно вычесть 1,3.
$4,0 - 1,3 = 2,7$

Шаг 3: Деление
Результат второго действия (2,7) нужно разделить на 0,9.
$2,7 : 0,9 = \frac{2,7}{0,9} = \frac{27}{9} = 3$

Шаг 4: Вычитание
Из результата третьего действия (3) нужно вычесть 0,8.
$3 - 0,8 = 2,2$

В результате выполнения всей цепочки вычислений мы получаем число 2,2.

Ответ: 2,2

2. Назовите число, равное числу:

1) $-(-1)$;

2) $-(-(-2))$;

3) $-(-(-(-3))))$.

Для решения этих задач воспользуемся правилом: знак минуса перед скобками меняет знак выражения в скобках на противоположный. Если перед числом стоит четное количество знаков "минус", итоговое число будет положительным. Если нечетное — отрицательным.

1) В выражении $-(-1)$ два знака "минус". Два — это четное число, поэтому в результате получится положительное число. Число, противоположное $-1$, есть $1$.
$ -(-1) = 1 $
Ответ: 1

2) В выражении $-(-(-2))$ три знака "минус". Три — это нечетное число, поэтому итоговое число будет отрицательным. Раскроем скобки пошагово, начиная с внутренних:
$ -(-(-2)) = -(+2) = -2 $
Ответ: -2

3) В выражении $-(-(-(-3)))$ четыре знака "минус". Четыре — это четное число, поэтому в результате получится положительное число. Раскроем скобки пошагово, начиная с внутренних:
$ -(-(-(-3))) = -(-(+3)) = -(-3) = 3 $
Ответ: 3

3. Сколько точек с целыми координатами расположено на координатной прямой между точками $A(-5)$ и $B(3)$?

Чтобы найти количество точек с целыми координатами, расположенных на координатной прямой между точками A(-5) и B(3), необходимо найти количество целых чисел в интервале от -5 до 3, не включая сами эти числа.

Это означает, что мы ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству:$-5 < x < 3$.

Способ 1: Прямой перебор

Выпишем все целые числа, которые больше -5 и меньше 3:-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Теперь посчитаем количество этих чисел. Всего в списке 7 чисел.

Способ 2: Использование формулы

Количество целых чисел в интервале между двумя целыми числами $a$ и $b$ (при $b > a$) можно найти по формуле: $N = (b - a) - 1$.

В нашем случае $a = -5$ и $b = 3$. Подставим эти значения в формулу:$N = (3 - (-5)) - 1 = (3 + 5) - 1 = 8 - 1 = 7$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 7.

4. Масса двух одинаковых апельсинов и одного лимона равна 400 г, а масса таких же двух апельсинов и трёх лимонов – 600 г. Какова масса одного лимона? одного апельсина?

Для решения этой задачи можно использовать метод сравнения или составить систему уравнений. Обозначим массу одного апельсина как $а$, а массу одного лимона как $л$.

Из условия задачи мы имеем два утверждения:

1. Масса двух апельсинов и одного лимона равна 400 г. Это можно записать как уравнение: $2а + л = 400$.
2. Масса двух апельсинов и трёх лимонов равна 600 г. Это можно записать как уравнение: $2а + 3л = 600$.

Какова масса одного лимона?

Сравним два взвешивания. В обоих случаях взвешиваются два одинаковых апельсина. Разница в массе возникает из-за разного количества лимонов. Во втором случае лимонов на $3 - 1 = 2$ больше.

Найдем разницу в массе между вторым и первым взвешиванием:

$600 \text{ г} - 400 \text{ г} = 200 \text{ г}$

Эта разница в 200 г и есть масса двух дополнительных лимонов. Чтобы найти массу одного лимона, разделим эту массу на 2:

$л = 200 \div 2 = 100$ г.

Альтернативный способ (через вычитание уравнений):

Вычтем первое уравнение из второго:

$(2а + 3л) - (2а + л) = 600 - 400$

$2л = 200$

$л = 100$ г.

Ответ: масса одного лимона равна 100 г.

одного апельсина?

Теперь, зная, что масса одного лимона равна 100 г, мы можем найти массу апельсина. Воспользуемся первым условием: два апельсина и один лимон весят 400 г ($2а + л = 400$).

Подставим известную массу лимона в это уравнение:

$2а + 100 = 400$

Теперь найдем, сколько весят два апельсина:

$2а = 400 - 100$

$2а = 300$ г.

Чтобы найти массу одного апельсина, разделим массу двух апельсинов на 2:

$а = 300 \div 2 = 150$ г.

Проверка:

Подставим найденные значения во второе условие ($2а + 3л = 600$):

$2 \cdot 150 + 3 \cdot 100 = 300 + 300 = 600$ г. Условие выполняется, значит, решение верное.

Ответ: масса одного апельсина равна 150 г.

995. Прочитайте данное равенство и укажите, верно ли оно:

1) $|19| = 19;$

2) $|-2,6| = -2,6;$

3) $|-3,59| = 3,59.$

Для проверки верности равенств воспользуемся определением модуля числа. Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат до точки, обозначающей это число на числовой прямой. Модуль числа всегда является неотрицательной величиной, то есть больше или равен нулю.

Определение модуля можно записать так:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Это означает, что модуль положительного числа или нуля равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

1) |19| = 19;

Равенство читается как: "модуль девятнадцати равен девятнадцати".

Число 19 — положительное. Согласно определению, модуль положительного числа равен самому числу. Следовательно, $|19| = 19$.

Равенство является верным.

Ответ: верно.

2) |-2,6| = -2,6;

Равенство читается как: "модуль минус двух целых шести десятых равен минус двум целым шести десятым".

Число -2,6 — отрицательное. Согласно определению, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Противоположным для -2,6 является число 2,6. Таким образом, $|-2,6| = 2,6$.

В предложенном равенстве $|-2,6| = -2,6$, что неверно, так как $2,6 \neq -2,6$. Кроме того, модуль любого числа не может быть отрицательной величиной.

Равенство является неверным.

Ответ: неверно.

3) |-3,59| = 3,59.

Равенство читается как: "модуль минус трех целых пятидесяти девяти сотых равен трем целым пятидесяти девяти сотым".

Число -3,59 — отрицательное. Согласно определению, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Противоположным для -3,59 является число 3,59. Таким образом, $|-3,59| = 3,59$.

Равенство является верным.

Ответ: верно.

996. Найдите модуль каждого из чисел: 2; -3; 4,3; 12,6; $-17\frac{1}{7}$; -36; 0; $5\frac{11}{16}$; -129. Запишите соответствующие равенства.

Модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль числа всегда является неотрицательной величиной.

Правило нахождения модуля, который обозначается как $|x|$:

1. Модуль положительного числа равен самому этому числу. Например, $|10| = 10$.

2. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Например, $|-10| = 10$.

3. Модуль нуля равен нулю: $|0| = 0$.

Найдем модуль для каждого из заданных чисел и запишем соответствующие равенства.

2

Число 2 является положительным, поэтому его модуль равен самому числу.

Соответствующее равенство: $|2| = 2$.

Ответ: $|2| = 2$.

-3

Число -3 является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему числу, то есть 3.

Соответствующее равенство: $|-3| = 3$.

Ответ: $|-3| = 3$.

4,3

Число 4,3 является положительным, поэтому его модуль равен самому числу.

Соответствующее равенство: $|4,3| = 4,3$.

Ответ: $|4,3| = 4,3$.

12,6

Число 12,6 является положительным, поэтому его модуль равен самому числу.

Соответствующее равенство: $|12,6| = 12,6$.

Ответ: $|12,6| = 12,6$.

-17 1/7

Число $-17\frac{1}{7}$ является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему числу, то есть $17\frac{1}{7}$.

Соответствующее равенство: $|-17\frac{1}{7}| = 17\frac{1}{7}$.

Ответ: $|-17\frac{1}{7}| = 17\frac{1}{7}$.

-36

Число -36 является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему числу, то есть 36.

Соответствующее равенство: $|-36| = 36$.

Ответ: $|-36| = 36$.

0

Модуль нуля равен нулю.

Соответствующее равенство: $|0| = 0$.

Ответ: $|0| = 0$.

5 11/16

Число $5\frac{11}{16}$ является положительным, поэтому его модуль равен самому числу.

Соответствующее равенство: $|5\frac{11}{16}| = 5\frac{11}{16}$.

Ответ: $|5\frac{11}{16}| = 5\frac{11}{16}$.

-129

Число -129 является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему числу, то есть 129.

Соответствующее равенство: $|-129| = 129$.

Ответ: $|-129| = 129$.

997. Найдите значение выражения:

1) $|5,1| + |-9,9|;$

2) $|-\frac{7}{9}| - |-\frac{4}{15}|;$

3) $|-9,6| : |32|;$

4) $|\frac{8}{9}| \cdot |-\frac{27}{32}|.$

1) Для нахождения значения выражения $|5,1| + |-9,9|$ сначала найдем модули каждого из чисел.
Модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа — противоположному ему положительному числу.
$|5,1| = 5,1$
$|-9,9| = 9,9$
Теперь выполним сложение:
$5,1 + 9,9 = 15$
Ответ: 15

2) Для нахождения значения выражения $|-\frac{7}{9}| - |-\frac{4}{15}|$ найдем модули чисел.
$|-\frac{7}{9}| = \frac{7}{9}$
$|-\frac{4}{15}| = \frac{4}{15}$
Теперь выполним вычитание. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 9 и 15 равно 45.
$\frac{7}{9} - \frac{4}{15} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{35}{45} - \frac{12}{45} = \frac{35-12}{45} = \frac{23}{45}$
Ответ: $\frac{23}{45}$

3) Для нахождения значения выражения $|-9,6| : |32|$ найдем модули чисел.
$|-9,6| = 9,6$
$|32| = 32$
Теперь выполним деление:
$9,6 : 32 = 0,3$
Ответ: 0,3

4) Для нахождения значения выражения $|\frac{8}{9}| \cdot |-\frac{27}{32}|$ найдем модули чисел.
$|\frac{8}{9}| = \frac{8}{9}$
$|-\frac{27}{32}| = \frac{27}{32}$
Теперь выполним умножение. Перед умножением сократим дроби: числитель 8 и знаменатель 32 сокращаются на 8; знаменатель 9 и числитель 27 сокращаются на 9.
$\frac{8}{9} \cdot \frac{27}{32} = \frac{8^1}{9^1} \cdot \frac{27^3}{32^4} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

998. Найдите значение выражения:

1) $|-3.5| - |2.6|;$

2) $|\frac{20}{21}| + |-\frac{5}{7}|;$

3) $|-2.1| \cdot |-3.7|;$

4) $|-\frac{1}{16}| : |-1 \frac{1}{4}|.$

1) Модуль числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль любого числа является неотрицательной величиной.
Сначала найдем модули чисел: $|-3,5| = 3,5$ и $|2,6| = 2,6$.
Теперь выполним вычитание: $|-3,5| - |2,6| = 3,5 - 2,6 = 0,9$.
Ответ: $0,9$.

2) Найдем модули дробей: $|\frac{20}{21}| = \frac{20}{21}$ и $|-\frac{5}{7}| = \frac{5}{7}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 21 и 7 равен 21.
$|\frac{20}{21}| + |-\frac{5}{7}| = \frac{20}{21} + \frac{5}{7} = \frac{20}{21} + \frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{20}{21} + \frac{15}{21} = \frac{20+15}{21} = \frac{35}{21}$.
Сократим полученную дробь на 7: $\frac{35:7}{21:7} = \frac{5}{3}$.
Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$.

3) Найдем модули чисел: $|-2,1| = 2,1$ и $|-3,7| = 3,7$.
Теперь выполним умножение десятичных дробей: $|-2,1| \cdot |-3,7| = 2,1 \cdot 3,7 = 7,77$.
Ответ: $7,77$.

4) Найдем модули чисел: $|-\frac{1}{16}| = \frac{1}{16}$ и $|-1\frac{1}{4}| = 1\frac{1}{4}$.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$|-\frac{1}{16}| : |-1\frac{1}{4}| = \frac{1}{16} : \frac{5}{4} = \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 4}{16 \cdot 5} = \frac{4}{80}$.
Сократим полученную дробь на 4: $\frac{4:4}{80:4} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$.

999. Вычислите значение выражения $ |a| : |b| $, если:

1) $ a = -5\frac{1}{3} $, $ b = 1\frac{5}{9} $;

2) $ a = 1,38 $, $ b = -0,4 $.

1)

Для вычисления значения выражения $|a| : |b|$ при $a = -5\frac{1}{3}$ и $b = 1\frac{5}{9}$, сначала найдем модули (абсолютные значения) этих чисел.

Модуль числа – это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой, поэтому модуль любого числа является неотрицательной величиной.

$|a| = |-5\frac{1}{3}| = 5\frac{1}{3}$

$|b| = |1\frac{5}{9}| = 1\frac{5}{9}$

Теперь разделим полученные значения:

$|a| : |b| = 5\frac{1}{3} : 1\frac{5}{9}$

Для выполнения деления преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

$1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$

Выполним деление дробей. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{16}{3} : \frac{14}{9} = \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 14}$

Сократим дробь перед умножением для упрощения вычислений:

$\frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 14} = \frac{(8 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3)}{3 \cdot (7 \cdot 2)} = \frac{8 \cdot 3}{7} = \frac{24}{7}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{24}{7} = 3\frac{3}{7}$

Ответ: $3\frac{3}{7}$

2)

Для вычисления значения выражения $|a| : |b|$ при $a = 1,38$ и $b = -0,4$, сначала найдем модули этих чисел.

$|a| = |1,38| = 1,38$

$|b| = |-0,4| = 0,4$

Теперь разделим полученные значения:

$|a| : |b| = 1,38 : 0,4$

Чтобы разделить на десятичную дробь, мы можем домножить и делимое, и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом. Это не изменит результат деления.

$1,38 : 0,4 = (1,38 \cdot 10) : (0,4 \cdot 10) = 13,8 : 4$

Теперь выполним деление:

$13,8 : 4 = 3,45$

Проверим умножением: $3,45 \cdot 4 = 13,8$.

Другой способ — домножить на 100, чтобы избавиться от всех десятичных знаков:

$1,38 : 0,4 = (1,38 \cdot 100) : (0,4 \cdot 100) = 138 : 40$

$138 : 40 = \frac{138}{40} = \frac{69}{20} = 3\frac{9}{20} = 3,45$

Ответ: $3,45$

1000. Найдите значение выражения $|a| - |b|$, если:

1) $a = -0,14, b = 0,1;$

2) $a = -2\frac{11}{12}, b = -1\frac{17}{18}$

1) Чтобы найти значение выражения $|a| - |b|$ при $a = -0,14$ и $b = 0,1$, необходимо сначала найти модули этих чисел.
Модуль (или абсолютная величина) числа — это его значение без учёта знака. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, а модуль положительного числа равен самому числу.
Найдем модуль числа $a$:
$|a| = |-0,14| = 0,14$
Найдем модуль числа $b$:
$|b| = |0,1| = 0,1$
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$|a| - |b| = 0,14 - 0,1$
Выполним вычитание:
$0,14 - 0,1 = 0,04$
Ответ: 0,04

2) Чтобы найти значение выражения $|a| - |b|$ при $a = -2\frac{11}{12}$ и $b = -1\frac{17}{18}$, также начнем с нахождения модулей.
Найдем модуль числа $a$:
$|a| = |-2\frac{11}{12}| = 2\frac{11}{12}$
Найдем модуль числа $b$:
$|b| = |-1\frac{17}{18}| = 1\frac{17}{18}$
Теперь выполним вычитание модулей:
$|a| - |b| = 2\frac{11}{12} - 1\frac{17}{18}$
Для вычитания смешанных дробей необходимо привести их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 18 — это 36.
Приведем первую дробь к знаменателю 36:
$2\frac{11}{12} = 2\frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = 2\frac{33}{36}$
Приведем вторую дробь к знаменателю 36:
$1\frac{17}{18} = 1\frac{17 \cdot 2}{18 \cdot 2} = 1\frac{34}{36}$
Теперь наше выражение выглядит так:
$2\frac{33}{36} - 1\frac{34}{36}$
Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{33}{36}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{34}{36}$), нужно занять единицу у целой части уменьшаемого:
$2\frac{33}{36} = 1 + 1 + \frac{33}{36} = 1 + \frac{36}{36} + \frac{33}{36} = 1\frac{69}{36}$
Теперь выполним вычитание:
$1\frac{69}{36} - 1\frac{34}{36} = (1 - 1) + (\frac{69}{36} - \frac{34}{36}) = 0 + \frac{69 - 34}{36} = \frac{35}{36}$
Ответ: $\frac{35}{36}$

1001. Укажите положительное число, модуль которого равен:

1) 14;

2) 4,6.

1)
Модуль (или абсолютная величина) числа — это его значение без учёта знака. Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$.
По определению, модуль положительного числа равен самому числу. То есть, если $x > 0$, то $|x| = x$.
В задаче дано, что модуль некоторого положительного числа равен 14. Обозначим это число как $x$.
Так как $x$ — положительное число, то $|x| = x$.
Из условия мы знаем, что $|x| = 14$.
Следовательно, $x = 14$.
Действительно, число 14 является положительным, и его модуль $|14|$ равен 14.
Ответ: 14

2)
Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Нам нужно найти положительное число, модуль которого равен 4,6.
Пусть искомое положительное число — это $y$.
По условию, $|y| = 4,6$.
Поскольку $y$ — положительное число, его модуль равен самому числу: $|y| = y$.
Приравнивая два выражения для модуля, получаем: $y = 4,6$.
Проверяем: 4,6 — положительное число, и его модуль $|4,6|$ равен 4,6.
Ответ: 4,6

1002. Укажите отрицательное число, модуль которого равен:

1) $16$;

2) $0.8$.

1) Модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$. Для любого положительного числа $a$, уравнение $|x|=a$ имеет два решения: $x=a$ и $x=-a$.
В задании требуется найти отрицательное число, модуль которого равен 16. Обозначим искомое число за $x$. Тогда по условию $|x|=16$.
Решениями этого уравнения являются числа 16 и -16.
Так как по условию требуется указать именно отрицательное число, то искомое число равно -16.
Ответ: -16

2) Аналогично предыдущему пункту, нам нужно найти отрицательное число $x$, для которого выполняется равенство $|x|=0,8$.
Решениями этого уравнения являются два числа: $0,8$ и $-0,8$.
Согласно условию задачи, мы должны выбрать отрицательное число.
Следовательно, искомое число равно -0,8.
Ответ: -0,8