Страница 205 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

981. Запишите все целые положительные числа, меньше $5 \frac{3}{7}$, и числа, противоположные им. Отметьте все эти числа на координатной прямой.

Запишите все целые положительные числа, меньшие $5\frac{3}{7}$, и числа, противоположные им

1. Сначала найдем все целые положительные числа, которые меньше, чем смешанное число $5\frac{3}{7}$.

Целые положительные числа — это 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее.Сравнивая их с $5\frac{3}{7}$, мы видим, что числа 1, 2, 3, 4 и 5 удовлетворяют этому условию, так как они меньше $5\frac{3}{7}$. Следующее целое число, 6, уже больше, чем $5\frac{3}{7}$.Таким образом, искомые целые положительные числа: 1, 2, 3, 4, 5.

2. Теперь найдем числа, противоположные полученным. Противоположное число для любого числа $a$ — это число $-a$.Следовательно, противоположными для 1, 2, 3, 4, 5 являются числа -1, -2, -3, -4, -5.

Ответ: Целые положительные числа, меньшие $5\frac{3}{7}$: 1, 2, 3, 4, 5. Противоположные им числа: -1, -2, -3, -4, -5.

Отметьте все эти числа на координатной прямой

Начертим координатную прямую и отметим на ней все найденные числа: -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: Координатная прямая с отмеченными точками -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 представлена на рисунке выше.

982. Запишите шесть целых чисел, которые не являются натуральными.

Для решения этой задачи необходимо определить, какие числа относятся к целым и какие к натуральным.

Натуральные числа – это числа, используемые при счете предметов. Это все положительные целые числа, начиная с 1. Множество натуральных чисел обозначается $N$: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.

Целые числа – это натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число 0. Множество целых чисел обозначается $Z$: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Нам нужно найти шесть целых чисел, которые не являются натуральными. Это означает, что мы должны выбрать шесть чисел из множества целых чисел ($Z$), которые не входят в множество натуральных чисел ($N$). Такими числами являются все отрицательные целые числа и ноль.

Можно выбрать любые шесть чисел из этого набора. Например, выберем ноль и первые пять отрицательных чисел.

Ответ: $0, -1, -2, -3, -4, -5$.

983. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами:

1) 4 и 9;

2) -4 и 2;

3) -8,2 и 0;

4) -3 и 3;

5) -1,9 и 2,1;

6) $-\frac{8}{9}$ и $\frac{8}{9}$?

1) 4 и 9;

Чтобы найти целые числа, расположенные между 4 и 9, нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $4 < x < 9$.
Перечислим эти числа в порядке возрастания: 5, 6, 7, 8.
Ответ: 5, 6, 7, 8.

2) -4 и 2;

Ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-4 < x < 2$.
Начиная с числа, большего -4, и двигаясь к 2, получаем следующий ряд целых чисел: -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -3, -2, -1, 0, 1.

3) -8,2 и 0;

Ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-8,2 < x < 0$.
Первое целое число, которое больше -8,2, — это -8. Далее перечисляем целые числа в порядке возрастания до 0 (не включая 0): -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1.
Ответ: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1.

4) -3 и 3;

Ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-3 < x < 3$.
Перечислим эти числа: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

5) -1,9 и 2,1;

Ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-1,9 < x < 2,1$.
Первое целое число, которое больше -1,9, — это -1. Далее перечисляем целые числа в порядке возрастания до 2,1 (не включая 2,1): -1, 0, 1, 2.
Ответ: -1, 0, 1, 2.

6) $-\frac{8}{9}$ и $\frac{8}{9}$?

Ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-\frac{8}{9} < x < \frac{8}{9}$.
Значение дроби $\frac{8}{9}$ меньше 1, но больше 0. Значение дроби $-\frac{8}{9}$ больше -1, но меньше 0. Таким образом, неравенство можно представить как $-0,88... < x < 0,88...$.
Единственное целое число, которое находится в этом интервале, — это 0.
Ответ: 0.

984. Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между числами:

1) $ -22 $ и $ 43 $;

2) $ -54 $ и $ 16 $?

1) -22 и 43

Чтобы найти количество целых чисел, расположенных на координатной прямой между двумя числами $a$ и $b$ (где $a < b$), можно использовать формулу: $N = b - a - 1$. Эта формула вычисляет разность между числами и вычитает 1, так как сами числа $a$ и $b$ не включаются в подсчет.
В данном случае $a = -22$ и $b = 43$.
Подставим значения в формулу:
$N = 43 - (-22) - 1 = 43 + 22 - 1 = 65 - 1 = 64$.
Можно также посчитать количество чисел, разбив их на группы:
1. Отрицательные целые числа: от -21 до -1. Их количество равно 21.
2. Число ноль: 1.
3. Положительные целые числа: от 1 до 42. Их количество равно 42.
Сложим количество чисел из всех групп: $21 + 1 + 42 = 64$.
Ответ: 64

2) -54 и 16

Воспользуемся той же формулой $N = b - a - 1$.
Здесь $a = -54$ и $b = 16$.
Подставим значения в формулу:
$N = 16 - (-54) - 1 = 16 + 54 - 1 = 70 - 1 = 69$.
Проверим, посчитав количество чисел по группам:
1. Отрицательные целые числа: от -53 до -1. Их количество равно 53.
2. Число ноль: 1.
3. Положительные целые числа: от 1 до 15. Их количество равно 15.
Сложим количество чисел из всех групп: $53 + 1 + 15 = 69$.
Ответ: 69

985. Положительным или отрицательным является число $a$, если число $-a$ является:

Чтобы определить, каким является число $a$, нужно проанализировать знак числа $-a$ в каждом из трех случаев.

1) положительным;

Если число $-a$ является положительным, это означает, что оно больше нуля. Запишем это в виде неравенства:
$-a > 0$
Чтобы найти знак числа $a$, умножим обе части этого неравенства на $-1$. Важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$(-a) \cdot (-1) < 0 \cdot (-1)$
$a < 0$
Неравенство $a < 0$ означает, что число $a$ является отрицательным.
Например, если $-a = 3$ (положительное число), то $a = -3$ (отрицательное число).

Ответ: число $a$ является отрицательным.

2) отрицательным;

Если число $-a$ является отрицательным, это означает, что оно меньше нуля. Запишем это в виде неравенства:
$-a < 0$
Умножим обе части этого неравенства на $-1$ и поменяем знак неравенства на противоположный:
$(-a) \cdot (-1) > 0 \cdot (-1)$
$a > 0$
Неравенство $a > 0$ означает, что число $a$ является положительным.
Например, если $-a = -7$ (отрицательное число), то $a = 7$ (положительное число).

Ответ: число $a$ является положительным.

3) нулём?

Если число $-a$ является нулём, запишем это в виде равенства:
$-a = 0$
Умножим обе части равенства на $-1$:
$(-a) \cdot (-1) = 0 \cdot (-1)$
$a = 0$
Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Ответ: число $a$ является нулём.

986. Может ли число $a$ быть равным числу $-a$?

Да, число $a$ может быть равным числу $-a$. Чтобы выяснить, при каком значении $a$ это возможно, составим и решим уравнение.

Запишем условие задачи в виде равенства: $$a = -a$$

Для решения этого уравнения прибавим к обеим его частям число $a$: $$a + a = -a + a$$

Упростим обе части уравнения: $$2a = 0$$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 2: $$a = \frac{0}{2}$$ $$a = 0$$

Таким образом, равенство $a = -a$ выполняется только в том случае, когда число $a$ равно нулю. Ноль — это единственное число, противоположное самому себе.

Ответ: да, может, если $a=0$.

987. Какое из чисел $a$ или $-a$ расположено справа от нуля на координатной прямой?

Положение чисел $a$ и $-a$ относительно нуля на координатной прямой зависит от знака самого числа $a$. Числа, расположенные справа от нуля, являются положительными (больше нуля).

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если $a$ — положительное число ($a > 0$).
В этом случае число $a$ по определению больше нуля и, следовательно, расположено на координатной прямой справа от нуля. Число $-a$ будет отрицательным (например, если $a = 7$, то $-a = -7$), то есть оно будет расположено слева от нуля.

2. Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$).
В этом случае число $a$ меньше нуля и расположено слева от нуля. Число $-a$ является ему противоположным и будет положительным. Например, если $a = -4$, то $-a = -(-4) = 4$. Так как $4 > 0$, то число $-a$ будет расположено справа от нуля.

3. Если $a$ равно нулю ($a = 0$).
В этом случае и $a$, и $-a$ равны нулю. Они находятся в самой точке начала отсчета и не расположены ни справа, ни слева от нее.

Ответ: если $a$ — положительное число ($a > 0$), то справа от нуля расположено число $a$; если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то справа от нуля расположено число $-a$; если $a = 0$, то ни одно из этих чисел не расположено справа от нуля.

988. Укажите какие-нибудь три значения $a$, для которых между числами $-a$ и $a$ на координатной прямой лежит только одно целое число.

Для того чтобы между числами $-a$ и $a$ на координатной прямой лежало только одно целое число, необходимо проанализировать интервал, который они образуют.

Числа $-a$ и $a$ всегда расположены симметрично относительно нуля. Это означает, что и сам интервал между ними будет симметричен относительно нуля.

Если $a > 0$, то мы рассматриваем интервал $(-a, a)$.Если $a < 0$, то $-a > a$, и мы рассматриваем интервал $(a, -a)$.В любом случае, это множество чисел $x$, для которых выполняется неравенство $-|a| < x < |a|$.

Поскольку интервал симметричен относительно нуля, если он содержит какое-либо целое число $n \ne 0$, то он обязательно будет содержать и противоположное ему число $-n$. Например, если в интервале есть число $2$, то в нем будет и $-2$.

По условию задачи, в интервале должно быть ровно одно целое число. Это возможно только в том случае, если это число — ноль, так как только оно совпадает со своим противоположным значением.

Таким образом, искомый интервал должен содержать число $0$, но не должен содержать другие ближайшие целые числа: $1$ и $-1$.

1. Чтобы число $0$ содержалось в интервале $(-|a|, |a|)$, должно выполняться условие $|a| > 0$.2. Чтобы число $1$ не попало в этот интервал, правая граница интервала $|a|$ должна быть не больше $1$. То есть, $|a| \le 1$.3. Аналогично, чтобы число $-1$ не попало в интервал, левая граница $-|a|$ должна быть не меньше $-1$, что также дает нам условие $|a| \le 1$.

Объединив эти условия, получаем, что значение $a$ должно удовлетворять двойному неравенству: $0 < |a| \le 1$.Это означает, что $a$ может быть любым числом из промежутков $[-1, 0) \cup (0, 1]$.

Укажем три конкретных значения $a$, которые удовлетворяют этому условию:

1. Пусть $a = 0.5$. Тогда мы имеем числа $-0.5$ и $0.5$. Между ними на координатной прямой лежит только одно целое число: $0$.

2. Пусть $a = 0.8$. Тогда мы имеем числа $-0.8$ и $0.8$. Между ними также лежит только одно целое число: $0$.

3. Пусть $a = 1$. Тогда мы имеем числа $-1$ и $1$. Интервал $(-1, 1)$ содержит только одно целое число: $0$.

Ответ: например, $0.5; 0.8; 1$.

989. Существует ли такое значение $a$, при котором между числами $-a$ и $a$ на координатной прямой лежит тысяча целых чисел?

Рассмотрим интервал на координатной прямой между числами $-a$ и $a$. Это открытый интервал $(-a, a)$. Нам нужно определить, существует ли такое значение $a$, чтобы в этом интервале содержалось ровно 1000 целых чисел.

Для того чтобы интервал был непустым, необходимо, чтобы $-a < a$, что эквивалентно $2a > 0$, или $a > 0$. Поэтому будем рассматривать только положительные значения $a$.

Целые числа, расположенные в интервале $(-a, a)$, всегда симметричны относительно нуля. Давайте посчитаем их количество. Пусть $k$ — это наибольшее целое число, которое строго меньше $a$ (то есть $k = \lfloor a- \epsilon \rfloor$ или, проще говоря, $k$ — это целая часть числа $a$, если $a$ не целое, и $a-1$, если $a$ — целое). Тогда в интервале $(-a, a)$ содержатся следующие целые числа: ноль (0), положительные целые числа от 1 до $k$ (всего $k$ чисел) и отрицательные целые числа от $-k$ до $-1$ (всего $k$ чисел).

Таким образом, общее количество $N$ целых чисел в интервале $(-a, a)$ равно сумме количества положительных, отрицательных чисел и нуля: $N = k + k + 1 = 2k + 1$.

Из этой формулы видно, что общее количество целых чисел в симметричном относительно нуля интервале $(-a, a)$ всегда является нечётным числом, так как оно представляется в виде $2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.

По условию задачи, количество целых чисел должно быть равно 1000. То есть, $N=1000$. Однако 1000 — это чётное число. Мы приходим к противоречию, так как нечётное число ($2k+1$) не может быть равно чётному числу (1000). Уравнение $2k + 1 = 1000$ не имеет решений в целых числах (его решение $k = 499.5$ не является целым).

Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором между числами $-a$ и $a$ лежит ровно тысяча целых чисел.

Ответ: нет, такого значения $a$ не существует.

990. Отец и сын могут вместе покрасить забор за 6 ч. За сколько часов отец может сам покрасить забор, если сыну для этого надо 24 ч?

Для решения этой задачи используются понятия производительности (или скорости выполнения работы). Примем всю работу по покраске забора за 1 (единицу).

1. Сначала определим, какую часть забора красит сын за 1 час. Если на весь забор ему нужно 24 часа, то его производительность составляет:

$1 \div 24 = \frac{1}{24}$ (часть забора в час).

2. Теперь определим совместную производительность отца и сына. Если вместе они красят забор за 6 часов, то за 1 час они вместе красят:

$1 \div 6 = \frac{1}{6}$ (часть забора в час).

3. Чтобы найти производительность отца, нужно из совместной производительности вычесть производительность сына:

$\frac{1}{6} - \frac{1}{24}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{1}{6} = \frac{4}{24}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{4}{24} - \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ (часть забора в час).

Это производительность отца.

4. Зная, что отец за 1 час красит $\frac{1}{8}$ часть забора, мы можем найти, сколько времени ему понадобится на весь забор. Для этого нужно всю работу (1) разделить на его производительность:

$1 \div \frac{1}{8} = 1 \times 8 = 8$ (часов).

Ответ: отец может сам покрасить забор за 8 часов.

991. На базе хранилась 1 т апельсинов и мандаринов. Апельсины составляли 99 % массы этих фруктов. Сколько килограммов апельсинов вывезли с базы, если их осталось 98 % от остатка фруктов?

Первым делом найдем начальную массу апельсинов и мандаринов в килограммах.

1. Общая масса фруктов: 1 тонна = $1000$ кг.

2. Начальная масса апельсинов составляла 99% от общей массы:
$1000 \text{ кг} \times \frac{99}{100} = 990 \text{ кг}$.

3. Начальная масса мандаринов составляла оставшийся 1% от общей массы:
$1000 \text{ кг} \times \frac{1}{100} = 10 \text{ кг}$.

В условии задачи сказано, что вывозили апельсины. Это означает, что масса мандаринов на базе не изменилась и по-прежнему составляет 10 кг.

4. После вывоза части апельсинов, их доля в оставшейся массе фруктов стала 98%. Следовательно, доля мандаринов теперь составляет:
$100\% - 98\% = 2\%$.

5. Теперь мы знаем, что 10 кг мандаринов — это 2% от новой, уменьшившейся, общей массы фруктов. Найдем эту новую общую массу (обозначим ее $М_{ост}$):
Если $10 \text{ кг} \rightarrow 2\%$, то $М_{ост} \rightarrow 100\%$.
$М_{ост} = \frac{10 \text{ кг} \times 100\%}{2\%} = 500 \text{ кг}$.

6. Итак, после вывоза части апельсинов на базе осталось 500 кг фруктов. Найдем, сколько из них апельсинов:
$500 \text{ кг} - 10 \text{ кг (мандарины)} = 490 \text{ кг (апельсины)}$.

7. Изначально на базе было 990 кг апельсинов, а осталось 490 кг. Найдем массу вывезенных апельсинов:
$990 \text{ кг} - 490 \text{ кг} = 500 \text{ кг}$.

Ответ: 500 кг.

992. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{5} : 3\frac{3}{5}}{12\frac{1}{4} : 1\frac{3}{4}}$

2) $\frac{2\frac{2}{7} \cdot 2{,}4 \cdot 1\frac{5}{9} \cdot 1\frac{9}{16}}{3\frac{1}{3} \cdot 1{,}125 \cdot 1\frac{5}{7} \cdot 1\frac{7}{9}}$

1) Для решения данного примера, мы будем выполнять действия поочередно: сначала в числителе, затем в знаменателе, и в конце разделим полученные результаты.
1. Вычислим значение выражения в числителе: $5\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{5} : 3\frac{3}{5}$.
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$
$3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$
Теперь выполним действия. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$\frac{36}{7} \cdot \frac{3}{5} : \frac{18}{5} = \frac{36}{7} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{18}$
Сократим дроби:
$\frac{36 \cdot 3 \cdot 5}{7 \cdot 5 \cdot 18} = \frac{(2 \cdot 18) \cdot 3 \cdot 5}{7 \cdot 5 \cdot 18} = \frac{2 \cdot 3}{7} = \frac{6}{7}$
2. Вычислим значение выражения в знаменателе: $12\frac{1}{4} : 1\frac{3}{4}$.
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$12\frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{49}{4}$
$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
Выполним деление:
$\frac{49}{4} : \frac{7}{4} = \frac{49}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{49}{7} = 7$
3. Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя:
$\frac{\frac{6}{7}}{7} = \frac{6}{7} : 7 = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{6}{49}$
Ответ: $\frac{6}{49}$

2) Для решения данного примера, преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби, а затем вычислим отдельно значения числителя и знаменателя.
1. Преобразуем все числа в неправильные дроби:
В числителе:
$2\frac{2}{7} = \frac{16}{7}$
$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$
$1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$
$1\frac{9}{16} = \frac{25}{16}$
В знаменателе:
$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
$1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{9}{8}$
$1\frac{5}{7} = \frac{12}{7}$
$1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}$
2. Вычислим значение числителя:
$\frac{16}{7} \cdot \frac{12}{5} \cdot \frac{14}{9} \cdot \frac{25}{16} = \frac{16 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 25}{7 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 16}$
Сократим общие множители (16, 7, 5, 3):
$\frac{\cancel{16} \cdot (3 \cdot 4) \cdot (2 \cdot \cancel{7}) \cdot (5 \cdot \cancel{5})}{\cancel{7} \cdot \cancel{5} \cdot (3 \cdot 3) \cdot \cancel{16}} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 5}{3} = \frac{40}{3}$
3. Вычислим значение знаменателя:
$\frac{10}{3} \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{16}{9} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 12 \cdot 16}{3 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 9}$
Сократим общие множители (9, 3, 8):
$\frac{10 \cdot \cancel{9} \cdot (\cancel{3} \cdot 4) \cdot (2 \cdot \cancel{8})}{\cancel{3} \cdot \cancel{8} \cdot 7 \cdot \cancel{9}} = \frac{10 \cdot 4 \cdot 2}{7} = \frac{80}{7}$
4. Разделим значение числителя на значение знаменателя:
$\frac{\frac{40}{3}}{\frac{80}{7}} = \frac{40}{3} : \frac{80}{7} = \frac{40}{3} \cdot \frac{7}{80} = \frac{\cancel{40} \cdot 7}{3 \cdot (2 \cdot \cancel{40})} = \frac{7}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6}$
Результат можно представить в виде смешанного числа: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Ответ: $1\frac{1}{6}$

993. Отметили три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько существует ломаных с вершинами в этих точках?

Пусть даны три точки, не лежащие на одной прямой. Обозначим их, например, A, B и C.

Ломаная линия с вершинами в этих трех точках представляет собой последовательность из двух отрезков, соединяющих эти точки. Поскольку порядок соединения точек имеет значение (например, ломаная A-B-C, где B — средняя вершина, отличается от B-A-C, где A — средняя вершина), нам нужно найти количество всех возможных упорядоченных последовательностей из этих трех точек.

Эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 3 элементов. Число перестановок из $n$ элементов, обозначаемое $P_n$, вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал), что означает произведение всех целых чисел от 1 до $n$.

Для трех точек ($n=3$) количество возможных ломаных равно:$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Эти 6 ломаных соответствуют следующим последовательностям вершин:
1. A-B-C
2. A-C-B
3. B-A-C
4. B-C-A
5. C-A-B
6. C-B-A

Ответ: 6