Номер 989, страница 205 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 27. Целые числа. Рациональные числа. Глава 4. Рациональные числа - номер 989, страница 205.

Условие.

989. Существует ли такое значение $a$, при котором между числами $-a$ и $a$ на координатной прямой лежит тысяча целых чисел?

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим интервал на координатной прямой между числами $-a$ и $a$. Это открытый интервал $(-a, a)$. Нам нужно определить, существует ли такое значение $a$, чтобы в этом интервале содержалось ровно 1000 целых чисел.

Для того чтобы интервал был непустым, необходимо, чтобы $-a < a$, что эквивалентно $2a > 0$, или $a > 0$. Поэтому будем рассматривать только положительные значения $a$.

Целые числа, расположенные в интервале $(-a, a)$, всегда симметричны относительно нуля. Давайте посчитаем их количество. Пусть $k$ — это наибольшее целое число, которое строго меньше $a$ (то есть $k = \lfloor a- \epsilon \rfloor$ или, проще говоря, $k$ — это целая часть числа $a$, если $a$ не целое, и $a-1$, если $a$ — целое). Тогда в интервале $(-a, a)$ содержатся следующие целые числа: ноль (0), положительные целые числа от 1 до $k$ (всего $k$ чисел) и отрицательные целые числа от $-k$ до $-1$ (всего $k$ чисел).

Таким образом, общее количество $N$ целых чисел в интервале $(-a, a)$ равно сумме количества положительных, отрицательных чисел и нуля: $N = k + k + 1 = 2k + 1$.

Из этой формулы видно, что общее количество целых чисел в симметричном относительно нуля интервале $(-a, a)$ всегда является нечётным числом, так как оно представляется в виде $2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.

По условию задачи, количество целых чисел должно быть равно 1000. То есть, $N=1000$. Однако 1000 — это чётное число. Мы приходим к противоречию, так как нечётное число ($2k+1$) не может быть равно чётному числу (1000). Уравнение $2k + 1 = 1000$ не имеет решений в целых числах (его решение $k = 499.5$ не является целым).

Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором между числами $-a$ и $a$ лежит ровно тысяча целых чисел.

Ответ: нет, такого значения $a$ не существует.