Страница 216 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1026. Верно ли неравенство:

1) $5 > 0$;

2) $-9 > 0$;

3) $-7 < 0$;

4) $-8 > 2$;

5) $1 < -10$;

6) $4 > -100$?

1) Чтобы определить, верно ли неравенство $5 > 0$, сравним числа 5 и 0. Число 5 является положительным. Любое положительное число всегда больше нуля. Если представить эти числа на числовой прямой, то 5 будет находиться правее 0. Таким образом, неравенство является верным.

Ответ: Верно.

2) Чтобы определить, верно ли неравенство $-9 > 0$, сравним числа -9 и 0. Число -9 является отрицательным. Любое отрицательное число всегда меньше нуля. На числовой прямой -9 будет находиться левее 0. Таким образом, неравенство является неверным.

Ответ: Неверно.

3) Чтобы определить, верно ли неравенство $-7 < 0$, сравним числа -7 и 0. Число -7 является отрицательным. Любое отрицательное число всегда меньше нуля. На числовой прямой -7 будет находиться левее 0. Таким образом, неравенство является верным.

Ответ: Верно.

4) Чтобы определить, верно ли неравенство $-8 > 2$, сравним числа -8 и 2. Число -8 является отрицательным, а число 2 — положительным. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. На числовой прямой -8 будет находиться левее 2. Таким образом, неравенство является неверным.

Ответ: Неверно.

5) Чтобы определить, верно ли неравенство $1 < -10$, сравним числа 1 и -10. Число 1 является положительным, а число -10 — отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. На числовой прямой 1 будет находиться правее -10. Таким образом, неравенство является неверным.

Ответ: Неверно.

6) Чтобы определить, верно ли неравенство $4 > -100$, сравним числа 4 и -100. Число 4 является положительным, а число -100 — отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. На числовой прямой 4 будет находиться правее -100. Таким образом, неравенство является верным.

Ответ: Верно.

1027. Сравните числа:

1) 135 и -136;

2) -74 и 0;

3) -3,4 и -3,8;

4) -0,2 и -0,2001;

5) $-\frac{7}{13}$ и $-\frac{7}{16}$.

1) 135 и -136

Сравниваем положительное число 135 и отрицательное число -136. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $135 > -136$.

Ответ: $135 > -136$.

2) -74 и 0

Сравниваем отрицательное число -74 и ноль. Любое отрицательное число всегда меньше нуля. Следовательно, $-74 < 0$.

Ответ: $-74 < 0$.

3) -3,4 и -3,8

Сравниваем два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Найдем модули чисел: $|-3,4| = 3,4$ и $|-3,8| = 3,8$. Так как $3,4 < 3,8$, то $-3,4 > -3,8$. Также можно представить числа на координатной прямой: число -3,4 расположено правее, чем -3,8, а значит, оно больше.

Ответ: $-3,4 > -3,8$.

4) -0,2 и -0,2001

Сравниваем два отрицательных десятичных числа. Применим правило сравнения отрицательных чисел: больше то число, модуль которого меньше. Найдем модули чисел: $|-0,2| = 0,2$ и $|-0,2001| = 0,2001$. Сравним модули: $0,2$ и $0,2001$. Уравняем количество знаков после запятой, дописав нули: $0,2 = 0,2000$. Так как $0,2000 < 0,2001$, то $|-0,2| < |-0,2001|$. Следовательно, $-0,2 > -0,2001$.

Ответ: $-0,2 > -0,2001$.

5) $-\frac{7}{13}$ и $-\frac{7}{16}$

Сравниваем две отрицательные обыкновенные дроби. Воспользуемся правилом: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Найдем модули чисел: $|-\frac{7}{13}| = \frac{7}{13}$ и $|-\frac{7}{16}| = \frac{7}{16}$. Теперь сравним дроби $\frac{7}{13}$ и $\frac{7}{16}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $13 < 16$, то $\frac{7}{13} > \frac{7}{16}$. Это означает, что $|-\frac{7}{13}| > |-\frac{7}{16}|$. Так как модуль первого числа больше модуля второго, то само первое число меньше второго: $-\frac{7}{13} < -\frac{7}{16}$.

Ответ: $-\frac{7}{13} < -\frac{7}{16}$.

1028. Сравните числа:

1) -58 и 43;

2) 0 и -35;

3) -92 и -89;

4) -1,1 и -1,099;

5) $- \frac{5}{7}$ и $- \frac{9}{14}$;

1) Для сравнения чисел -58 и 43 заметим, что -58 — отрицательное число, а 43 — положительное. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $-58 < 43$.

Ответ: $-58 < 43$.

2) Для сравнения чисел 0 и -35 воспользуемся правилом, что ноль больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $0 > -35$.

Ответ: $0 > -35$.

3) Чтобы сравнить два отрицательных числа, -92 и -89, нужно сравнить их модули. Большим будет то число, модуль которого меньше.

Найдем модули чисел:

$|-92| = 92$

$|-89| = 89$

Так как $92 > 89$, то число, модуль которого больше (-92), является меньшим.

Следовательно, $-92 < -89$.

Ответ: $-92 < -89$.

4) Для сравнения отрицательных десятичных дробей -1,1 и -1,099, сравним их модули. Большим будет то число, модуль которого меньше.

Найдем модули чисел:

$|-1,1| = 1,1$

$|-1,099| = 1,099$

Чтобы сравнить десятичные дроби, уравняем количество знаков после запятой: $1,1 = 1,100$.

Теперь сравним $1,100$ и $1,099$. Поскольку $1100 > 1099$, то $1,1 > 1,099$.

Так как $|-1,1| > |-1,099|$, то число -1,1 меньше.

Следовательно, $-1,1 < -1,099$.

Ответ: $-1,1 < -1,099$.

5) Чтобы сравнить отрицательные обыкновенные дроби $-\frac{5}{7}$ и $-\frac{9}{14}$, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 14 равен 14.

Приведем дробь $-\frac{5}{7}$ к знаменателю 14, умножив числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{5}{7} = -\frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = -\frac{10}{14}$

Теперь сравним дроби $-\frac{10}{14}$ и $-\frac{9}{14}$. Из двух отрицательных дробей больше та, модуль которой меньше.

Сравним их модули: $|\-\frac{10}{14}| = \frac{10}{14}$ и $|\-\frac{9}{14}| = \frac{9}{14}$.

Так как числитель первой дроби больше числителя второй ($10 > 9$), то $\frac{10}{14} > \frac{9}{14}$.

Поскольку модуль дроби $-\frac{10}{14}$ больше модуля дроби $-\frac{9}{14}$, то сама дробь $-\frac{10}{14}$ меньше.

Следовательно, $-\frac{5}{7} < -\frac{9}{14}$.

Ответ: $-\frac{5}{7} < -\frac{9}{14}$.

1029. Существует ли:

1) наибольшее натуральное число;

2) наименьшее натуральное число;

3) наибольшее отрицательное целое число;

4) наибольшее отрицательное число;

5) наименьшее отрицательное целое число;

6) наибольшее целое число;

7) наименьшее целое число;

8) наибольшее неположительное число?

В случае утвердительного ответа назовите это число.

1) наибольшее натуральное число; Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ является бесконечным и не ограниченным сверху. Это означает, что для любого, даже самого большого, натурального числа $n$, всегда можно найти другое натуральное число, которое будет еще больше, например, $n+1$. Таким образом, самого большого натурального числа не существует.
Ответ: нет.

2) наименьшее натуральное число; Натуральные числа используются для счета предметов, и счет начинается с единицы. Множество натуральных чисел — это $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Самое первое и самое маленькое число в этом ряду — это 1. Любое другое натуральное число больше 1.
Ответ: да, это число 1.

3) наибольшее отрицательное целое число; Отрицательные целые числа — это $\{..., -4, -3, -2, -1\}$. На числовой прямой больше то число, что находится правее. Из всех отрицательных целых чисел число -1 расположено ближе всего к нулю справа, а значит, является самым большим.
Ответ: да, это число -1.

4) наибольшее отрицательное число; Отрицательные числа — это все числа, меньшие нуля. Предположим, что существует наибольшее отрицательное число $m$. Тогда $m < 0$. Однако мы всегда можем найти другое отрицательное число, которое будет больше $m$. Например, число $m/2$. Так как $m$ отрицательно, то $m/2$ тоже отрицательно, и при этом $m < m/2 < 0$. Это противоречит предположению, что $m$ — наибольшее. Следовательно, наибольшего отрицательного числа не существует.
Ответ: нет.

5) наименьшее отрицательное целое число; Множество отрицательных целых чисел $\{..., -4, -3, -2, -1\}$ не ограничено снизу. Для любого отрицательного целого числа $k$ всегда можно найти число, которое будет еще меньше, например, $k-1$. Таким образом, самого маленького отрицательного целого числа не существует.
Ответ: нет.

6) наибольшее целое число; Множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ не ограничено сверху. Как и в случае с натуральными числами, для любого целого числа $n$ можно найти большее целое число $n+1$. Поэтому наибольшего целого числа не существует.
Ответ: нет.

7) наименьшее целое число; Множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ не ограничено снизу. Для любого целого числа $n$ можно найти меньшее целое число $n-1$. Поэтому наименьшего целого числа не существует.
Ответ: нет.

8) наибольшее неположительное число? Неположительные числа — это числа, которые меньше или равны нулю ($x \le 0$). Это множество включает в себя ноль и все отрицательные числа. Любое отрицательное число меньше нуля. Следовательно, самым большим числом в этом множестве является 0.
Ответ: да, это число 0.

1030. Расположите в порядке убывания числа $-10,9; 7; -4,8; 0; -4,9; 8,9; 9,5$.

Чтобы расположить числа в порядке убывания, нужно найти самое большое число, затем следующее по величине и так далее, до самого маленького.

Дан набор чисел: $-10,9; 7; -4,8; 0; -4,9; 8,9; 9,5$.

1. Сначала выделим положительные числа, нуль и отрицательные числа.

• Положительные числа: $7; 8,9; 9,5$.
• Нуль: $0$.
• Отрицательные числа: $-10,9; -4,8; -4,9$.

2. Расположим в порядке убывания положительные числа. Сравнивая их, получаем, что $9,5$ — самое большое, за ним следует $8,9$, а затем $7$.

Последовательность: $9,5; 8,9; 7$.

3. Любое положительное число больше нуля, а нуль больше любого отрицательного числа. Поэтому следующим в ряду будет $0$.

Последовательность: $9,5; 8,9; 7; 0$.

4. Теперь расположим в порядке убывания отрицательные числа: $-10,9; -4,8; -4,9$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Иными словами, то, которое ближе к нулю на числовой оси.

Сравним модули этих чисел:

$|-4,8| = 4,8$

$|-4,9| = 4,9$

$|-10,9| = 10,9$

Так как $4,8 < 4,9 < 10,9$, то для соответствующих отрицательных чисел будет выполняться обратное неравенство: $-4,8 > -4,9 > -10,9$.

5. Объединим все части, чтобы получить итоговый ряд чисел в порядке убывания.

Ответ: $9,5; 8,9; 7; 0; -4,8; -4,9; -10,9$.

1031. (Домашняя практическая работа)

Расположите в порядке возрастания числа $ -6$ С; $5,3$ В; $0,5$ Ц; $-5,9$ Н; $0$ Е; $-11$ В; $4,5$ О; $-6,1$ А. Буквы, соответствующие данным числам, образуют фамилию великого русского художника, репродукция одной из картин которого здесь размещена.

Какие ещё картины этого художника вы знаете?

Найдите в Интернете информацию о его жизни и творчестве.

Расположите в порядке возрастания числа и определите фамилию художника

Для решения задачи сначала необходимо расположить все предложенные числа в порядке возрастания, то есть от наименьшего к наибольшему.

Исходные пары "буква:число":
С: $-6$; В: $5,3$; Ц: $0,5$; Н: $-5,9$; Е: $0$; В: $-11$; О: $4,5$; А: $-6,1$.

Сравним числа. Сначала идут отрицательные числа (чем больше модуль, тем меньше само число), затем ноль, затем положительные.

1. Отрицательные числа: $-11$; $-6,1$; $-6$; $-5,9$.
2. Ноль: $0$.
3. Положительные числа: $0,5$; $4,5$; $5,3$.

Общий упорядоченный ряд чисел выглядит так:
$-11$; $-6,1$; $-6$; $-5,9$; $0$; $0,5$; $4,5$; $5,3$.

Теперь подставим буквы, соответствующие каждому числу в полученном ряду:

$-11$ → В
$-6,1$ → А
$-6$ → С
$-5,9$ → Н
$0$ → Е
$0,5$ → Ц
$4,5$ → О
$5,3$ → В

Полученное слово — ВАСНЕЦОВ. Это фамилия великого русского художника Виктора Михайловича Васнецова. На изображении в задании размещена репродукция его знаменитой картины «Богатыри».

Ответ: Васнецов.

Какие ещё картины этого художника вы знаете?

Виктор Васнецов является автором множества известных полотен, в основном на исторические и сказочные темы. Среди наиболее знаменитых его работ:

- «Алёнушка» (1881)
- «Иван-царевич на Сером Волке» (1889)
- «Витязь на распутье» (1882)
- «После побоища Игоря Святославича с половцами» (1880)
- «Ковёр-самолёт» (1880)
- «Снегурочка» (1899)
- «Сирин и Алконост. Песнь радости и печали» (1896)

Ответ: «Алёнушка», «Иван-царевич на Сером Волке», «Витязь на распутье».

Информация о его жизни и творчестве

Виктор Михайлович Васнецов (1848–1926) — выдающийся русский художник-живописец и архитектор, мастер исторической и фольклорной живописи.

Жизненный путь: Родился в Вятской губернии в семье сельского священника. Учился в духовной семинарии, но оставил её ради искусства и поступил в Императорскую Академию художеств в Санкт-Петербурге. Был участником Товарищества передвижных художественных выставок. Большую часть жизни провёл в Москве, где сейчас находится его дом-музей.

Творчество: Васнецов стал одним из основоположников «неорусского стиля» в живописи. Его творчество неразрывно связано с русским фольклором, былинами, сказками и национальной историей. Он стремился воплотить в своих работах национальный дух и идеалы. Картина «Богатыри», над которой он работал почти 20 лет, стала символом русской культуры. Кроме станковой живописи, Васнецов много работал в области монументального искусства (росписи Владимирского собора в Киеве), театрально-декорационного искусства и архитектуры (по его эскизам построен знаменитый фасад Третьяковской галереи в Москве).

Ответ: Виктор Васнецов — великий русский художник, ключевая фигура «неорусского стиля», прославившийся картинами на темы русской истории, былин и сказок («Богатыри», «Алёнушка»), а также работами в архитектуре и монументальной живописи.

1032.Запишите указанные в таблице вещества в порядке возрастания температуры их кипения.

Вещество | Температура, °C | Вещество | Температура, °C

Азотная кислота | $82,6$ | Гелий | $-268,9$

Алюминий | $2519$ | Железо | $2861$

Аргон | $-185,9$ | Иод | $184,3$

Воздух | $-192,0$ | Медь | $2567$

Для того чтобы расположить вещества в порядке возрастания температуры их кипения, необходимо сравнить указанные в таблице числовые значения температур и отсортировать их от наименьшего к наибольшему.

Выпишем вещества и их температуры кипения в градусах Цельсия:
Азотная кислота: $82,6^\circ \text{C}$
Алюминий: $2519^\circ \text{C}$
Аргон: $-185,9^\circ \text{C}$
Воздух: $-192,0^\circ \text{C}$
Гелий: $-268,9^\circ \text{C}$
Железо: $2861^\circ \text{C}$
Иод: $184,3^\circ \text{C}$
Медь: $2567^\circ \text{C}$

Теперь отсортируем эти значения по возрастанию. При сравнении отрицательных чисел, меньшим является то, у которого абсолютное значение (модуль) больше. Положительные числа сравниваются стандартным образом.
Получаем следующий ряд температур:
$-268,9 < -192,0 < -185,9 < 82,6 < 184,3 < 2519 < 2567 < 2861$

Соответственно, вещества в порядке возрастания их температур кипения располагаются следующим образом:
1. Гелий ($-268,9^\circ \text{C}$)
2. Воздух ($-192,0^\circ \text{C}$)
3. Аргон ($-185,9^\circ \text{C}$)
4. Азотная кислота ($82,6^\circ \text{C}$)
5. Иод ($184,3^\circ \text{C}$)
6. Алюминий ($2519^\circ \text{C}$)
7. Медь ($2567^\circ \text{C}$)
8. Железо ($2861^\circ \text{C}$)

Ответ: Гелий, Воздух, Аргон, Азотная кислота, Иод, Алюминий, Медь, Железо.