Страница 195 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

931. Какую температуру будет показывать термометр, изображённый на рисунке 166, б, если:

1) его столбик поднимется на 2 деления;

2) его столбик опустится на 3 деления;

3) температура повысится на 6 °С;

4) температура понизится на 5 °С?

Рис. 166

a б

Для решения задачи сначала определим начальную температуру, которую показывает термометр на рисунке 166, б. На шкале термометра между отметками 0 и -10 находится 10 делений. Это означает, что цена одного деления составляет 1 °C. Столбик термометра находится на 4 деления ниже нуля, следовательно, начальная температура равна -4 °C.

1) его столбик поднимется на 2 деления

Подъем на 2 деления соответствует повышению температуры на 2 °C. Чтобы найти новую температуру, к начальной температуре прибавим 2 °C:
$-4 + 2 = -2$ °C.
Ответ: -2 °C.

2) его столбик опустится на 3 деления

Опускание на 3 деления соответствует понижению температуры на 3 °C. Чтобы найти новую температуру, из начальной температуры вычтем 3 °C:
$-4 - 3 = -7$ °C.
Ответ: -7 °C.

3) температура повысится на 6 °C

Если температура повысится на 6 °C, то к начальной температуре нужно прибавить 6 °C:
$-4 + 6 = 2$ °C.
Ответ: 2 °C.

4) температура понизится на 5 °C

Если температура понизится на 5 °C, то из начальной температуры нужно вычесть 5 °C:
$-4 - 5 = -9$ °C.
Ответ: -9 °C.

932. В 10 ч термометр показывал температуру $-2^\circ \text{C}$. За два часа температура воздуха изменилась на $5^\circ \text{C}$. Какой стала температура воздуха?

В условии задачи сказано, что температура воздуха «изменилась на 5 °C». Это может означать как повышение, так и понижение температуры. Поэтому рассмотрим оба возможных варианта.

Случай 1: Температура повысилась

Если температура повысилась на 5 °C, то к начальной температуре (–2 °C) нужно прибавить 5 °C. Выполним сложение:

$-2 + 5 = 3$

Таким образом, температура воздуха стала 3 °C.

Ответ: $3 \text{ °C}$.

Случай 2: Температура понизилась

Если температура понизилась на 5 °C, то от начальной температуры (–2 °C) нужно отнять 5 °C. Выполним вычитание:

$-2 - 5 = -7$

Таким образом, температура воздуха стала –7 °C.

Ответ: $-7 \text{ °C}$.

933. В 20 ч термометр показывал температуру $-3 \, ^\circ C$. Через три часа температура воздуха изменилась на $4 \, ^\circ C$. Какой стала температура воздуха?

По условию задачи, начальная температура воздуха в 20 часов составляла $-3^\circ C$. Через три часа температура изменилась на $4^\circ C$. Формулировка "изменилась на" без уточнения (повысилась или понизилась) означает, что абсолютная величина изменения температуры равна $4^\circ C$. Следовательно, у задачи есть два возможных решения.

Случай 1: Температура повысилась на $4^\circ C$
Если температура воздуха повысилась, то к начальной температуре необходимо прибавить величину изменения:
$-3 + 4 = 1$
В этом случае новая температура воздуха составит $1^\circ C$.
Ответ: $1^\circ C$.

Случай 2: Температура понизилась на $4^\circ C$
Если температура воздуха понизилась, то из начальной температуры необходимо вычесть величину изменения:
$-3 - 4 = -7$
В этом случае новая температура воздуха составит $-7^\circ C$.
Ответ: $-7^\circ C$.

934. На плоскости отметили пять точек. Сколько можно провести отрезков, концами которых будут эти точки?

Чтобы найти количество отрезков, которые можно провести между пятью точками, необходимо определить, сколько уникальных пар точек можно составить. Каждый отрезок соединяет ровно две точки, и порядок точек в паре не имеет значения (отрезок, соединяющий точки А и Б, — это тот же самый отрезок, что и соединяющий точки Б и А). Следовательно, эта задача сводится к нахождению числа сочетаний.

Мы должны вычислить число сочетаний из 5 элементов (точек) по 2 (поскольку для образования отрезка нужны две точки). Формула для числа сочетаний из n по k:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество точек $n = 5$, а для одного отрезка нужно $k = 2$ точки. Подставим эти значения в формулу:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Задачу можно решить и логическим перебором. Пронумеруем точки от 1 до 5.

• Из первой точки можно провести отрезки к остальным четырем точкам (2, 3, 4, 5). Это 4 отрезка.
• Из второй точки можно провести отрезки к точкам 3, 4, 5. Отрезок к первой точке уже учтен. Это 3 новых отрезка.
• Из третьей точки можно провести отрезки к точкам 4, 5. Отрезки к первой и второй точкам уже учтены. Это 2 новых отрезка.
• Из четвертой точки можно провести отрезок к пятой точке. Остальные уже учтены. Это 1 новый отрезок.
• Из пятой точки все возможные отрезки уже учтены.

Сложив количество отрезков, получим: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Таким образом, из пяти точек на плоскости можно провести 10 отрезков.
Ответ: 10

935. В Санкт-Петербурге 342 городских моста, из них 13 мостов — разводные. Сколько процентов всех мостов составляют разводные мосты? Ответ округлите до единиц.

Для того чтобы найти, какой процент составляют разводные мосты от общего числа мостов, нужно количество разводных мостов разделить на общее количество мостов и полученный результат умножить на 100.

Общее количество мостов: 342.
Количество разводных мостов: 13.

Вычислим долю разводных мостов:

$\frac{13}{342}$

Теперь переведем эту долю в проценты, умножив на 100:

$\frac{13}{342} \cdot 100\% \approx 0.03801169... \cdot 100\% \approx 3.801169...\%$

В задании указано, что ответ нужно округлить до единиц (до целого числа). Первая цифра после запятой — 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону.

$3.801169...\% \approx 4\%$

Ответ: 4%.

936. Запишите все углы, изображённые на рисунке 167, и укажите вид каждого угла.

Рис. 167

$\angle ABM$

$\angle MBK$

$\angle KBC$

$\angle ABK$

$\angle MBC$

$\angle ABC$

На данном рисунке можно выделить 6 углов с общей вершиной в точке B. Определим каждый угол и его вид.

Угол $\angle ABC$

Этот угол образован лучами BA и BC, которые вместе составляют прямую AC. Угол, стороны которого образуют прямую, называется развернутым. Его величина равна $180^\circ$.

Ответ: $\angle ABC$ - развернутый угол.

Угол $\angle ABM$

Этот угол образован лучами BA и BM. Судя по рисунку, его величина больше, чем у прямого угла ($90^\circ$), но меньше, чем у развернутого ($180^\circ$).

Ответ: $\angle ABM$ - тупой угол.

Угол $\angle KBC$

Этот угол образован лучами BK и BC. Судя по рисунку, его величина меньше, чем у прямого угла ($90^\circ$).

Ответ: $\angle KBC$ - острый угол.

Угол $\angle MBK$

Этот угол образован лучами BM и BK. Судя по рисунку, его величина меньше, чем у прямого угла ($90^\circ$).

Ответ: $\angle MBK$ - острый угол.

Угол $\angle ABK$

Этот угол образован лучами BA и BK. Он состоит из тупого угла $\angle ABM$ и острого угла $\angle MBK$. Также его можно найти как разность развернутого угла $\angle ABC$ и острого угла $\angle KBC$: $\angle ABK = 180^\circ - \angle KBC$. Так как $\angle KBC < 90^\circ$, то $\angle ABK > 90^\circ$.

Ответ: $\angle ABK$ - тупой угол.

Угол $\angle MBC$

Этот угол образован лучами BM и BC. Он состоит из двух острых углов $\angle MBK$ и $\angle KBC$. Также его можно найти как разность развернутого угла $\angle ABC$ и тупого угла $\angle ABM$: $\angle MBC = 180^\circ - \angle ABM$. Так как $\angle ABM > 90^\circ$, то $\angle MBC < 90^\circ$.

Ответ: $\angle MBC$ - острый угол.

937. Найдите значение выражения:

$(1.02 : \frac{1}{50} - 7.26 : \frac{11}{70}) : 3\frac{1}{5} + 0.4 : 0.36$

Решим выражение, соблюдая порядок действий: сначала выполняются операции в скобках (деление, затем вычитание), после чего выполняются остальные операции деления и сложения слева направо.

1. Первое действие в скобках: $1,02 : \frac{1}{50}$

Для выполнения деления представим десятичную дробь $1,02$ в виде обыкновенной и умножим на дробь, обратную делителю:

$1,02 : \frac{1}{50} = \frac{102}{100} \times \frac{50}{1} = \frac{102 \times 50}{100} = \frac{102}{2} = 51$

2. Второе действие в скобках: $7,26 : \frac{11}{70}$

Аналогично первому действию:

$7,26 : \frac{11}{70} = \frac{726}{100} \times \frac{70}{11}$

Сократим $726$ и $11$ (так как $726 = 66 \times 11$):

$\frac{66}{100} \times \frac{70}{1} = \frac{66 \times 70}{100} = \frac{4620}{100} = 46,2$

3. Третье действие: вычитание в скобках

Найдем разность результатов первых двух действий:

$51 - 46,2 = 4,8$

4. Четвертое действие: деление результата из скобок на $3\frac{1}{5}$

Сначала преобразуем оба числа в обыкновенные дроби:

$4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \times 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

Теперь выполним деление:

$\frac{24}{5} : \frac{16}{5} = \frac{24}{5} \times \frac{5}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1,5$

5. Пятое действие: $0,4 : 0,36$

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и выполним деление:

$0,4 : 0,36 = \frac{4}{10} : \frac{36}{100} = \frac{4}{10} \times \frac{100}{36} = \frac{4 \times 10}{36} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9}$

6. Шестое действие: сложение

Сложим результаты четвертого и пятого действий:

$1,5 + \frac{10}{9} = \frac{3}{2} + \frac{10}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю $18$:

$\frac{3 \times 9}{2 \times 9} + \frac{10 \times 2}{9 \times 2} = \frac{27}{18} + \frac{20}{18} = \frac{47}{18}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{47}{18} = 2\frac{11}{18}$

Ответ: $2\frac{11}{18}$

938. Каковы координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ на рисунке 168?

Рис. 168

Координаты точек:

$C = 0.4$

$D = 1.6$

$A = 2$

$B = 3$

$E = 4.2$

Для определения координат точек, изображенных на координатной прямой, сначала найдем цену одного деления шкалы. Отрезок между числами 0 и 1 разделен на 4 равные части. Следовательно, цена одного деления равна $1 \div 4 = \frac{1}{4}$.

A
Точка A расположена на отметке, соответствующей числу 2.
Ответ: A(2)

B
Точка B расположена на отметке, соответствующей числу 3.
Ответ: B(3)

C
Точка C находится на первом делении справа от 0. Ее координата равна $0 + 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: C($\frac{1}{4}$)

D
Точка D находится на первом делении справа от 1. Ее координата равна $1 + 1 \cdot \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Ответ: D($1\frac{1}{4}$)

E
Точка E находится на третьем делении справа от 3. Ее координата равна $3 + 3 \cdot \frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$.
Ответ: E($3\frac{3}{4}$)