Страница 191 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. В доме имеется 200 квартир трёх видов: однокомнатные, двухкомнатные и трёхкомнатные. На диаграмме (рис. 164) показано процентное соотношение квартир разного вида. Сколько двухкомнатных квартир в доме?

А) 60 квартир

Б) 70 квартир

В) 80 квартир

Г) определить невозможно

Рис. 164

Однокомнатные квартиры

Двухкомнатные квартиры

Трёхкомнатные квартиры

$25\%$

$40\%$

$35\%$

В задаче требуется найти количество двухкомнатных квартир в доме, в котором всего 200 квартир. Для решения воспользуемся данными из круговой диаграммы.

1. Определяем общее количество квартир в доме. По условию, это 200 квартир.

2. Находим на диаграмме процент, соответствующий двухкомнатным квартирам. Розовый сектор, обозначающий двухкомнатные квартиры, составляет 40%.

3. Вычисляем количество двухкомнатных квартир. Для этого нужно найти 40% от общего числа квартир (200).

Сначала представим проценты в виде десятичной дроби:
$40\% = \frac{40}{100} = 0.4$

Затем умножим общее количество квартир на эту дробь:
$200 \cdot 0.4 = 80$

Таким образом, в доме 80 двухкомнатных квартир. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) 80 квартир

10. В кафе имеется 3 вида пирожных и 4 вида соков. Сколько существует вариантов выбрать пирожное с соком?

А) 7 Б) 10 В) 12 Г) 14

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Мы должны выбрать один элемент из первого множества (пирожные) и один элемент из второго множества (соки). Поскольку выбор пирожного не зависит от выбора сока, общее количество комбинаций можно найти, перемножив количество вариантов в каждом множестве.

Пусть $N_1$ — количество видов пирожных, а $N_2$ — количество видов соков. Согласно условию задачи:

$N_1 = 3$ (вида пирожных)

$N_2 = 4$ (вида соков)

Общее количество $N$ вариантов выбрать одно пирожное и один сок вычисляется по формуле:

$N = N_1 \times N_2$

Подставим числовые значения в формулу:

$N = 3 \times 4 = 12$

Следовательно, существует 12 различных вариантов выбрать пирожное с соком. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: 12

11. Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 6?

А) 4

Б) 5

В) 6

Г) 7

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $x$ и цифры единиц $y$. Согласно условию задачи, сумма этих цифр равна 6:

$x + y = 6$

Так как число является двузначным, его первая цифра $x$ не может быть равна нулю, то есть $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Вторая цифра $y$ может быть любой от 0 до 9.

Подберем все возможные пары цифр, удовлетворяющие уравнению, перебирая значения для $x$:

- Если $x = 1$, то $y = 6 - 1 = 5$. Получаем число 15.
- Если $x = 2$, то $y = 6 - 2 = 4$. Получаем число 24.
- Если $x = 3$, то $y = 6 - 3 = 3$. Получаем число 33.
- Если $x = 4$, то $y = 6 - 4 = 2$. Получаем число 42.
- Если $x = 5$, то $y = 6 - 5 = 1$. Получаем число 51.
- Если $x = 6$, то $y = 6 - 6 = 0$. Получаем число 60.

Если выбрать $x$ больше 6 (например, 7), то значение $y$ будет отрицательным, что невозможно для цифры.

Таким образом, существует 6 двузначных чисел, сумма цифр которых равна 6. Это числа: 15, 24, 33, 42, 51 и 60.

Ответ: 6

12. Сколькими способами можно разложить в ряд карточки с номерами 1, 2, 3 так, чтобы карточки с нечётными номерами лежали рядом?

А) 5

Б) 4

В) 3

Г) 2

В задаче требуется найти количество способов расположить в ряд карточки с номерами 1, 2, 3 так, чтобы карточки с нечётными номерами (1 и 3) всегда были рядом.

Чтобы выполнить это условие, мы можем мысленно объединить карточки с нечётными номерами {1, 3} в один блок. Теперь задача сводится к расположению двух элементов: этого блока и карточки с номером 2.

1. Найдём количество способов расположить блок и оставшуюся карточку.
У нас есть два элемента для перестановки: (блок {1, 3}) и (карточка 2). Количество перестановок из двух элементов равно $P_2 = 2!$.
$2! = 2 \times 1 = 2$ способа.
Это следующие расположения: ({1, 3}, 2) и (2, {1, 3}).

2. Найдём количество способов расположить карточки внутри блока.
Внутри самого блока карточки 1 и 3 также могут меняться местами. Количество перестановок из двух этих карточек равно $P_2 = 2!$.
$2! = 2 \times 1 = 2$ способа.
Это следующие расположения: (1, 3) и (3, 1).

3. Найдём общее количество способов.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов, нужно перемножить количество вариантов на каждом шаге.
Общее число способов = (число способов расположить блоки) $\times$ (число способов расположить карточки внутри блока) = $2 \times 2 = 4$.

Для проверки перечислим все 4 возможных варианта:
1. 1, 3, 2
2. 2, 1, 3
3. 3, 1, 2
4. 2, 3, 1

Ответ: 4