Страница 187 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

903. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 2, 4, 9 и 0. (Цифры могут повторяться.)

Для составления двузначных чисел необходимо выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. Нам даны цифры $2, 4, 9, 0$.

Первая цифра двузначного числа (разряд десятков) не может быть нулем. Поэтому для первой цифры мы можем выбрать любую из цифр $2, 4$ или $9$. Всего $3$ варианта.

Вторая цифра двузначного числа (разряд единиц) может быть любой из данных цифр, включая ноль, так как по условию цифры могут повторяться. Поэтому для второй цифры мы можем выбрать любую из цифр $0, 2, 4$ или $9$. Всего $4$ варианта.

Теперь systematically составим все возможные числа:
1. Если первая цифра $2$, то вторая может быть $0, 2, 4, 9$. Получаем числа: $20, 22, 24, 29$.
2. Если первая цифра $4$, то вторая может быть $0, 2, 4, 9$. Получаем числа: $40, 42, 44, 49$.
3. Если первая цифра $9$, то вторая может быть $0, 2, 4, 9$. Получаем числа: $90, 92, 94, 99$.

Объединив все полученные числа, получим полный список всех двузначных чисел, которые можно составить из данных цифр.

Ответ: $20, 22, 24, 29, 40, 42, 44, 49, 90, 92, 94, 99$.

904. Сколько двузначных чисел можно записать с помощью цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке возрастания?

Для решения задачи нужно найти все двузначные числа, которые можно составить из цифр 6, 7, 8, 9, при условии, что цифры в числе расположены в порядке возрастания. Это означает, что первая цифра (разряд десятков) должна быть строго меньше второй цифры (разряд единиц).

Рассмотрим все возможные пары цифр из данного набора {6, 7, 8, 9}.

Способ 1: Прямой перебор

Мы можем систематически перебрать все возможные комбинации, начиная с наименьшей возможной первой цифры.

• Если первая цифра 6, то вторая цифра должна быть больше 6. Из нашего набора подходят 7, 8 и 9. Получаем числа: 67, 68, 69 (3 числа).
• Если первая цифра 7, то вторая цифра должна быть больше 7. Подходят 8 и 9. Получаем числа: 78, 79 (2 числа).
• Если первая цифра 8, то вторая цифра должна быть больше 8. Подходит только 9. Получаем число: 89 (1 число).
• Если первая цифра 9, то в наборе нет цифры больше 9, поэтому таких чисел составить нельзя.

Сложим количество найденных чисел: $3 + 2 + 1 = 6$.

Способ 2: Использование комбинаторики

Задача сводится к выбору двух различных цифр из четырех данных {6, 7, 8, 9}. Как только мы выберем любую пару цифр, существует только один способ расположить их в порядке возрастания. Например, выбрав цифры 8 и 6, мы можем составить только одно число, удовлетворяющее условию, — 68.

Следовательно, нам нужно найти количество сочетаний из 4 элементов по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (количество доступных цифр) и $k=2$ (количество цифр в числе).

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 6

905. Сколько двузначных чисел можно записать с помощью цифр 6, 7, 8 и 0 так, чтобы цифры были записаны в порядке убывания?

По условию задачи, нам нужно составить двузначные числа из цифр 6, 7, 8 и 0.

Есть два основных требования:
1. Число должно быть двузначным. Это означает, что первая цифра (цифра десятков) не может быть 0. Следовательно, на первом месте могут стоять только цифры 6, 7 или 8.
2. Цифры в числе должны быть записаны в порядке убывания. Это означает, что первая цифра должна быть строго больше второй (цифры единиц).

Систематически переберем все возможные варианты, начиная с выбора первой цифры:

• Пусть первая цифра равна 8. Тогда вторая цифра должна быть меньше 8. Из имеющихся цифр {0, 6, 7, 8} подходят 0, 6, 7.
  Таким образом, мы получаем числа: 80, 86, 87. (3 числа)
• Пусть первая цифра равна 7. Тогда вторая цифра должна быть меньше 7. Из имеющихся цифр подходят 0, 6.
  Таким образом, мы получаем числа: 70, 76. (2 числа)
• Пусть первая цифра равна 6. Тогда вторая цифра должна быть меньше 6. Из имеющихся цифр подходит только 0.
  Таким образом, мы получаем число: 60. (1 число)

Чтобы найти общее количество таких чисел, сложим количество вариантов для каждого случая:
$3 + 2 + 1 = 6$.

Ответ: 6

906.Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 5?

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц.

По определению двузначного числа, первая цифра $a$ не может быть нулем, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Вторая цифра $b$ может быть любой цифрой, то есть $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

По условию задачи, сумма цифр числа равна 5. Запишем это в виде уравнения: $a + b = 5$

Теперь найдем все пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этим условиям, путем перебора возможных значений для $a$:

• Если $a = 1$, то $b = 5 - 1 = 4$. Получаем число 14.
• Если $a = 2$, то $b = 5 - 2 = 3$. Получаем число 23.
• Если $a = 3$, то $b = 5 - 3 = 2$. Получаем число 32.
• Если $a = 4$, то $b = 5 - 4 = 1$. Получаем число 41.
• Если $a = 5$, то $b = 5 - 5 = 0$. Получаем число 50.

Если взять $a$ больше 5 (например, $a=6$), то значение $b$ будет отрицательным ($b=5-6=-1$), что невозможно для цифры. Следовательно, мы нашли все возможные варианты.

Искомые числа: 14, 23, 32, 41, 50. Всего таких чисел 5.

Ответ: 5

907. Сколько существует трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 3?

Пусть искомое трёхзначное число состоит из цифр $a$, $b$ и $c$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. Согласно условию задачи, сумма этих цифр должна быть равна 3:

$a + b + c = 3$

Поскольку число является трёхзначным, его первая цифра (цифра сотен) $a$ не может быть нулём. Следовательно, $a$ может принимать значения от 1 до 9. Цифры $b$ и $c$ могут быть любыми от 0 до 9. Так как сумма всех цифр равна 3, то ни одна из них не может быть больше 3.

Рассмотрим все возможные варианты, перебирая значения для первой цифры $a$.

1. Если первая цифра $a = 3$:
Тогда $3 + b + c = 3$, что означает $b + c = 0$.
Поскольку цифры $b$ и $c$ не могут быть отрицательными, единственное возможное решение — это $b=0$ и $c=0$.
Таким образом, мы получаем одно число: 300.

2. Если первая цифра $a = 2$:
Тогда $2 + b + c = 3$, что означает $b + c = 1$.
Для этого уравнения есть два решения в целых неотрицательных числах (цифрах):

• $b=1$, $c=0$
• $b=0$, $c=1$

Таким образом, мы получаем два числа: 210 и 201.

3. Если первая цифра $a = 1$:
Тогда $1 + b + c = 3$, что означает $b + c = 2$.
Для этого уравнения есть три решения в целых неотрицательных числах (цифрах):

• $b=2$, $c=0$
• $b=1$, $c=1$
• $b=0$, $c=2$

Таким образом, мы получаем три числа: 120, 111 и 102.

Первая цифра $a$ не может быть больше 3, так как в этом случае сумма $a+b+c$ будет больше 3 (поскольку $b \ge 0$ и $c \ge 0$).

Теперь подсчитаем общее количество найденных чисел. В первом случае — 1 число, во втором — 2 числа, в третьем — 3 числа.

Всего: $1 + 2 + 3 = 6$ чисел.

Ответ: 6

908. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна чётному числу, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4? (Цифры могут повторяться.)

Чтобы сумма цифр двузначного числа была чётной, обе цифры должны иметь одинаковую чётность. Это означает, что либо обе цифры должны быть нечётными, либо обе должны быть чётными.

В нашем распоряжении есть цифры {1, 2, 3, 4}.
Из них нечётные: 1, 3 (всего 2 цифры).
Из них чётные: 2, 4 (всего 2 цифры).

Рассмотрим два случая:

1. Обе цифры нечётные
Первую цифру (десятки) можно выбрать двумя способами (1 или 3).
Вторую цифру (единицы) также можно выбрать двумя способами (1 или 3), так как цифры могут повторяться.
Количество таких чисел: $2 \times 2 = 4$.
(Это числа: 11, 13, 31, 33).

2. Обе цифры чётные
Первую цифру можно выбрать двумя способами (2 или 4).
Вторую цифру также можно выбрать двумя способами (2 или 4).
Количество таких чисел: $2 \times 2 = 4$.
(Это числа: 22, 24, 42, 44).

Теперь сложим количество чисел из обоих случаев, чтобы найти общее количество:
$4 + 4 = 8$.

Ответ: 8

909. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна нечётному числу, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3?

Для решения задачи нам нужно найти все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, и у которых сумма цифр является нечётным числом.

Двузначное число состоит из цифры десятков и цифры единиц. Первая цифра (десятков) не может быть нулём.

Сумма двух цифр будет нечётной тогда и только тогда, когда одна из цифр чётная, а другая — нечётная. В нашем наборе цифр {0, 1, 2, 3} есть две чётные цифры (0 и 2) и две нечётные (1 и 3).

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Первая цифра чётная, вторая — нечётная.
Первая цифра (десятков) должна быть чётной и не равной нулю. Из доступных цифр {0, 2} подходит только 2. Таким образом, есть 1 вариант для первой цифры.
Вторая цифра (единиц) должна быть нечётной. Из доступных цифр {1, 3} подходят обе. Таким образом, есть 2 варианта для второй цифры.
Количество чисел в этом случае: $1 \times 2 = 2$. Это числа 21 и 23.

Случай 2: Первая цифра нечётная, вторая — чётная.
Первая цифра (десятков) должна быть нечётной. Из доступных цифр {1, 3} подходят обе. Таким образом, есть 2 варианта для первой цифры.
Вторая цифра (единиц) должна быть чётной. Из доступных цифр {0, 2} подходят обе. Таким образом, есть 2 варианта для второй цифры.
Количество чисел в этом случае: $2 \times 2 = 4$. Это числа 10, 12, 30, 32.

Общее количество двузначных чисел, удовлетворяющих условию, равно сумме чисел, найденных в обоих случаях: $2 + 4 = 6$.

Ответ: 6.

910. Кот Базилио и лиса Алиса решили пробраться в каморку папы Карло. Чтобы туда проникнуть, нужно подобрать двузначный код. Им известно, что дверь в каморку закрывает Буратино, который знает пока что только четыре цифры: 0, 1, 2 и 3. Какое наибольшее количество вариантов придётся перебрать коту и лисе, чтобы открыть дверь?

Для решения этой задачи нужно посчитать общее количество возможных двузначных кодов, которые можно составить из четырех цифр: 0, 1, 2 и 3.

Код состоит из двух цифр. Так как в условии задачи не указано, что цифры не могут повторяться, мы будем исходить из того, что повторения возможны (например, код может быть "11" или "22").

Выбор первой цифры кода
На позицию первой цифры можно поставить любую из четырёх данных цифр: 0, 1, 2 или 3. Поскольку это код, а не двузначное число в строгом математическом смысле, первая цифра может быть нулём.
Следовательно, для первой цифры у нас есть 4 варианта.

Выбор второй цифры кода
На позицию второй цифры также можно поставить любую из четырёх данных цифр: 0, 1, 2 или 3.
Следовательно, для второй цифры у нас тоже есть 4 варианта.

Расчет общего количества вариантов
Чтобы найти общее (наибольшее) количество возможных комбинаций, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это основное правило комбинаторики (правило умножения).

Количество вариантов = (Количество вариантов для первой цифры) $\times$ (Количество вариантов для второй цифры)

$4 \times 4 = 16$

Таким образом, коту Базилио и лисе Алисе в худшем случае придётся перебрать 16 различных вариантов кода, чтобы открыть дверь.

Ответ: 16.

911. Сколько существует различных прямоугольников, периметры которых равны 24 см, а длины сторон, выраженные в сантиметрах, являются натуральными числами?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, то есть целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.

Согласно условию задачи, периметр равен 24 см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сумму длин сторон:
$24 = 2(a + b)$
$a + b = \frac{24}{2}$
$a + b = 12$

Теперь нам нужно найти все различные пары натуральных чисел ($a$, $b$), сумма которых равна 12. Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ не отличается от прямоугольника со сторонами $b$ и $a$, поэтому, чтобы избежать повторений, мы будем искать пары, в которых $a \le b$.

Перечислим все возможные комбинации длин сторон:
1. Если $a = 1$ см, то $b = 12 - 1 = 11$ см.
2. Если $a = 2$ см, то $b = 12 - 2 = 10$ см.
3. Если $a = 3$ см, то $b = 12 - 3 = 9$ см.
4. Если $a = 4$ см, то $b = 12 - 4 = 8$ см.
5. Если $a = 5$ см, то $b = 12 - 5 = 7$ см.
6. Если $a = 6$ см, то $b = 12 - 6 = 6$ см. (Это квадрат, который является частным случаем прямоугольника).

Если мы продолжим и возьмем $a = 7$, то $b$ станет равно 5. Пара (7, 5) описывает тот же прямоугольник, что и пара (5, 7), которую мы уже учли. Таким образом, мы нашли все уникальные варианты.

Всего существует 6 таких прямоугольников.

Ответ: 6

912. У Ани есть 30 одинаковых кубиков. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов она может из них составить, если для построения одного параллелепипеда надо использовать все имеющиеся 30 кубиков?

По условию задачи, для построения одного прямоугольного параллелепипеда необходимо использовать все 30 кубиков. Это означает, что объем каждого такого параллелепипеда равен 30 кубическим единицам (если принять ребро одного кубика за единицу длины).

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \times b \times c$, где $a$, $b$ и $c$ — его измерения (длина, ширина и высота). В нашем случае $a$, $b$ и $c$ должны быть целыми положительными числами, так как параллелепипед составляется из целых кубиков. Таким образом, задача сводится к нахождению количества различных наборов из трех натуральных чисел, произведение которых равно 30.

Поскольку форма параллелепипеда не зависит от его ориентации в пространстве, порядок измерений не имеет значения. Например, параллелепипед с размерами $2 \times 3 \times 5$ — это тот же самый параллелепипед, что и с размерами $3 \times 5 \times 2$. Следовательно, нам нужно найти количество неупорядоченных троек натуральных чисел $\{a, b, c\}$, для которых выполняется равенство $a \times b \times c = 30$.

Чтобы найти все такие тройки и не упустить ни одной, будем перечислять их в упорядоченном виде, приняв, что $a \le b \le c$.

1. Пусть наименьшее измерение $a = 1$. Тогда произведение двух других должно быть равно 30: $b \times c = 30$. Найдем все пары натуральных чисел $b$ и $c$, удовлетворяющие этому условию, а также требованию $1 \le b \le c$:

• Если $b = 1$, то $c = 30$. Получаем размеры (1, 1, 30).
• Если $b = 2$, то $c = 15$. Получаем размеры (1, 2, 15).
• Если $b = 3$, то $c = 10$. Получаем размеры (1, 3, 10).
• Если $b = 5$, то $c = 6$. Получаем размеры (1, 5, 6).

2. Пусть наименьшее измерение $a = 2$. Тогда $b \times c = 15$. Найдем пары для $b$ и $c$ при условии $2 \le b \le c$:

• Если $b = 3$, то $c = 5$. Условие $2 \le 3 \le 5$ выполняется. Получаем размеры (2, 3, 5).

3. Пусть наименьшее измерение $a = 3$. Тогда $b \times c = 10$. Ищем пары при условии $3 \le b \le c$. Множители числа 10 — это 1, 2, 5, 10. Ни один из них (кроме тех, что больше c) не удовлетворяет условию $b \ge 3$ так, чтобы $b \le \sqrt{10}$. Поэтому новых комбинаций здесь нет.

Проверять $a \ge 4$ нет смысла, так как если бы наименьшее измерение было 4 или больше, то объем был бы не меньше $4 \times 4 \times 4 = 64$, что больше 30.

Таким образом, мы нашли все возможные уникальные наборы размеров для параллелепипеда:

• 1 × 1 × 30
• 1 × 2 × 15
• 1 × 3 × 10
• 1 × 5 × 6
• 2 × 3 × 5

Всего получилось 5 различных наборов, что соответствует 5 различным формам прямоугольных параллелепипедов.

Ответ: 5