Страница 183 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

892. Максимальная масса белого медведя 800 кг, что составляет $ \frac{2}{15} $ максимальной массы индийского слона или 640 % максимальной массы льва. Найдите максимальную массу:

1) индийского слона;

2) льва.

Л. Ф. Магницкий

1) индийского слона

По условию задачи, максимальная масса белого медведя, равная 800 кг, составляет $\frac{2}{15}$ от максимальной массы индийского слона. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части (800 кг) разделить на дробь, выражающую эту часть ($\frac{2}{15}$).

Вычислим максимальную массу индийского слона:

$800 \div \frac{2}{15} = 800 \cdot \frac{15}{2} = \frac{800 \cdot 15}{2} = 400 \cdot 15 = 6000$ (кг).

Таким образом, максимальная масса индийского слона составляет 6000 кг.

Ответ: 6000 кг.

2) льва

Согласно условию, масса белого медведя (800 кг) составляет 640% от максимальной массы льва. Чтобы найти число по его проценту, нужно представить проценты в виде десятичной дроби, а затем разделить данное значение на эту дробь.

Переведем проценты в десятичную дробь:

$640\% = \frac{640}{100} = 6,4$

Теперь найдем максимальную массу льва:

$800 \div 6,4 = \frac{800}{6,4} = \frac{8000}{64} = 125$ (кг).

Следовательно, максимальная масса льва равна 125 кг.

Ответ: 125 кг.

893. В Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова учится около 40 000 студентов. Количество студентов Кембриджского университета (Великобритания) составляет 50 % количества студентов Московского университета или $\frac{2}{3}$ количества студентов Гёттингенского университета (Германия). Сколько студентов учится в Гёттингенском университете?

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти количество студентов в Кембриджском университете, а затем, используя это значение, вычислить количество студентов в Гёттингенском университете.

1. Находим количество студентов в Кембриджском университете.

По условию, в Московском государственном университете (МГУ) учится 40 000 студентов. Количество студентов в Кембридже составляет 50% от этого числа. Чтобы найти 50% от 40 000, нужно умножить это число на 0,5:

$40000 \cdot 50\% = 40000 \cdot \frac{50}{100} = 40000 \cdot 0,5 = 20000$ студентов.

Таким образом, в Кембриджском университете учится 20 000 студентов.

2. Находим количество студентов в Гёттингенском университете.

Известно, что количество студентов в Кембридже (20 000) – это $\frac{2}{3}$ от количества студентов в Гёттингенском университете. Пусть $x$ — это искомое количество студентов в Гёттингенском университете. Тогда мы можем составить пропорцию:

$20000 = \frac{2}{3} \cdot x$

Чтобы найти $x$ (целое число по его части), нужно эту часть (20 000) разделить на дробь, выражающую эту часть ($\frac{2}{3}$):

$x = 20000 : \frac{2}{3} = 20000 \cdot \frac{3}{2} = \frac{60000}{2} = 30000$ студентов.

Ответ: в Гёттингенском университете учится 30 000 студентов.

894. Используя цифры 4, 5, 6, записали два разных трёхзначных числа. Может ли произведение этих чисел быть равным числу, записанному только с помощью цифр 0, 2, 3, 5, 6, 8? (В записи чисел цифры не повторяются.)

Для решения этой задачи проанализируем свойства чисел, о которых идет речь.

1. Свойства исходных чисел.
Пусть $A$ и $B$ — это два разных трёхзначных числа, записанных с помощью цифр 4, 5, 6. Условие «В записи чисел цифры не повторяются» означает, что каждое из этих чисел должно состоять из уникальных цифр. Поскольку для их записи используются цифры 4, 5 и 6, то числа $A$ и $B$ являются различными перестановками этих цифр.Возможные числа: 456, 465, 546, 564, 645, 654.
Найдем сумму цифр для любого из этих чисел: $4 + 5 + 6 = 15$.
Согласно признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Так как 15 делится на 3, то каждое из чисел $A$ и $B$ делится на 3.

2. Свойства произведения.
Пусть $P = A \times B$ — произведение этих двух чисел.
Поскольку $A$ делится на 3 и $B$ делится на 3, их произведение $P$ должно делиться на $3 \times 3 = 9$.
Согласно признаку делимости на 9, если число делится на 9, то сумма его цифр также должна делиться на 9.

3. Анализ числа, которым может быть произведение.
По условию, произведение $P$ должно быть записано только с помощью цифр из набора $\{0, 2, 3, 5, 6, 8\}$, причем цифры в записи числа $P$ не должны повторяться.
Оценим величину произведения $P$.

• Наименьшее возможное произведение — это произведение двух наименьших чисел из нашего списка: $456 \times 465 = 212040$.
• Наибольшее возможное произведение — это произведение двух наибольших чисел: $654 \times 645 = 421830$.

Все возможные произведения будут находиться в этом диапазоне. Как мы видим, результат всегда является шестизначным числом.
Набор разрешенных для записи произведения цифр $\{0, 2, 3, 5, 6, 8\}$ содержит ровно 6 цифр. Так как произведение $P$ является шестизначным числом, и все его цифры должны быть различны и взяты из этого набора, то число $P$ должно состоять из всех цифр набора $\{0, 2, 3, 5, 6, 8\}$.

4. Проверка на противоречие.
Найдем сумму цифр числа $P$. Она будет равна сумме всех цифр из разрешенного набора:
Сумма цифр $P = 0 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 24$.
Ранее мы установили, что число $P$ должно делиться на 9, а значит, и сумма его цифр должна делиться на 9.
Однако число 24 не делится на 9 без остатка ($24 = 2 \times 9 + 6$).
Возникло противоречие: с одной стороны, сумма цифр произведения должна быть кратна 9, а с другой стороны, она равна 24, что не кратно 9. Следовательно, такое произведение получить невозможно.

Ответ: нет, произведение этих чисел не может быть равным числу, записанному только с помощью цифр 0, 2, 3, 5, 6, 8 без повторений.

895. В США дату обычно записывают так: месяц, число и год. Например, дату рождения А. С. Пушкина американец записал бы так: 5.26.1799.

В Европе же сначала записывают число, потом месяц и год. Сколько в году дней, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом она записана?

Неоднозначность в прочтении даты возникает в том случае, когда оба числа, обозначающие день и месяц, могут быть интерпретированы и как номер дня, и как номер месяца.

Пусть дата записана как $A.B$.

• В американском формате (месяц/число) это будет означать $A$-й месяц, $B$-й день.
• В европейском формате (число/месяц) это будет означать $A$-й день, $B$-й месяц.

Чтобы оба варианта прочтения были возможны и приводили к разным датам, должны выполняться следующие условия:

1. Число $A$ должно быть корректным номером месяца, то есть $1 \le A \le 12$.
2. Число $B$ также должно быть корректным номером месяца, то есть $1 \le B \le 12$.
3. Чтобы даты были разными, число дня не должно совпадать с номером месяца, то есть $A \ne B$.

Дополнительное условие, что $A$ должно быть допустимым днем для месяца $B$, а $B$ — для месяца $A$, выполняется автоматически, так как $A \le 12$ и $B \le 12$, а в самом коротком месяце (феврале) 28 дней.

Таким образом, мы ищем количество дней в году, у которых и номер дня (Д), и номер месяца (М) находятся в диапазоне от 1 до 12, причем Д не равно М.

Подсчитаем количество таких дней:

• Для января (месяц 1), неоднозначными будут дни, номера которых могут быть номером месяца, то есть дни с 1 по 12. Исключаем 1-е января, так как 1.1 читается однозначно. Получаем 11 дней (2.01, 3.01, ..., 12.01).
• Для февраля (месяц 2), по аналогии, исключаем 2-е февраля. Получаем 11 дней (1.02, 3.02, ..., 12.02).
• Такая же логика применима ко всем 12 месяцам года. Для каждого месяца будет 11 дней, которые могут создать неоднозначность.

Общее количество таких дней в году равно:

$12 \text{ (месяцев)} \times 11 \text{ (дней)} = 132$

Ответ: 132.