Номер 894, страница 183 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Диаграммы. Глава 3. Дроби - номер 894, страница 183.

Условие.

894. Используя цифры 4, 5, 6, записали два разных трёхзначных числа. Может ли произведение этих чисел быть равным числу, записанному только с помощью цифр 0, 2, 3, 5, 6, 8? (В записи чисел цифры не повторяются.)

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи проанализируем свойства чисел, о которых идет речь.

1. Свойства исходных чисел.
Пусть $A$ и $B$ — это два разных трёхзначных числа, записанных с помощью цифр 4, 5, 6. Условие «В записи чисел цифры не повторяются» означает, что каждое из этих чисел должно состоять из уникальных цифр. Поскольку для их записи используются цифры 4, 5 и 6, то числа $A$ и $B$ являются различными перестановками этих цифр.Возможные числа: 456, 465, 546, 564, 645, 654.
Найдем сумму цифр для любого из этих чисел: $4 + 5 + 6 = 15$.
Согласно признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Так как 15 делится на 3, то каждое из чисел $A$ и $B$ делится на 3.

2. Свойства произведения.
Пусть $P = A \times B$ — произведение этих двух чисел.
Поскольку $A$ делится на 3 и $B$ делится на 3, их произведение $P$ должно делиться на $3 \times 3 = 9$.
Согласно признаку делимости на 9, если число делится на 9, то сумма его цифр также должна делиться на 9.

3. Анализ числа, которым может быть произведение.
По условию, произведение $P$ должно быть записано только с помощью цифр из набора $\{0, 2, 3, 5, 6, 8\}$, причем цифры в записи числа $P$ не должны повторяться.
Оценим величину произведения $P$.

• Наименьшее возможное произведение — это произведение двух наименьших чисел из нашего списка: $456 \times 465 = 212040$.
• Наибольшее возможное произведение — это произведение двух наибольших чисел: $654 \times 645 = 421830$.

Все возможные произведения будут находиться в этом диапазоне. Как мы видим, результат всегда является шестизначным числом.
Набор разрешенных для записи произведения цифр $\{0, 2, 3, 5, 6, 8\}$ содержит ровно 6 цифр. Так как произведение $P$ является шестизначным числом, и все его цифры должны быть различны и взяты из этого набора, то число $P$ должно состоять из всех цифр набора $\{0, 2, 3, 5, 6, 8\}$.

4. Проверка на противоречие.
Найдем сумму цифр числа $P$. Она будет равна сумме всех цифр из разрешенного набора:
Сумма цифр $P = 0 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 24$.
Ранее мы установили, что число $P$ должно делиться на 9, а значит, и сумма его цифр должна делиться на 9.
Однако число 24 не делится на 9 без остатка ($24 = 2 \times 9 + 6$).
Возникло противоречие: с одной стороны, сумма цифр произведения должна быть кратна 9, а с другой стороны, она равна 24, что не кратно 9. Следовательно, такое произведение получить невозможно.

Ответ: нет, произведение этих чисел не может быть равным числу, записанному только с помощью цифр 0, 2, 3, 5, 6, 8 без повторений.