Страница 186 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равна сумма средних членов пропорции $2 : 5 = 8 : 20$?

Пропорция представляет собой равенство двух отношений и записывается в общем виде как $a : b = c : d$. В данной задаче приведена пропорция $2 : 5 = 8 : 20$.

Члены пропорции имеют свои названия: $a$ и $d$ — это крайние члены, а $b$ и $c$ — средние члены.

Для пропорции $2 : 5 = 8 : 20$ определим её средние члены. Это числа, которые находятся в середине записи: 5 и 8.

Чтобы найти сумму средних членов, необходимо сложить эти два числа:
$5 + 8 = 13$

Ответ: 13

2. Длина отрезка равна $3,(46)$ см. Найдите десятичное приближение до тысячных длины этого отрезка.

Длина отрезка задана в виде периодической десятичной дроби $3,(46)$ см. Это означает, что группа цифр (период) "46" повторяется бесконечно после запятой.

Чтобы найти десятичное приближение, запишем это число с несколькими знаками после запятой:
$3,(46) = 3,464646...$

Требуется округлить число до тысячных. Разряд тысячных — это третья цифра после запятой. В нашем числе это цифра 4:
$3,464646...$

Согласно правилу округления, мы должны посмотреть на следующую цифру, то есть на четвертую цифру после запятой. В данном случае это 6.
$3,464646...$

Поскольку эта цифра (6) больше или равна 5, мы должны увеличить цифру в разряде тысячных (4) на единицу.
$4 + 1 = 5$

Таким образом, десятичное приближение длины отрезка до тысячных равно $3,465$.

Ответ: $3,465$ см.

3. Объём прямоугольного параллелепипеда равен $240 \text{ см}^3$. Какая из следующих троек чисел может задавать измерения этого параллелепипеда:

1) $4 \text{ см}$, $6 \text{ см}$, $12 \text{ см}$;

2) $5 \text{ см}$, $6 \text{ см}$, $8 \text{ см}$;

3) $3 \text{ см}$, $5 \text{ см}$, $10 \text{ см}$;

4) $10 \text{ см}$, $10 \text{ см}$, $24 \text{ см}$?

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трех его измерений: длины, ширины и высоты. Формула для вычисления объема $V$: $V = a \cdot b \cdot c$ где $a$, $b$ и $c$ — измерения параллелепипеда.

По условию задачи, объем равен $240 \text{ см}^3$. Чтобы найти правильный ответ, нужно проверить, произведение какой из предложенных троек чисел равно 240.

1) 4 см, 6 см, 12 см
Найдем произведение этих чисел: $V = 4 \cdot 6 \cdot 12 = 24 \cdot 12 = 288 \text{ см}^3$.
Результат не равен 240.
Ответ: неверно.

2) 5 см, 6 см, 8 см
Найдем произведение этих чисел: $V = 5 \cdot 6 \cdot 8 = 30 \cdot 8 = 240 \text{ см}^3$.
Результат совпадает с заданным объемом.
Ответ: верно.

3) 3 см, 5 см, 10 см
Найдем произведение этих чисел: $V = 3 \cdot 5 \cdot 10 = 15 \cdot 10 = 150 \text{ см}^3$.
Результат не равен 240.
Ответ: неверно.

4) 10 см, 10 см, 24 см
Найдем произведение этих чисел: $V = 10 \cdot 10 \cdot 24 = 100 \cdot 24 = 2400 \text{ см}^3$.
Результат не равен 240.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственная тройка чисел, которая может задавать измерения прямоугольного параллелепипеда объемом $240 \text{ см}^3$, — это 5 см, 6 см и 8 см, что соответствует варианту 2).

4. Сколько центнеров пшеницы можно засыпать в бункер, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 8 м, ширина – 2 м, высота – 1 м, а масса $1 \text{ м}^3$ зерна составляет 8 ц?

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить два шага: сначала найти объем бункера, а затем, зная его объем и массу зерна, занимающего 1 м³, рассчитать общую массу пшеницы, которую можно засыпать в бункер.

1. Находим объем бункера.
Бункер имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле:$V = a \cdot b \cdot c$,где $a$ – длина, $b$ – ширина, а $c$ – высота.

Подставим известные значения из условия:

$a = 8$ м
$b = 2$ м
$c = 1$ м

Теперь вычислим объем:

$V = 8 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} \cdot 1 \text{ м} = 16 \text{ м}^3$

Объем бункера составляет 16 кубических метров.

2. Находим массу пшеницы.
В условии сказано, что масса 1 м³ зерна составляет 8 центнеров (ц). Чтобы найти, сколько всего центнеров пшеницы можно засыпать в бункер объемом 16 м³, нужно умножить объем бункера на массу зерна в одном кубическом метре.

Масса пшеницы = $16 \text{ м}^3 \cdot 8 \frac{\text{ц}}{\text{м}^3} = 128 \text{ ц}$

Таким образом, в бункер можно засыпать 128 центнеров пшеницы.

Ответ: 128 центнеров.

5 Некоторое число увеличили на треть. Оказалось, что разность полученного и исходного чисел равна 12. Найдите исходное число.

Пусть искомое исходное число равно $x$.

По условию, это число увеличили на треть. Это означает, что к числу $x$ прибавили $\frac{1}{3}x$. Новое, полученное число будет равно $x + \frac{1}{3}x$.

Также в условии сказано, что разность полученного и исходного чисел равна 12. Составим и решим уравнение на основе этих данных:

$(x + \frac{1}{3}x) - x = 12$

Упростим левую часть уравнения, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$x + \frac{1}{3}x - x = 12$

$\frac{1}{3}x = 12$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 12 \cdot 3$

$x = 36$

Таким образом, исходное число — это 36.

Ответ: 36

896. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 3 (цифры могут повторяться).

Задача состоит в том, чтобы найти все двузначные числа, которые можно составить из цифр 1, 2 и 3, причем цифры в числе могут повторяться.

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры в разряде десятков и цифры в разряде единиц.

Для каждой из этих позиций мы можем выбрать любую из трех предложенных цифр: 1, 2 или 3.

Рассмотрим все возможные комбинации systematically:

1. Если цифра десятков равна 1:
   Цифра единиц может быть 1, 2 или 3. Таким образом, мы получаем числа: 11, 12, 13.
2. Если цифра десятков равна 2:
   Цифра единиц также может быть 1, 2 или 3. Таким образом, мы получаем числа: 21, 22, 23.
3. Если цифра десятков равна 3:
   Цифра единиц снова может быть 1, 2 или 3. Таким образом, мы получаем числа: 31, 32, 33.

Объединив все найденные числа, мы получим полный список. Всего существует $3 \times 3 = 9$ таких чисел.

Ответ: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

897. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 0 (цифры могут повторяться).

Для решения этой задачи необходимо составить все возможные двузначные числа, используя только цифры 1, 2 и 0. Двузначное число состоит из двух разрядов: разряда десятков и разряда единиц.

1. Разряд десятков (первая цифра):
Первая цифра в двузначном числе не может быть нулем. Следовательно, на месте десятков могут стоять только цифры 1 или 2. Это дает нам два возможных варианта для первой цифры.

2. Разряд единиц (вторая цифра):
На месте единиц может стоять любая из предложенных цифр: 1, 2 или 0, так как по условию цифры могут повторяться. Это дает нам три возможных варианта для второй цифры.

Теперь systematically перечислим все возможные комбинации:

• Если первая цифра (десятки) равна 1, то вторая цифра (единицы) может быть 0, 1 или 2. Получаем числа: 10, 11, 12.
• Если первая цифра (десятки) равна 2, то вторая цифра (единицы) может быть 0, 1 или 2. Получаем числа: 20, 21, 22.

Таким образом, мы нашли все возможные двузначные числа, удовлетворяющие условию. Их общее количество равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $2 \times 3 = 6$ чисел.

Ответ: 10, 11, 12, 20, 21, 22.

898. У Жени есть три надувных шарика: красный, зелёный и жёлтый. Он хочет подарить по одному шарику своим друзьям: Кате, Антону и Максиму. Сколько у Жени есть вариантов сделать подарки своим друзьям?

Эта задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью нахождения числа перестановок. Нам нужно определить, сколькими способами можно распределить 3 различных шарика между 3 людьми.

У Жени есть 3 друга: Катя, Антон, Максим.
И 3 разных шарика: красный, зелёный, жёлтый.

Рассмотрим процесс распределения шариков по шагам:

1. Для первого друга (например, Кати) можно выбрать любой из трёх шариков. Следовательно, есть 3 варианта выбора.

2. После того как Кате подарили шарик, осталось только 2 шарика. Для второго друга (например, Антона) можно выбрать один из двух оставшихся шариков. То есть, есть 2 варианта выбора.

3. Когда первые два друга получили свои подарки, остался всего один шарик. Для третьего друга (Максима) остаётся только 1 вариант без выбора.

Чтобы найти общее количество вариантов, нужно перемножить количество выборов на каждом шаге. Это называется правилом умножения в комбинаторике.

Общее количество вариантов = (число выборов для Кати) × (число выборов для Антона) × (число выборов для Максима)

$3 \times 2 \times 1 = 6$

Произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n называется факториалом и обозначается $n!$. В нашем случае мы нашли факториал числа 3:

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Также мы можем просто перечислить все возможные варианты распределения шариков (К - красный, З - зелёный, Ж - жёлтый):
1. Катя – К, Антон – З, Максим – Ж
2. Катя – К, Антон – Ж, Максим – З
3. Катя – З, Антон – К, Максим – Ж
4. Катя – З, Антон – Ж, Максим – К
5. Катя – Ж, Антон – К, Максим – З
6. Катя – Ж, Антон – З, Максим – К

Как видно из перечисления, всего существует 6 различных способов сделать подарки.

Ответ: 6

899. Сколько двузначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр 0, 1 и 2?

Для того чтобы составить двузначное число из цифр 0, 1 и 2, необходимо выбрать две разные цифры и расположить их на месте десятков и единиц.

1. Выбор первой цифры (разряд десятков).
Двузначное число не может начинаться с нуля. Поэтому на первое место мы можем поставить только цифру 1 или 2.
Таким образом, у нас есть 2 варианта для первой цифры.

2. Выбор второй цифры (разряд единиц).
По условию, все цифры в числе должны быть различны. Это означает, что вторая цифра не должна совпадать с первой.
Изначальный набор цифр — {0, 1, 2}.

• Если первая цифра — 1, то для второй цифры остаются варианты {0, 2}. Это дает нам числа 10 и 12.
• Если первая цифра — 2, то для второй цифры остаются варианты {0, 1}. Это дает нам числа 20 и 21.

Таким образом, мы можем составить 4 различных двузначных числа: 10, 12, 20, 21.

Задачу можно решить и с помощью комбинаторного правила умножения.
Число вариантов для первой цифры (десятки) равно 2 (1 или 2).
После того как первая цифра выбрана, для второй цифры (единицы) остается 2 варианта из трех исходных (так как одна цифра уже занята).
Общее количество возможных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции:
$N = 2 \times 2 = 4$.

Ответ: 4

900. В футбольном турнире участвуют команды 6 «А» класса, 6 «Б» класса и 6 «В» класса. Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд? Решение какой задачи из номеров 896–899 аналогично решению этой задачи?

Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд?

В турнире участвуют 3 команды (6 «А», 6 «Б» и 6 «В»). Необходимо распределить между ними первое и второе места. Поскольку порядок мест имеет значение (первое место отличается от второго), данная задача является задачей на нахождение числа размещений.

Выбор команды на первое место: на это место может претендовать любая из 3 команд, следовательно, существует 3 варианта.

Выбор команды на второе место: после того как одна команда заняла первое место, на второе место могут претендовать 2 оставшиеся команды. Таким образом, существует 2 варианта.

Чтобы найти общее количество способов, следует перемножить число вариантов для каждого места в соответствии с комбинаторным правилом умножения:
$3 \times 2 = 6$.

Это же число можно найти с помощью формулы для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае общее число команд $n=3$, а число призовых мест $k=2$.
$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 = 6$.
Таким образом, существует 6 способов распределения первого и второго мест.
Ответ: 6.

Решение какой задачи из номеров 896–899 аналогично решению этой задачи?

Эта задача, как и задачи из диапазона номеров 896–899, решается путем нахождения числа размещений без повторений. Наиболее аналогичной по своему содержанию является задача №897.

В задаче №897 ставится вопрос: «В чемпионате по футболу участвуют 10 команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?». Аналогия между задачами заключается в том, что обе они посвящены распределению призовых мест в спортивном соревновании, где важен порядок и одна и та же команда не может занять несколько мест. Математическая модель для обеих задач — нахождение числа размещений $A_n^k$, они отличаются только значениями параметров $n$ и $k$.
Ответ: Решение задачи №897 аналогично решению этой задачи.

901. Запишите все трёхзначные числа, для записи которых используются только цифры:

1) 3, 4 и 6;

2) 4, 7 и 0.

(Цифры не могут повторяться.)

1) 3, 4 и 6;

Чтобы составить все возможные трёхзначные числа из цифр 3, 4 и 6 без их повторения, необходимо рассмотреть все варианты расположения этих цифр на местах сотен, десятков и единиц.

1. Если на первом месте (сотни) стоит цифра 3, то на оставшихся двух местах могут быть цифры 4 и 6. Это даёт нам два числа: 346 и 364.

2. Если на первом месте стоит цифра 4, то на оставшихся местах могут быть цифры 3 и 6. Это даёт нам два числа: 436 и 463.

3. Если на первом месте стоит цифра 6, то на оставшихся местах могут быть цифры 3 и 4. Это даёт нам два числа: 634 и 643.

Всего мы имеем 3 варианта для первой цифры, 2 для второй и 1 для третьей. Общее количество чисел равно числу перестановок из трёх элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Перечислим все полученные числа: 346, 364, 436, 463, 634, 643.

Ответ: 346, 364, 436, 463, 634, 643.

2) 4, 7 и 0;

При составлении трёхзначных чисел из цифр 4, 7 и 0 без повторения, важно помнить, что трёхзначное число не может начинаться с цифры 0.

1. На место сотен можно поставить только цифру 4 или 7. У нас есть 2 варианта.

- Пусть на первом месте стоит 4. Тогда на местах десятков и единиц могут стоять оставшиеся цифры 7 и 0. Из них можно составить два числа: 470 и 407.

- Пусть на первом месте стоит 7. Тогда на местах десятков и единиц могут стоять оставшиеся цифры 4 и 0. Из них можно составить два числа: 740 и 704.

Таким образом, мы можем составить $2 \times 2 \times 1 = 4$ различных трёхзначных числа.

Перечислим все полученные числа: 407, 470, 704, 740.

Ответ: 407, 470, 704, 740.

902. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью

цифр:

1) 1 и 2;

2) 0 и 1?

(Цифры могут повторяться.)

1) 1 и 2;

Для составления трёхзначного числа необходимо определить, сколько вариантов есть для каждого из трёх разрядов: сотен, десятков и единиц. Мы можем использовать цифры 1 и 2, и они могут повторяться.
- Для разряда сотен есть 2 варианта (можно поставить цифру 1 или 2).
- Для разряда десятков также есть 2 варианта (1 или 2).
- Для разряда единиц также есть 2 варианта (1 или 2).
Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждого разряда. Это основное правило комбинаторики (правило умножения).
Количество чисел = (варианты для сотен) × (варианты для десятков) × (варианты для единиц).
$2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.
Следовательно, можно составить 8 различных трёхзначных чисел.
Ответ: 8.

2) 0 и 1?

В этом случае мы составляем трёхзначное число из цифр 0 и 1, причём цифры могут повторяться.
- Для разряда сотен существует важное ограничение: трёхзначное число не может начинаться с нуля. Поэтому на место сотен можно поставить только цифру 1. Таким образом, для этого разряда есть только 1 вариант.
- Для разряда десятков таких ограничений нет, поэтому можно использовать любую из двух цифр (0 или 1). Количество вариантов: 2.
- Для разряда единиц также можно использовать любую из двух цифр (0 или 1). Количество вариантов: 2.
Перемножим количество вариантов для каждого разряда, чтобы найти общее количество возможных чисел:
$1 \times 2 \times 2 = 4$.
Таким образом, можно составить 4 различных трёхзначных числа.
Ответ: 4.