Страница 190 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. За несколько одинаковых блокнотов заплатили 540 р. Сколько надо заплатить за такие блокноты, купив их в 3 раза меньше?

А) 1620 р.

Б) 180 р.

В) 240 р.

Г) 160 р.

1.

Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству товара. Это означает, что если количество одинаковых блокнотов уменьшится в определенное количество раз, то и общая сумма, которую нужно за них заплатить, уменьшится во столько же раз.

Согласно условию задачи, первоначальная стоимость покупки составляла 540 рублей. Количество блокнотов, которое нужно купить, в 3 раза меньше.

Следовательно, чтобы найти новую стоимость, необходимо первоначальную стоимость разделить на 3:

$540 \div 3 = 180$

Таким образом, за блокноты, купленные в 3 раза меньшем количестве, нужно заплатить 180 рублей. Этот результат соответствует варианту ответа Б).

Ответ: 180 р.

2. Автомобиль доехал из одного города в другой за 3 ч 40 мин. За какое время он проедет этот путь, если его скорость будет в 1,1 раза больше?

A) 3 ч 20 мин

Б) 3 ч

В) 4 ч

Г) 4 ч 2 мин

Пусть $S$ — расстояние между городами, $v_1$ и $t_1$ — начальные скорость и время, а $v_2$ и $t_2$ — новые скорость и время. Расстояние постоянно и вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Поскольку расстояние не меняется, мы можем записать равенство: $v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$.

1. Переведем начальное время $t_1$ в минуты для удобства расчетов:
$t_1 = 3 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 3 \cdot 60 \text{ мин} + 40 \text{ мин} = 180 \text{ мин} + 40 \text{ мин} = 220 \text{ минут}$.

2. По условию задачи, новая скорость $v_2$ в 1,1 раза больше начальной скорости $v_1$. Это можно записать как:
$v_2 = 1,1 \cdot v_1$.

3. Подставим выражение для $v_2$ в исходное равенство и найдем новое время $t_2$:
$v_1 \cdot t_1 = (1,1 \cdot v_1) \cdot t_2$
Сократим $v_1$ в обеих частях уравнения:
$t_1 = 1,1 \cdot t_2$
Отсюда:
$t_2 = \frac{t_1}{1,1}$

4. Подставим численное значение $t_1$ и вычислим $t_2$:
$t_2 = \frac{220 \text{ минут}}{1,1} = \frac{2200}{11} \text{ минут} = 200 \text{ минут}$.

5. Переведем полученное время обратно в часы и минуты:
$200 \text{ минут} = 3 \cdot 60 \text{ минут} + 20 \text{ минут} = 3 \text{ ч } 20 \text{ мин}$.

Таким образом, с увеличенной скоростью автомобиль проедет этот путь за 3 часа 20 минут.

Ответ: А) 3 ч 20 мин

3. Бревно распилили на два бревна, длины которых относятся как $3 : 7$. Какую часть исходного бревна составляет меньшее из полученных брёвен?

А) $ \frac{3}{7} $

Б) $ \frac{4}{7} $

В) $ \frac{3}{10} $

Г) $ \frac{1}{10} $

По условию, бревно распилили на две части, длины которых относятся как $3:7$. Это значит, что если мы представим исходное бревно как состоящее из нескольких равных долей, то одна его часть будет содержать 3 таких доли, а другая — 7 долей.

Чтобы найти общее количество долей, на которые было разделено исходное бревно, сложим доли двух полученных частей:

$3 + 7 = 10$ (долей).

Таким образом, исходное бревно состоит из 10 равных долей.

Меньшее из полученных бревен состоит из 3 долей. Чтобы определить, какую часть от исходного бревна оно составляет, нужно разделить количество его долей на общее количество долей в исходном бревне.

Искомая часть равна $\frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$

4. Количество яблонь, растущих в саду, относится к количеству вишен в этом саду как $3 : 5$. Укажите число, которое может выражать общее количество яблонь и вишен,

А) 25

Б) 30

В) 32

Г) 36

По условию задачи, количество яблонь и количество вишен в саду относятся как 3:5. Это означает, что на каждые 3 яблони приходится 5 вишен.

Мы можем представить количество яблонь как $3k$, а количество вишен как $5k$, где $k$ — это некоторый положительный целый коэффициент, так как количество деревьев должно быть целым числом.

Общее количество деревьев в саду (яблонь и вишен вместе) будет равно сумме их частей:

$3k + 5k = 8k$

Из этой формулы следует, что общее количество деревьев должно быть числом, которое делится на 8 без остатка, то есть является кратным восьми.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов ответа:

А) 25
Проверим, делится ли 25 на 8: $25 \div 8 = 3$ (остаток 1). Число не делится на 8 нацело.

Б) 30
Проверим, делится ли 30 на 8: $30 \div 8 = 3$ (остаток 6). Число не делится на 8 нацело.

В) 32
Проверим, делится ли 32 на 8: $32 \div 8 = 4$. Число делится на 8 нацело. Этот вариант подходит. При общем количестве деревьев 32, коэффициент $k$ будет равен 4, тогда в саду будет $3 \times 4 = 12$ яблонь и $5 \times 4 = 20$ вишен.

Г) 36
Проверим, делится ли 36 на 8: $36 \div 8 = 4$ (остаток 4). Число не делится на 8 нацело.

Единственный вариант, который удовлетворяет условию кратности 8, это 32.

Ответ: В) 32

5. Два числа относятся как $5:7$.

Найдите второе число, если первое равно 60.

А) 35

Б) 49

В) 84

Г) 98

Пусть первое число — $a$, а второе — $b$. По условию, их отношение равно $5:7$. Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{a}{b} = \frac{5}{7}$

Известно, что первое число $a = 60$. Подставим это значение в пропорцию:

$\frac{60}{b} = \frac{5}{7}$

Чтобы найти неизвестный член пропорции $b$, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением):

$5 \cdot b = 60 \cdot 7$

$5b = 420$

Теперь найдём $b$, разделив обе части уравнения на 5:

$b = \frac{420}{5}$

$b = 84$

Таким образом, второе число равно 84.

Ответ: 84

6. Вычислите длину окружности радиуса 2 см (число $\pi$ округлите до сотых).

А) 6,28 см

В) 9,42 см

Б) 12,56 см

Г) 25,12 см

Для вычисления длины окружности используется формула:

$C = 2 \pi r$,

где $C$ – длина окружности, $\pi$ – математическая константа, а $r$ – радиус окружности.

По условию задачи даны следующие значения:

• Радиус $r = 2$ см.
• Число $\pi$ необходимо округлить до сотых. Стандартное значение $\pi \approx 3,14159...$, при округлении до двух знаков после запятой получаем $\pi \approx 3,14$.

Подставим известные значения в формулу:

$C = 2 \times 3,14 \times 2$ см

Теперь выполним вычисления:

$C = (2 \times 2) \times 3,14$ см

$C = 4 \times 3,14$ см

$C = 12,56$ см

Полученный результат 12,56 см соответствует варианту Б).

Ответ: Б) 12,56 см

7. Чему равна площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 162, если длина стороны клетки равна 1 см?

А) $6\pi \text{ см}^2$

В) $4\pi \text{ см}^2$

Б) $8\pi \text{ см}^2$

Г) $9\pi \text{ см}^2$

Рис. 162

Для нахождения площади закрашенной фигуры необходимо из площади большего круга вычесть площадь меньшего (незакрашенного) круга. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга.

1. Вычисление площади большого круга

Из рисунка видно, что диаметр большого круга равен 6 клеткам. Поскольку сторона одной клетки равна 1 см, диаметр большого круга $D = 6$ см. Его радиус $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Площадь большого круга ($S_1$) составляет:

$S_1 = \pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см².

2. Вычисление площади малого круга

Диаметр малого круга равен 2 клеткам, следовательно, его диаметр $d = 2$ см. Его радиус $r$ равен:

$r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Площадь малого круга ($S_2$) составляет:

$S_2 = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².

3. Вычисление площади закрашенной фигуры

Площадь закрашенной фигуры ($S$) равна разности площадей большого и малого кругов:

$S = S_1 - S_2 = 9\pi - \pi = 8\pi$ см².

Ответ: Б) $8\pi$ см².

8. На диаграмме (рис. 163) отображены объёмы продаж шерстяных варежек в течение пяти месяцев в одном из магазинов. Сколько пар варежек продавали в среднем за один месяц?

Рис. 163

Ноябрь: 20 пар

Декабрь: 50 пар

Январь: 30 пар

Февраль: 60 пар

Март: 30 пар

А) 30 пар

Б) 40 пар

В) 50 пар

Г) 60 пар

Чтобы найти среднее количество проданных пар варежек в месяц, необходимо вычислить среднее арифметическое объемов продаж за указанный период. Период составляет пять месяцев: Ноябрь, Декабрь, Январь, Февраль и Март.

1. Определим объемы продаж для каждого месяца по диаграмме:

• Ноябрь: 20 пар
• Декабрь: 50 пар
• Январь: 30 пар
• Февраль: 70 пар
• Март: 30 пар

2. Найдем общее количество проданных пар варежек за все пять месяцев:

Суммируем объемы продаж за каждый месяц:

$20 + 50 + 30 + 70 + 30 = 200$ пар

3. Рассчитаем среднее количество проданных пар в месяц:

Для этого разделим общее количество проданных пар на количество месяцев:

$\frac{\text{Сумма всех продаж}}{\text{Количество месяцев}} = \frac{200}{5} = 40$ пар

Следовательно, в среднем за один месяц продавали 40 пар варежек.

Ответ: 40 пар