Страница 185 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Какие задачи называют комбинаторными?

Определение и суть

Комбинаторными задачами называют задачи, в которых требуется подсчитать количество различных способов расположения, выбора или распределения элементов из некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами. Эти задачи являются предметом изучения раздела математики, называемого комбинаторикой.

Основная цель таких задач — ответить на вопрос «Сколькими способами?». Однако, комбинаторные задачи могут быть и другого типа:

• Задачи на перечисление: найти общее число возможных конфигураций.
• Задачи на существование: определить, существует ли хотя бы одна конфигурация с заданными свойствами.
• Задачи на оптимизацию: найти «наилучшую» конфигурацию среди всех возможных.

Ключевым моментом в решении комбинаторных задач является определение типа комбинации (важен ли порядок элементов, могут ли элементы повторяться) и применение соответствующих правил и формул, таких как правило суммы и правило произведения.

Ответ: Комбинаторные задачи — это задачи на подсчёт числа различных комбинаций (выборок, расположений) элементов некоторого множества, удовлетворяющих определённым условиям.

Основные типы комбинаторных конфигураций

В комбинаторике выделяют три основных типа конфигураций, которые помогают решать большинство задач:

1. Перестановки — это комбинации, состоящие из всех $n$ элементов данного множества и отличающиеся друг от друга только порядком их расположения. Например, сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «КОТ»? (КОТ, КТО, ОКТ, ОТК, ТКО, ТОК).

   Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле: $P_n = n!$, где $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

2. Размещения — это комбинации, составленные из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов, и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Например, сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений?

   Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

3. Сочетания — это комбинации, составленные из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов, и отличающиеся друг от друга только составом элементов. Порядок элементов в них не важен. Например, сколькими способами можно выбрать двух дежурных из класса в 20 человек?

   Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Также существуют конфигурации с повторениями, где один и тот же элемент можно выбирать несколько раз.

Ответ: Основными видами комбинаторных конфигураций являются перестановки (где важен порядок всех элементов), размещения (где важен порядок выбранных элементов) и сочетания (где порядок выбранных элементов не важен).

Примеры задач

Вот несколько классических примеров комбинаторных задач:

• Задача о рукопожатиях. Встретились 10 человек, и каждый пожал руку каждому. Сколько всего было сделано рукопожатий?

  Решение: Каждое рукопожатие — это выбор двух человек из десяти, порядок не важен. Это задача на сочетания. $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$.

• Задача о расписании. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 5 разных уроков: математика, физика, химия, литература, история?

  Решение: Нужно расположить 5 предметов в 5 позициях. Порядок важен, и все элементы используются. Это задача на перестановки. $P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

• Задача о выборе меню. В столовой есть 4 вида первых блюд, 6 видов вторых и 3 вида напитков. Сколькими способами можно составить обед из трёх блюд (первое, второе и напиток)?

  Решение: Здесь применяется правило произведения. Выбор первого блюда не зависит от выбора второго и третьего. $4 \cdot 6 \cdot 3 = 72$.

Ответ: Примерами комбинаторных задач служат задачи на подсчёт вариантов расстановки объектов (расписание), выбора групп (команда, рукопожатия) или составления наборов из различных элементов (меню, одежда).