Страница 188 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

913. На прямой отметили четыре точки A, B, C и D. Сколько отрезков с концами в отмеченных точках можно провести?

Чтобы найти количество отрезков с концами в четырех заданных точках (A, B, C, D), необходимо определить, сколько уникальных пар точек можно составить, так как каждый отрезок однозначно определяется двумя своими концами. Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Прямое перечисление

Мы можем систематически перечислить все возможные отрезки. Чтобы избежать повторного подсчета (например, отрезок AB и отрезок BA — это один и тот же отрезок), будем соединять каждую точку с теми, которые еще не были использованы в качестве начальной точки.

- Из точки A можно провести 3 отрезка, соединив ее с остальными точками: AB, AC, AD.

- Из точки B можно провести 2 новых отрезка: BC, BD. (Отрезок BA уже учтен как AB).

- Из точки C можно провести 1 новый отрезок: CD. (Отрезки CA и CB уже учтены).

- Для точки D все возможные отрезки (DA, DB, DC) уже были посчитаны.

Теперь сложим количество отрезков, полученных на каждом шаге: $3 + 2 + 1 = 6$.

Способ 2: Использование комбинаторной формулы

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2, поскольку нам нужно выбрать 2 точки из 4 для построения отрезка, и порядок выбора точек не имеет значения. Формула для вычисления числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов (в нашем случае точек, $n=4$), а $k$ — количество элементов в каждой выборке (для отрезка нужно $k=2$ точки).

Подставим наши значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 6

914. Подножие горы и её вершину связывают три тропы. Сколько существует маршрутов, ведущих от подножия к вершине и затем вниз к подножию?

Для решения этой задачи применяется основное правило комбинаторики — правило умножения, так как выбор маршрута состоит из двух независимых последовательных действий: подъема и спуска.

1. Выбор тропы для подъема.
По условию, от подножия горы к её вершине ведут 3 тропы. Следовательно, существует 3 способа подняться на вершину.

2. Выбор тропы для спуска.
После подъема на вершину нужно спуститься обратно к подножию. Для спуска также доступны все 3 тропы, так как в условии нет ограничений (например, что нельзя спускаться по той же тропе, по которой поднимались). Таким образом, существует 3 способа спуститься с вершины.

Чтобы найти общее количество возможных маршрутов, нужно перемножить количество вариантов для каждого действия (подъема и спуска).

Пусть $N_{подъем}$ — количество способов подняться, а $N_{спуск}$ — количество способов спуститься.

$N_{подъем} = 3$

$N_{спуск} = 3$

Общее количество маршрутов $N_{общ}$ вычисляется по формуле:

$N_{общ} = N_{подъем} \times N_{спуск} = 3 \times 3 = 9$

Таким образом, существует 9 различных маршрутов.

Ответ: 9

915. Спортивной команде предлагают футболки трёх цветов – красного, зелёного и синего, а шорты двух цветов – белого и жёлтого. Сколько вариантов выбора формы есть у команды?

Чтобы найти общее количество вариантов формы, необходимо использовать правило умножения из комбинаторики. У команды есть два независимых выбора: выбор цвета футболки и выбор цвета шорт.

Количество вариантов для выбора футболки равно 3 (красный, зелёный или синий).

Количество вариантов для выбора шорт равно 2 (белый или жёлтый).

Для того чтобы найти общее число возможных комплектов формы, нужно перемножить количество вариантов для каждого элемента одежды:

$3 \times 2 = 6$

Следовательно, у команды есть 6 различных вариантов выбора формы.

Ответ: 6

916. У Тани есть четыре платья и две пары туфель. Сколько у Тани есть вариантов выбора наряда?

Для того чтобы найти общее количество вариантов выбора наряда, необходимо применить правило умножения из комбинаторики. Наряд состоит из одного платья и одной пары туфель. Выбор платья не зависит от выбора туфель, и наоборот.

У Тани есть 4 варианта выбора платья. К каждому из этих четырёх платьев она может подобрать любую из 2 имеющихся пар туфель.

Таким образом, общее количество вариантов наряда равно произведению количества платьев на количество пар туфель.

Вычислим количество вариантов:

$4 \text{ (платья)} \times 2 \text{ (пары туфель)} = 8 \text{ (вариантов наряда)}$

Ответ: 8

917. В отряде космонавтов есть три пилота и два инженера. Сколько существует способов собрать экипаж, состоящий из одного пилота и одного инженера?

Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения, поскольку выбор пилота и выбор инженера являются независимыми друг от друга событиями. Общее количество способов сформировать экипаж будет равно произведению количества способов выбрать пилота и количества способов выбрать инженера.

1. Найдем количество способов выбрать одного пилота. В отряде есть 3 пилота. Количество способов выбрать одного пилота из трех равно числу сочетаний из 3 по 1, что равно 3.
$C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3$.

2. Найдем количество способов выбрать одного инженера. В отряде есть 2 инженера. Количество способов выбрать одного инженера из двух равно числу сочетаний из 2 по 1, что равно 2.
$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = 2$.

3. Перемножим полученные значения, чтобы найти общее количество способов собрать экипаж:
$N = 3 \times 2 = 6$.

Таким образом, существует 6 различных способов собрать экипаж, состоящий из одного пилота и одного инженера.
Ответ: 6

918. 1) Одно из слагаемых в 14 раз больше другого. Во сколько раз их сумма больше меньшего слагаемого?

2) Вычитаемое в 12 раз больше разности. Во сколько раз уменьшаемое больше разности?

1)

Пусть меньшее слагаемое равно $x$.
Согласно условию, большее слагаемое в 14 раз больше, следовательно, оно равно $14x$.
Найдем сумму этих слагаемых:
$x + 14x = 15x$
Чтобы найти, во сколько раз сумма больше меньшего слагаемого, разделим сумму на меньшее слагаемое:
$\frac{15x}{x} = 15$
Таким образом, сумма в 15 раз больше меньшего слагаемого.

Ответ: в 15 раз.

2)

Обозначим уменьшаемое как $a$, вычитаемое как $b$ и разность как $c$.
Их связь выражается формулой: $a - b = c$.
Из этой формулы следует, что уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности: $a = b + c$.
По условию, вычитаемое в 12 раз больше разности: $b = 12c$.
Подставим это значение в формулу для уменьшаемого:
$a = 12c + c = 13c$
Чтобы определить, во сколько раз уменьшаемое больше разности, найдем их отношение:
$\frac{a}{c} = \frac{13c}{c} = 13$
Следовательно, уменьшаемое в 13 раз больше разности.

Ответ: в 13 раз.

919. Какова масса железной детали, изображённой на рисунке 160, если масса $1 \text{ см}^3$ железа равна $7,9 \text{ г}$ (размеры на рисунке даны в сантиметрах)? Сколько граммов краски необходимо для покраски этой детали, если расход краски составляет $4,5 \text{ г}$ на $1 \text{ дм}^2$?

Рис. 160

Какова масса железной детали?

Для нахождения массы детали необходимо сначала вычислить её объём. Деталь можно представить как большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан меньший прямоугольный параллелепипед (паз).

1. Вычислим объём большого параллелепипеда ($V_1$), который бы получился без паза. Его размеры согласно рисунку: длина 20 см, ширина 20 см и высота 10 см.
$V_1 = 20 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 4000 \text{ см}^3$.

2. Теперь вычислим объём вырезанного паза ($V_2$). Его длина также 20 см, высота 5 см. Ширину паза найдём, вычтя из общей ширины детали ширину двух "ножек": $20 \text{ см} - 5 \text{ см} - 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.
$V_2 = 10 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$.

3. Объём самой детали ($V$) равен разности объёмов $V_1$ и $V_2$.
$V = V_1 - V_2 = 4000 \text{ см}^3 - 1000 \text{ см}^3 = 3000 \text{ см}^3$.

4. Зная объём и плотность железа ($\rho = 7,9 \text{ г/см}^3$), найдём массу детали ($m$) по формуле $m = V \cdot \rho$.
$m = 3000 \text{ см}^3 \cdot 7,9 \text{ г/см}^3 = 23700 \text{ г}$.
Это значение можно перевести в килограммы: $23700 \text{ г} = 23,7 \text{ кг}$.

Ответ: 23700 г.

Сколько граммов краски необходимо для покраски этой детали?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти полную площадь поверхности детали, а затем умножить её на расход краски.

1. Вычислим площадь всех поверхностей детали, суммируя площади отдельных граней:
- Площадь передней и задней граней (каждая имеет форму буквы П): $S_1 = 2 \cdot ((20 \cdot 10) - (10 \cdot 5)) = 2 \cdot (200 - 50) = 300 \text{ см}^2$.
- Площадь верхней грани: $S_2 = 20 \cdot 20 = 400 \text{ см}^2$.
- Площадь нижней грани (состоит из двух полос): $S_3 = 2 \cdot (5 \cdot 20) = 200 \text{ см}^2$.
- Площадь внешних боковых граней: $S_4 = 2 \cdot (10 \cdot 20) = 400 \text{ см}^2$.
- Площадь внутренних поверхностей паза (две боковые стенки и "потолок"): $S_5 = 2 \cdot (5 \cdot 20) + (10 \cdot 20) = 200 + 200 = 400 \text{ см}^2$.

2. Общая площадь поверхности ($S_{общ}$) равна сумме всех этих площадей:
$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = 300 + 400 + 200 + 400 + 400 = 1700 \text{ см}^2$.

3. Расход краски дан в граммах на квадратный дециметр, поэтому переведём полученную площадь в дм². Так как $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$, получаем:
$S_{общ} = 1700 \text{ см}^2 = 17 \text{ дм}^2$.

4. Теперь вычислим массу необходимой краски ($m_{краски}$), умножив площадь на расход (4,5 г/дм²):
$m_{краски} = 17 \text{ дм}^2 \cdot 4,5 \text{ г/дм}^2 = 76,5 \text{ г}$.

Ответ: 76,5 г.

920. Вам уже известно имя выдающего русского математика-педагога Леонтия Магницкого, автора первого русского учебника по математике «Арифметика». Михаил Ломоносов назвал эту книгу «вратами учёности». Попробуйте и вы решить задачу из учебника Магницкого.

Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему двадцать человек работников и спросил, в сколько дней они построят его двор. Плотник ответил: в тридцать дней. А господину надобно в пять дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в пять дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

Это задача на обратную пропорциональность. Общий объем работы по постройке двора остается неизменным, но при сокращении времени на выполнение этой работы требуется увеличить количество работников. Зависимость между количеством работников и временем выполнения работы — обратная: во сколько раз мы хотим уменьшить время, во столько же раз нужно увеличить число работников.

Решение:

1. Сначала вычислим общий объем работы, необходимый для постройки двора. Этот объем измеряется в «человеко-днях» (количество работы, выполняемое одним человеком за один день).

По условию, 20 работников ($N_1$) строят двор за 30 дней ($T_1$). Общий объем работы ($W$) составляет:

$W = N_1 \times T_1 = 20 \text{ человек} \times 30 \text{ дней} = 600 \text{ человеко-дней}$

2. Теперь нам нужно выполнить этот же объем работы ($W = 600$ человеко-дней) за новый, сокращенный срок — 5 дней ($T_2$). Найдем, сколько работников ($N_2$) для этого потребуется.

Для этого разделим общий объем работы на новое количество дней:

$N_2 = \frac{W}{T_2} = \frac{600 \text{ человеко-дней}}{5 \text{ дней}} = 120 \text{ человек}$

Таким образом, чтобы завершить работу в 6 раз быстрее (30 дней / 5 дней = 6), потребуется в 6 раз больше работников (20 человек * 6 = 120 человек).

Ответ: чтобы построить тот двор в 5 дней, плотнику надо иметь 120 человек.