Номер 913, страница 188 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Комбинаторные задачи. Глава 3. Дроби - номер 913, страница 188.

Условие.

913. На прямой отметили четыре точки A, B, C и D. Сколько отрезков с концами в отмеченных точках можно провести?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти количество отрезков с концами в четырех заданных точках (A, B, C, D), необходимо определить, сколько уникальных пар точек можно составить, так как каждый отрезок однозначно определяется двумя своими концами. Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Прямое перечисление

Мы можем систематически перечислить все возможные отрезки. Чтобы избежать повторного подсчета (например, отрезок AB и отрезок BA — это один и тот же отрезок), будем соединять каждую точку с теми, которые еще не были использованы в качестве начальной точки.

- Из точки A можно провести 3 отрезка, соединив ее с остальными точками: AB, AC, AD.

- Из точки B можно провести 2 новых отрезка: BC, BD. (Отрезок BA уже учтен как AB).

- Из точки C можно провести 1 новый отрезок: CD. (Отрезки CA и CB уже учтены).

- Для точки D все возможные отрезки (DA, DB, DC) уже были посчитаны.

Теперь сложим количество отрезков, полученных на каждом шаге: $3 + 2 + 1 = 6$.

Способ 2: Использование комбинаторной формулы

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2, поскольку нам нужно выбрать 2 точки из 4 для построения отрезка, и порядок выбора точек не имеет значения. Формула для вычисления числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов (в нашем случае точек, $n=4$), а $k$ — количество элементов в каждой выборке (для отрезка нужно $k=2$ точки).

Подставим наши значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 6