Номер 911, страница 187 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Комбинаторные задачи. Глава 3. Дроби - номер 911, страница 187.

Условие.

911. Сколько существует различных прямоугольников, периметры которых равны 24 см, а длины сторон, выраженные в сантиметрах, являются натуральными числами?

Решение.

Решение 2.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, то есть целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.

Согласно условию задачи, периметр равен 24 см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сумму длин сторон:
$24 = 2(a + b)$
$a + b = \frac{24}{2}$
$a + b = 12$

Теперь нам нужно найти все различные пары натуральных чисел ($a$, $b$), сумма которых равна 12. Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ не отличается от прямоугольника со сторонами $b$ и $a$, поэтому, чтобы избежать повторений, мы будем искать пары, в которых $a \le b$.

Перечислим все возможные комбинации длин сторон:
1. Если $a = 1$ см, то $b = 12 - 1 = 11$ см.
2. Если $a = 2$ см, то $b = 12 - 2 = 10$ см.
3. Если $a = 3$ см, то $b = 12 - 3 = 9$ см.
4. Если $a = 4$ см, то $b = 12 - 4 = 8$ см.
5. Если $a = 5$ см, то $b = 12 - 5 = 7$ см.
6. Если $a = 6$ см, то $b = 12 - 6 = 6$ см. (Это квадрат, который является частным случаем прямоугольника).

Если мы продолжим и возьмем $a = 7$, то $b$ станет равно 5. Пара (7, 5) описывает тот же прямоугольник, что и пара (5, 7), которую мы уже учли. Таким образом, мы нашли все уникальные варианты.

Всего существует 6 таких прямоугольников.

Ответ: 6