Номер 912, страница 187 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Комбинаторные задачи. Глава 3. Дроби - номер 912, страница 187.

Условие.

912. У Ани есть 30 одинаковых кубиков. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов она может из них составить, если для построения одного параллелепипеда надо использовать все имеющиеся 30 кубиков?

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, для построения одного прямоугольного параллелепипеда необходимо использовать все 30 кубиков. Это означает, что объем каждого такого параллелепипеда равен 30 кубическим единицам (если принять ребро одного кубика за единицу длины).

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \times b \times c$, где $a$, $b$ и $c$ — его измерения (длина, ширина и высота). В нашем случае $a$, $b$ и $c$ должны быть целыми положительными числами, так как параллелепипед составляется из целых кубиков. Таким образом, задача сводится к нахождению количества различных наборов из трех натуральных чисел, произведение которых равно 30.

Поскольку форма параллелепипеда не зависит от его ориентации в пространстве, порядок измерений не имеет значения. Например, параллелепипед с размерами $2 \times 3 \times 5$ — это тот же самый параллелепипед, что и с размерами $3 \times 5 \times 2$. Следовательно, нам нужно найти количество неупорядоченных троек натуральных чисел $\{a, b, c\}$, для которых выполняется равенство $a \times b \times c = 30$.

Чтобы найти все такие тройки и не упустить ни одной, будем перечислять их в упорядоченном виде, приняв, что $a \le b \le c$.

1. Пусть наименьшее измерение $a = 1$. Тогда произведение двух других должно быть равно 30: $b \times c = 30$. Найдем все пары натуральных чисел $b$ и $c$, удовлетворяющие этому условию, а также требованию $1 \le b \le c$:

• Если $b = 1$, то $c = 30$. Получаем размеры (1, 1, 30).
• Если $b = 2$, то $c = 15$. Получаем размеры (1, 2, 15).
• Если $b = 3$, то $c = 10$. Получаем размеры (1, 3, 10).
• Если $b = 5$, то $c = 6$. Получаем размеры (1, 5, 6).

2. Пусть наименьшее измерение $a = 2$. Тогда $b \times c = 15$. Найдем пары для $b$ и $c$ при условии $2 \le b \le c$:

• Если $b = 3$, то $c = 5$. Условие $2 \le 3 \le 5$ выполняется. Получаем размеры (2, 3, 5).

3. Пусть наименьшее измерение $a = 3$. Тогда $b \times c = 10$. Ищем пары при условии $3 \le b \le c$. Множители числа 10 — это 1, 2, 5, 10. Ни один из них (кроме тех, что больше c) не удовлетворяет условию $b \ge 3$ так, чтобы $b \le \sqrt{10}$. Поэтому новых комбинаций здесь нет.

Проверять $a \ge 4$ нет смысла, так как если бы наименьшее измерение было 4 или больше, то объем был бы не меньше $4 \times 4 \times 4 = 64$, что больше 30.

Таким образом, мы нашли все возможные уникальные наборы размеров для параллелепипеда:

• 1 × 1 × 30
• 1 × 2 × 15
• 1 × 3 × 10
• 1 × 5 × 6
• 2 × 3 × 5

Всего получилось 5 различных наборов, что соответствует 5 различным формам прямоугольных параллелепипедов.

Ответ: 5