Номер 904, страница 187 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Комбинаторные задачи. Глава 3. Дроби - номер 904, страница 187.

Условие.

904. Сколько двузначных чисел можно записать с помощью цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке возрастания?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи нужно найти все двузначные числа, которые можно составить из цифр 6, 7, 8, 9, при условии, что цифры в числе расположены в порядке возрастания. Это означает, что первая цифра (разряд десятков) должна быть строго меньше второй цифры (разряд единиц).

Рассмотрим все возможные пары цифр из данного набора {6, 7, 8, 9}.

Способ 1: Прямой перебор

Мы можем систематически перебрать все возможные комбинации, начиная с наименьшей возможной первой цифры.

• Если первая цифра 6, то вторая цифра должна быть больше 6. Из нашего набора подходят 7, 8 и 9. Получаем числа: 67, 68, 69 (3 числа).
• Если первая цифра 7, то вторая цифра должна быть больше 7. Подходят 8 и 9. Получаем числа: 78, 79 (2 числа).
• Если первая цифра 8, то вторая цифра должна быть больше 8. Подходит только 9. Получаем число: 89 (1 число).
• Если первая цифра 9, то в наборе нет цифры больше 9, поэтому таких чисел составить нельзя.

Сложим количество найденных чисел: $3 + 2 + 1 = 6$.

Способ 2: Использование комбинаторики

Задача сводится к выбору двух различных цифр из четырех данных {6, 7, 8, 9}. Как только мы выберем любую пару цифр, существует только один способ расположить их в порядке возрастания. Например, выбрав цифры 8 и 6, мы можем составить только одно число, удовлетворяющее условию, — 68.

Следовательно, нам нужно найти количество сочетаний из 4 элементов по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (количество доступных цифр) и $k=2$ (количество цифр в числе).

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 6