Страница 189 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

921. На клетчатой бумаге, длина стороны клетки которой равна $5$ мм, изображён план дачного участка семьи Васильевых (рис. 161). План выполнен в масштабе $1:400$. Участок имеет прямоугольную форму. Справа от входа расположен гараж, отмеченный на плане цифрой 2. Гараж имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объём гаража равен $72 \text{ м}^3$. Из строений на участке находится ещё жилой дом и сарай. Слева от входа разбиты грядки, перед домом — круглая цветочная клумба, а за домом — фруктовый сад. В саду растут яблони и груши, причём грушевых деревьев в $4$ раза меньше, чем яблонь.

Рис. 161

1) Заполните таблицу, указав для каждого объекта номер, каким он обозначен на плане.

Объект Жилой дом Грядки Сад Сарай

Номер 1 — 3 5

2) Сколько квадратных метров составляет площадь дома?

3) Сколько соток составляет площадь грядок?

4) Во сколько раз площадь сада больше площади грядок? Ответ округлите до десятых.

5) Сколько квадратных метров составляет площадь клумбы? Ответ округлите до десятых.

6) Найдите высоту гаража.

7) Какому из приведённых чисел может быть равно количество деревьев сада:
а) 11; б) 8; в) 10; г) 9?

8) Сколько процентов всех деревьев сада составляют яблони?

1) Заполните таблицу, указав для каждого объекта номер, каким он обозначен на плане.
Для определения номеров объектов сопоставим описание в условии задачи с планом (рис. 161):
- Гараж отмечен цифрой 2.
- Слева от входа расположены грядки, значит, грядки — это объект 3.
- Перед домом — круглая клумба (4), значит, за ней находится жилой дом — объект 1.
- За домом — фруктовый сад, это объект 5.
- Сарай расположен вдоль забора между грядками (3) и садом (5). На плане это вытянутое прямоугольное строение без номера.
Заполняем таблицу на основе этих данных.

Ответ: Жилой дом - 1, Грядки - 3, Сад - 5, Сарай - не обозначен номером.

2) Сколько квадратных метров составляет площадь дома?
Сначала определим реальный размер одной клетки. Сторона клетки на плане 5 мм. Масштаб 1:400.
Реальная длина стороны одной клетки: $5 \text{ мм} \times 400 = 2000 \text{ мм} = 2 \text{ м}$.
Площадь одной клетки в реальности: $2 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 4 \text{ м}^2$.
Жилой дом (объект 1) занимает на плане прямоугольник размером 5 на 4 клетки.
Количество клеток, занимаемых домом: $5 \times 4 = 20$ клеток.
Площадь дома: $20 \text{ клеток} \times 4 \text{ м}^2/\text{клетку} = 80 \text{ м}^2$.
Ответ: 80.

3) Сколько соток составляет площадь грядок?
Грядки (объект 3) занимают на плане прямоугольник размером 6 на 2 клетки.
Количество клеток, занимаемых грядками: $6 \times 2 = 12$ клеток.
Площадь грядок в квадратных метрах: $12 \text{ клеток} \times 4 \text{ м}^2/\text{клетку} = 48 \text{ м}^2$.
Одна сотка равна 100 м². Переведем площадь грядок в сотки: $48 \text{ м}^2 / 100 \text{ м}^2/\text{сотку} = 0.48$ соток.
Ответ: 0.48.

4) Во сколько раз площадь сада больше площади грядок? Ответ округлите до десятых.
Сад (объект 5) занимает на плане прямоугольник размером 7 на 4 клетки.
Количество клеток, занимаемых садом: $7 \times 4 = 28$ клеток.
Площадь сада: $28 \text{ клеток} \times 4 \text{ м}^2/\text{клетку} = 112 \text{ м}^2$.
Площадь грядок (из п. 3) равна $48 \text{ м}^2$.
Найдем отношение площади сада к площади грядок: $\frac{112}{48} = \frac{7}{3} \approx 2.333...$
Округляем до десятых: 2.3.
Ответ: 2.3.

5) Сколько квадратных метров составляет площадь клумбы? Ответ округлите до десятых.
Клумба (объект 4) имеет форму круга, вписанного в квадрат 2x2 клетки.
Диаметр круга равен стороне этого квадрата, то есть 2 клеткам.
Реальный диаметр клумбы: $2 \text{ клетки} \times 2 \text{ м/клетку} = 4 \text{ м}$.
Радиус клумбы: $r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ м}$.
Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.
$S = \pi \times (2)^2 = 4\pi \text{ м}^2$.
Принимая $\pi \approx 3.14159$, получаем: $S \approx 4 \times 3.14159 \approx 12.566 \text{ м}^2$.
Округляем до десятых: 12.6 м².
Ответ: 12.6.

6) Найдите высоту гаража.
Гараж (объект 2) имеет форму прямоугольного параллелепипеда объемом $V = 72 \text{ м}^3$.
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \times h$.
Основание гаража на плане — прямоугольник 3 на 2 клетки.
Площадь основания гаража: $(3 \times 2) \text{ клеток} \times 4 \text{ м}^2/\text{клетку} = 6 \times 4 = 24 \text{ м}^2$.
Высота гаража: $h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{72 \text{ м}^3}{24 \text{ м}^2} = 3 \text{ м}$.
Ответ: 3.

7) Какому из приведённых чисел может быть равно количество деревьев в саду: а) 11; б) 8; в) 10; г) 9?
Пусть Я — количество яблонь, а Г — количество груш в саду.
По условию, грушевых деревьев в 4 раза меньше, чем яблонь, то есть $\text{Я} = 4 \times \text{Г}$.
Общее количество деревьев $N = \text{Я} + \text{Г}$.
Подставим выражение для Я: $N = 4\text{Г} + \text{Г} = 5\text{Г}$.
Это означает, что общее количество деревьев должно быть кратно 5.
Из предложенных вариантов (11, 8, 10, 9) только число 10 делится на 5 без остатка.
Ответ: в) 10.

8) Сколько процентов всех деревьев сада составляют яблони?
Доля яблонь от общего числа деревьев составляет: $\frac{\text{Количество яблонь}}{\text{Общее количество деревьев}} = \frac{\text{Я}}{\text{Н}} = \frac{4\text{Г}}{5\text{Г}} = \frac{4}{5}$.
Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим ее на 100%: $\frac{4}{5} \times 100\% = 0.8 \times 100\% = 80\%$.
Ответ: 80.

922. В классе 30 учащихся. Они сидят по двое за 15 партами так, что половина всех девочек сидит с мальчиками. Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками?

Пусть $Д$ — общее количество девочек в классе, а $М$ — общее количество мальчиков. Всего в классе 30 учащихся, следовательно, $Д + М = 30$.

Рассмотрим начальную рассадку. По условию, половина всех девочек сидит с мальчиками. Это означает, что:

1. Общее количество девочек $Д$ должно быть четным числом.
2. Количество девочек, сидящих с мальчиками, равно $Д/2$. Они сидят за $Д/2$ партами, за каждой из которых сидит один мальчик и одна девочка.
3. Оставшаяся половина девочек, то есть $Д/2$, сидит друг с другом. Поскольку ученики сидят по двое за партой, эти $Д/2$ девочек должны образовывать пары. Это возможно только в том случае, если число $Д/2$ также является четным.

Из того, что $Д/2$ — четное число, следует, что общее количество девочек $Д$ должно быть кратно 4.

Тогда количество мальчиков в классе можно выразить как $М = 30 - Д$. Так как $Д$ кратно 4, то $Д = 4k$ для некоторого целого числа $k$. Следовательно, $М = 30 - 4k$.

Теперь рассмотрим вопрос задачи: можно ли учеников пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками? Для того чтобы такая рассадка была возможна, должны выполняться следующие условия:

1. Общее количество мальчиков $М$ должно быть четным. Это условие выполняется, так как $М = 30 - 4k$ — это разность двух четных чисел.
2. Количество мальчиков, которые должны сидеть с девочками, составляет $М/2$.
3. Оставшиеся мальчики, количество которых также равно $М - М/2 = М/2$, должны сидеть друг с другом. Чтобы их можно было рассадить по парам, их количество $М/2$ должно быть четным.

Из того, что $М/2$ — четное число, следует, что общее количество мальчиков $М$ должно быть кратно 4.

Теперь сопоставим выводы. Из анализа начальной рассадки мы знаем, что $М = 30 - 4k$. Из анализа требуемой рассадки мы знаем, что $М$ должно быть кратно 4. Проверим, возможно ли это.

Число $4k$ всегда делится на 4. Число 30 при делении на 4 дает в остатке 2 ($30 = 4 \times 7 + 2$). Следовательно, число $М = 30 - 4k$ при делении на 4 всегда будет давать в остатке 2. Это означает, что количество мальчиков в классе не может быть кратно 4.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Условие, необходимое для желаемой рассадки (количество мальчиков кратно 4), несовместимо с условиями, которые следуют из начальной рассадки. Следовательно, пересадить учеников требуемым образом невозможно.

Ответ: нет, нельзя.