Номер 922, страница 189 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Комбинаторные задачи. Глава 3. Дроби - номер 922, страница 189.

Условие.

922. В классе 30 учащихся. Они сидят по двое за 15 партами так, что половина всех девочек сидит с мальчиками. Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками?

Решение.

Решение 2.

Пусть $Д$ — общее количество девочек в классе, а $М$ — общее количество мальчиков. Всего в классе 30 учащихся, следовательно, $Д + М = 30$.

Рассмотрим начальную рассадку. По условию, половина всех девочек сидит с мальчиками. Это означает, что:

1. Общее количество девочек $Д$ должно быть четным числом.
2. Количество девочек, сидящих с мальчиками, равно $Д/2$. Они сидят за $Д/2$ партами, за каждой из которых сидит один мальчик и одна девочка.
3. Оставшаяся половина девочек, то есть $Д/2$, сидит друг с другом. Поскольку ученики сидят по двое за партой, эти $Д/2$ девочек должны образовывать пары. Это возможно только в том случае, если число $Д/2$ также является четным.

Из того, что $Д/2$ — четное число, следует, что общее количество девочек $Д$ должно быть кратно 4.

Тогда количество мальчиков в классе можно выразить как $М = 30 - Д$. Так как $Д$ кратно 4, то $Д = 4k$ для некоторого целого числа $k$. Следовательно, $М = 30 - 4k$.

Теперь рассмотрим вопрос задачи: можно ли учеников пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками? Для того чтобы такая рассадка была возможна, должны выполняться следующие условия:

1. Общее количество мальчиков $М$ должно быть четным. Это условие выполняется, так как $М = 30 - 4k$ — это разность двух четных чисел.
2. Количество мальчиков, которые должны сидеть с девочками, составляет $М/2$.
3. Оставшиеся мальчики, количество которых также равно $М - М/2 = М/2$, должны сидеть друг с другом. Чтобы их можно было рассадить по парам, их количество $М/2$ должно быть четным.

Из того, что $М/2$ — четное число, следует, что общее количество мальчиков $М$ должно быть кратно 4.

Теперь сопоставим выводы. Из анализа начальной рассадки мы знаем, что $М = 30 - 4k$. Из анализа требуемой рассадки мы знаем, что $М$ должно быть кратно 4. Проверим, возможно ли это.

Число $4k$ всегда делится на 4. Число 30 при делении на 4 дает в остатке 2 ($30 = 4 \times 7 + 2$). Следовательно, число $М = 30 - 4k$ при делении на 4 всегда будет давать в остатке 2. Это означает, что количество мальчиков в классе не может быть кратно 4.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Условие, необходимое для желаемой рассадки (количество мальчиков кратно 4), несовместимо с условиями, которые следуют из начальной рассадки. Следовательно, пересадить учеников требуемым образом невозможно.

Ответ: нет, нельзя.