Страница 193 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. С помощью какого символа обозначают отрицательные числа? положительные числа?

отрицательные числа

Для обозначения отрицательных чисел, то есть чисел, которые меньше нуля, используется математический символ «минус». Этот знак ставится непосредственно перед числовым значением. Например, если мы хотим записать число «минус десять», мы используем запись $-10$. Знак «минус» является неотъемлемой частью записи отрицательного числа и указывает его положение на числовой прямой слева от нуля.

Ответ: отрицательные числа обозначают с помощью символа «минус» ($-$).

положительные числа

Положительные числа — это числа, которые больше нуля. Для их обозначения перед числом может ставиться символ «плюс» ($+$). Например, запись $+5$ означает «положительное число пять». Однако, в математической практике знак «плюс» перед положительными числами обычно опускается. Если перед числом (кроме нуля) не стоит никакого знака, оно по умолчанию считается положительным. Таким образом, записи $5$ и $+5$ являются эквивалентными.

Ответ: положительные числа обозначают с помощью символа «плюс» ($+$), но чаще всего знак перед ними опускают.

2. Какое число не относят ни к положительным, ни к отрицательным числам?

Число, которое не относят ни к положительным, ни к отрицательным числам, — это ноль ($0$).

Это следует из строгих определений положительных и отрицательных чисел:
• Положительными считаются все числа, которые строго больше нуля. Математически это выражается неравенством $x > 0$.
• Отрицательными считаются все числа, которые строго меньше нуля. Математически это выражается неравенством $y < 0$.

Число $0$ не удовлетворяет ни одному из этих условий. Ноль не может быть больше или меньше самого себя. Он служит точкой отсчета (или началом координат) на числовой прямой, разделяющей положительные и отрицательные числа.

Поэтому множество всех действительных чисел состоит из трёх непересекающихся подмножеств: множества положительных чисел, множества отрицательных чисел и множества, содержащего только ноль.

Ответ: 0 (ноль).

3. О каких двух числах говорят, что они имеют разные знаки? одинаковые знаки?

О каких двух числах говорят, что они имеют разные знаки?

Два числа имеют разные знаки, если одно из них положительное, а другое — отрицательное.

Положительным называется число, которое больше нуля ($a > 0$). При записи перед таким числом может стоять знак «+», но чаще всего он опускается. Например, $+15$ и $15$ — это одно и то же положительное число.

Отрицательным называется число, которое меньше нуля ($b < 0$). При записи перед таким числом всегда ставится знак «–». Например, $-10$.

Следовательно, два ненулевых числа имеют разные знаки, если одно из них находится на координатной прямой справа от нуля, а другое — слева. Математически это можно записать так: если есть два числа $a$ и $b$, то они имеют разные знаки, если $a \cdot b < 0$.

Примеры пар чисел с разными знаками: $25$ и $-7$; $-1.5$ и $3.14$; $1/2$ и $-5/3$.

Ответ: О двух числах говорят, что они имеют разные знаки, если одно из них положительное (больше нуля), а другое — отрицательное (меньше нуля).

О каких двух числах говорят, что они имеют одинаковые знаки?

Два числа имеют одинаковые знаки, если они оба положительные или оба отрицательные.

Можно выделить два случая:

1. Оба числа положительные. Это означает, что оба числа больше нуля ($a > 0$ и $b > 0$). На координатной прямой они оба находятся справа от нуля.
   Примеры: $8$ и $120$; $0.5$ и $9.8$.
2. Оба числа отрицательные. Это означает, что оба числа меньше нуля ($a < 0$ и $b < 0$). На координатной прямой они оба находятся слева от нуля.
   Примеры: $-4$ и $-16$; $-2/3$ и $-0.1$.

Математически условие того, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки, можно записать так: $a \cdot b > 0$.

Следует помнить, что число $0$ является особым случаем — оно не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.

Ответ: О двух числах говорят, что они имеют одинаковые знаки, если они оба положительные или оба отрицательные.

1. Андрей простудился, и вечером его температура с $36.6 \text{ °C}$ повысилась на $2.3 \text{ °C}$. Но утром ему стало легче, и температура снизилась на $1.8 \text{ °C}$. Какой была температура у Андрея:

1) вечером;

2) утром?

1) вечером
Чтобы найти температуру Андрея вечером, нужно к его нормальной температуре прибавить величину, на которую она повысилась. Изначальная температура была $36,6$ °C, а повышение составило $2,3$ °C.
$36,6 + 2,3 = 38,9$ (°C)
Ответ: вечером температура у Андрея была $38,9$ °C.

2) утром
Чтобы найти утреннюю температуру, нужно от температуры, которая была вечером, отнять величину, на которую она снизилась. Вечерняя температура была $38,9$ °C, а снижение составило $1,8$ °C.
$38,9 - 1,8 = 37,1$ (°C)
Ответ: утром температура у Андрея была $37,1$ °C.

2. Решите уравнение:

1) $ \frac{1}{3}x = 5; $
2) $ 3x = 5; $
3) $ 3x = \frac{1}{5}; $
4) $ \frac{1}{3}x = \frac{1}{5}. $

1) Дано уравнение $\frac{1}{3}x = 5$.

Чтобы найти неизвестную переменную $x$, необходимо умножить обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $x$. Коэффициент равен $\frac{1}{3}$, обратное ему число — 3.

$(\frac{1}{3}x) \cdot 3 = 5 \cdot 3$

$x = 15$

Проверка: $\frac{1}{3} \cdot 15 = \frac{15}{3} = 5$. Верно.

Ответ: $15$.

2) Дано уравнение $3x = 5$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3.

$\frac{3x}{3} = \frac{5}{3}$

$x = \frac{5}{3}$

Ответ можно также представить в виде смешанной дроби $1\frac{2}{3}$.

Проверка: $3 \cdot \frac{5}{3} = 5$. Верно.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

3) Дано уравнение $3x = \frac{1}{5}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3. Деление на 3 эквивалентно умножению на $\frac{1}{3}$.

$\frac{3x}{3} = \frac{1}{5} \div 3$

$x = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{15}$

Проверка: $3 \cdot \frac{1}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. Верно.

Ответ: $\frac{1}{15}$.

4) Дано уравнение $\frac{1}{3}x = \frac{1}{5}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на 3.

$(\frac{1}{3}x) \cdot 3 = \frac{1}{5} \cdot 3$

$x = \frac{3}{5}$

Проверка: $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. Верно.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

3. Купили 20 кг овощей – картофель и морковь. Картофеля купили 17 кг. Сколько процентов массы овощей составляет:

1) картофель;

2) морковь?

Для решения задачи сначала определим общую массу овощей, которая принята за 100%.

Общая масса овощей = 20 кг.

1) картофель

Масса картофеля составляет 17 кг. Чтобы найти, какой процент от общей массы составляет картофель, необходимо массу картофеля разделить на общую массу всех овощей и умножить результат на 100%.

Процент картофеля = $ \frac{масса \ картофеля}{общая \ масса \ овощей} \times 100\% $

$ \frac{17 \ кг}{20 \ кг} \times 100\% = 0,85 \times 100\% = 85\% $

Ответ: 85%

2) морковь

Сначала найдем массу моркови. Для этого нужно из общей массы овощей вычесть массу картофеля.

Масса моркови = $ 20 \ кг - 17 \ кг = 3 \ кг $

Теперь найдем, какой процент от общей массы составляет морковь, используя тот же подход, что и для картофеля.

Процент моркови = $ \frac{масса \ моркови}{общая \ масса \ овощей} \times 100\% $

$ \frac{3 \ кг}{20 \ кг} \times 100\% = 0,15 \times 100\% = 15\% $

Также этот результат можно было получить, вычтя процент картофеля из 100%, так как других овощей не было:

$ 100\% - 85\% = 15\% $

Ответ: 15%