Страница 235 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1135. Первое число составляет 80 % второго. Сколько процентов первого числа составляет второе число?

Пусть первое число будет $A$, а второе число — $B$.

По условию, первое число составляет 80% второго. Чтобы записать это в виде уравнения, переведем проценты в десятичную дробь: $80\% = \frac{80}{100} = 0,8$.
Таким образом, мы имеем следующее соотношение:
$A = 0,8 \cdot B$

Нам нужно найти, сколько процентов от первого числа ($A$) составляет второе число ($B$). Для этого необходимо найти отношение $\frac{B}{A}$ и умножить его на $100\%$.

Выразим $B$ через $A$ из уравнения $A = 0,8 \cdot B$. Для этого разделим обе части уравнения на $0,8$:
$B = \frac{A}{0,8}$
$B = \frac{1}{0,8} \cdot A$

Вычислим значение коэффициента $\frac{1}{0,8}$:
$\frac{1}{0,8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$

Теперь мы можем записать:
$B = 1,25 \cdot A$

Это равенство показывает, что второе число $B$ составляет 1,25 от первого числа $A$. Чтобы выразить это отношение в процентах, нужно умножить десятичную дробь на 100%:
$1,25 \cdot 100\% = 125\%$

Следовательно, второе число составляет 125% от первого числа.

Ответ: 125%.

1136. Останкинская телебашня в Москве является самой высокой в Европе отдельно стоящей конструкцией. Высота Эйфелевой башни (г. Париж, Франция) вместе с антенной равна 330 м, что составляет $\frac{11}{18}$ высоты Останкинской телебашни. Останкинская телебашня состоит из железобетонной основы и металлической части, которая короче железобетонной основы на 230 м. Какова высота железобетонной основы?

Для решения задачи сначала найдем общую высоту Останкинской телебашни. Из условия известно, что высота Эйфелевой башни, равная 330 м, составляет $\frac{11}{18}$ от высоты Останкинской телебашни. Чтобы найти полную высоту, зная ее часть, нужно значение этой части (330 м) разделить на дробь ($\frac{11}{18}$), которую эта часть составляет.
Высота Останкинской телебашни = $330 \div \frac{11}{18} = 330 \times \frac{18}{11} = 30 \times 18 = 540$ м.
Следовательно, общая высота Останкинской телебашни — 540 м.

Теперь, зная общую высоту, найдем высоту железобетонной основы. Общая высота башни складывается из высоты железобетонной основы и высоты металлической части. Пусть $x$ м — высота железобетонной основы. По условию, металлическая часть короче железобетонной основы на 230 м, значит, ее высота равна $(x - 230)$ м. Сумма высот этих двух частей равна общей высоте башни. Составим и решим уравнение:
$x + (x - 230) = 540$
$2x - 230 = 540$
$2x = 540 + 230$
$2x = 770$
$x = \frac{770}{2}$
$x = 385$
Таким образом, высота железобетонной основы составляет 385 м.

Ответ: 385 м.

1137. Делая ремонт в школе, первая бригада из 4 маляров работала 5 дней, а затем её сменила вторая бригада из 6 маляров, проработавшая 3 дня и завершившая ремонт. За малярные работы было уплачено 95 000 р. Сколько денег было выплачено первой бригаде, если производительность труда у всех маляров одинакова?

Для решения этой задачи необходимо распределить общую оплату пропорционально объему выполненной работы каждой бригадой. Поскольку производительность труда всех маляров одинакова, объем работы можно измерить в "человеко-днях".

1. Сначала найдем, сколько всего "человеко-дней" отработала первая бригада. В ней было 4 маляра, и они работали 5 дней:

$4 \text{ маляра} \times 5 \text{ дней} = 20 \text{ человеко-дней}$

2. Затем найдем, сколько "человеко-дней" отработала вторая бригада. В ней было 6 маляров, и они работали 3 дня:

$6 \text{ маляров} \times 3 \text{ дня} = 18 \text{ человеко-дней}$

3. Теперь вычислим общее количество "человеко-дней", затраченных на весь ремонт, сложив показатели обеих бригад:

$20 + 18 = 38 \text{ человеко-дней}$

4. Общая сумма оплаты за 38 человеко-дней составила 95 000 рублей. Найдем стоимость одного человеко-дня:

$95000 \text{ р.} \div 38 = 2500 \text{ р.}$

5. Наконец, чтобы узнать, сколько денег было выплачено первой бригаде, умножим количество отработанных ею человеко-дней на стоимость одного человеко-дня:

$20 \text{ человеко-дней} \times 2500 \text{ р./человеко-день} = 50000 \text{ р.}$

Ответ: 50000 р.

1138. Дмитрий Григорьевич взял с собой в командировку три рубашки, один обычный галстук и один галстук-бабочку. Он всегда носит рубашку с галстуком. Сколько разных комплектов рубашки с галстуком может составить Дмитрий Григорьевич?

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Оно гласит, что если объект A можно выбрать $m$ способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать $n$ способами, то выбор пары (A, B) в указанном порядке можно осуществить $m \times n$ способами.

В данном случае у нас есть два типа объектов для выбора: рубашки и галстуки.

1. Определим количество вариантов выбора рубашки. По условию, у Дмитрия Григорьевича есть 3 рубашки.
Количество вариантов выбора рубашки: $N_р = 3$.

2. Определим общее количество вариантов выбора галстука. У него есть один обычный галстук и один галстук-бабочка. Следовательно, общее число галстуков:
$1 + 1 = 2$.
Количество вариантов выбора галстука: $N_г = 2$.

3. Теперь, чтобы найти общее количество различных комплектов "рубашка с галстуком", нужно перемножить количество вариантов выбора рубашки на количество вариантов выбора галстука.

Общее количество комплектов $K$ равно:
$K = N_р \times N_г = 3 \times 2 = 6$.

Таким образом, Дмитрий Григорьевич может составить 6 разных комплектов.

Ответ: 6.

1139. В 1942 г. тружениками советского тыла было произведено 24,4 тыс. танков и самоходных артиллерийских установок (САУ), а в 1944 г. – 29,0 тыс. танков и САУ. На сколько процентов возросло производство танков и САУ в 1944 г. по сравнению с 1942 г.? Ответ округлите до единиц.

Для того чтобы определить, на сколько процентов возросло производство танков и САУ в 1944 году по сравнению с 1942 годом, необходимо выполнить следующие действия.

1. Находим абсолютный прирост производства, то есть разницу между показателями 1944 и 1942 годов.

Прирост = $29,0$ тыс. - $24,4$ тыс. = $4,6$ тыс.

2. Теперь рассчитаем, какую долю этот прирост составляет от первоначального объема производства (в 1942 году), и выразим эту долю в процентах. За 100% принимается объем производства 1942 года.

Процентный рост = $\frac{\text{Абсолютный прирост}}{\text{Производство в 1942 г.}} \times 100\%$

Подставляем значения в формулу:

$\frac{4,6}{24,4} \times 100\% \approx 0,188524... \times 100\% \approx 18,8524...\%$

3. Согласно условию задачи, полученный ответ необходимо округлить до единиц (до целого числа). Первая цифра после запятой — 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону.

$18,8524...\% \approx 19\%$

Ответ: 19%.

1140. Докажите, что в любой компании из шести человек найдётся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом из теории графов. Представим шестерых человек как шесть вершин полного графа $K_6$. В полном графе каждая пара вершин соединена ребром, которое символизирует отношение между двумя людьми. Всего в таком графе $C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ рёбер.

Раскрасим рёбра этого графа в два цвета. Если два человека знакомы, соединяющее их ребро будет красным. Если они не знакомы, ребро будет синим. Поскольку любая пара людей либо знакома, либо не знакома, каждое ребро графа $K_6$ будет окрашено в один из двух цветов.

Задача в терминах теории графов формулируется так: доказать, что при любой двуцветной раскраске рёбер полного графа $K_6$ обязательно найдётся одноцветный (монохроматический) треугольник. "Красный" треугольник будет означать наличие трёх попарно знакомых людей, а "синий" треугольник — трёх попарно незнакомых.

Доказательство

Выберем произвольную вершину графа, назовём её $A$. Из этой вершины выходит 5 рёбер, соединяющих её с остальными пятью вершинами. Эти 5 рёбер окрашены либо в красный, либо в синий цвет.

По принципу Дирихле (принципу ящиков), из пяти рёбер как минимум три должны быть одного цвета. Допустим, без ограничения общности, что по крайней мере три ребра, исходящие из вершины $A$, красные. Пусть это рёбра, соединяющие $A$ с вершинами $B$, $C$ и $D$. Таким образом, рёбра $(A, B)$, $(A, C)$ и $(A, D)$ — красные. Это означает, что человек $A$ знаком с людьми $B$, $C$ и $D$.

Теперь рассмотрим отношения между людьми $B$, $C$ и $D$. Они образуют треугольник с рёбрами $(B, C)$, $(C, D)$ и $(D, B)$. Возможны два случая для цветов этих рёбер:

Случай 1. Среди рёбер $(B, C)$, $(C, D)$ и $(D, B)$ есть хотя бы одно красное ребро.
Пусть, например, ребро $(B, C)$ красное. Тогда, поскольку рёбра $(A, B)$ и $(A, C)$ тоже красные (по нашему предположению), вершины $A, B, C$ образуют красный треугольник. Это соответствует группе из трёх попарно знакомых людей. В этом случае утверждение доказано.

Случай 2. Среди рёбер $(B, C)$, $(C, D)$ и $(D, B)$ нет ни одного красного ребра.
Это означает, что все три ребра — $(B, C)$, $(C, D)$ и $(D, B)$ — синие. В этом случае вершины $B, C, D$ образуют синий треугольник. Это соответствует группе из трёх попарно незнакомых людей. Утверждение доказано и в этом случае.

Итак, в любой ситуации мы неизбежно находим либо красный, либо синий треугольник. Это доказывает, что в любой компании из шести человек всегда найдётся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. Рассуждения были бы аналогичными, если бы мы изначально предположили, что из вершины $A$ выходит не менее трёх синих рёбер.

Ответ: Утверждение доказано.