Страница 241 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1152. Выполните действия:

1) $4\frac{7}{12} \cdot \left(-1\frac{3}{11}\right) - \left(-1\frac{1}{15}\right) \cdot \left(-\frac{45}{64}\right)$;

2) $-\frac{81}{88} \cdot \left(-6 + \left(-1\frac{13}{15}\right) \cdot \left(-1\frac{19}{21}\right)\right)$;

3) $\left(-\frac{4}{5} + \frac{4}{7}\right) \cdot \left(5\frac{7}{9} - 7\frac{11}{12}\right)$;

4) $\left(-\frac{11}{18} + \left(-2\frac{2}{9}\right) \cdot (-0,2)\right) \cdot (-1,2).$

1) $4 \frac{7}{12} \cdot \left(-1 \frac{3}{11}\right) - \left(-1 \frac{1}{15}\right) \cdot \left(-\frac{45}{64}\right)$

Решим по действиям. Сначала выполняются умножения, затем вычитание.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним первое умножение:
$4 \frac{7}{12} = \frac{4 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{55}{12}$
$-1 \frac{3}{11} = -\frac{1 \cdot 11 + 3}{11} = -\frac{14}{11}$
$\frac{55}{12} \cdot \left(-\frac{14}{11}\right) = -\frac{55 \cdot 14}{12 \cdot 11} = -\frac{5 \cdot 11 \cdot 14}{12 \cdot 11} = -\frac{5 \cdot 14}{12} = -\frac{5 \cdot 7}{6} = -\frac{35}{6}$

2. Выполним второе умножение:
$-1 \frac{1}{15} = -\frac{1 \cdot 15 + 1}{15} = -\frac{16}{15}$
$\left(-\frac{16}{15}\right) \cdot \left(-\frac{45}{64}\right) = \frac{16 \cdot 45}{15 \cdot 64} = \frac{16 \cdot 3 \cdot 15}{15 \cdot 4 \cdot 16} = \frac{3}{4}$

3. Выполним вычитание:
$-\frac{35}{6} - \frac{3}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$-\frac{35 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{70}{12} - \frac{9}{12} = \frac{-70 - 9}{12} = -\frac{79}{12}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$-\frac{79}{12} = -6 \frac{7}{12}$

Ответ: $-6 \frac{7}{12}$

2) $-\frac{81}{88} \cdot \left(-6 + \left(-1 \frac{13}{15}\right) \cdot \left(-1 \frac{19}{21}\right)\right)$

Решим по действиям, начиная с выражения в скобках.

1. Выполним умножение в скобках, предварительно преобразовав смешанные числа в неправильные дроби:
$-1 \frac{13}{15} = -\frac{1 \cdot 15 + 13}{15} = -\frac{28}{15}$
$-1 \frac{19}{21} = -\frac{1 \cdot 21 + 19}{21} = -\frac{40}{21}$
$\left(-\frac{28}{15}\right) \cdot \left(-\frac{40}{21}\right) = \frac{28 \cdot 40}{15 \cdot 21} = \frac{(4 \cdot 7) \cdot (8 \cdot 5)}{(3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{4 \cdot 8}{3 \cdot 3} = \frac{32}{9}$

2. Выполним сложение в скобках:
$-6 + \frac{32}{9} = -\frac{54}{9} + \frac{32}{9} = \frac{-54 + 32}{9} = -\frac{22}{9}$

3. Выполним итоговое умножение:
$-\frac{81}{88} \cdot \left(-\frac{22}{9}\right) = \frac{81 \cdot 22}{88 \cdot 9} = \frac{(9 \cdot 9) \cdot 22}{(4 \cdot 22) \cdot 9} = \frac{9}{4}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$

Ответ: $2 \frac{1}{4}$

3) $\left(-\frac{4}{5} - \frac{4}{7}\right) \cdot \left(5 \frac{7}{9} - 7 \frac{11}{12}\right)$

Решим по действиям.

1. Вычислим значение в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю 35:
$-\frac{4}{5} - \frac{4}{7} = -\frac{4 \cdot 7}{35} - \frac{4 \cdot 5}{35} = -\frac{28}{35} - \frac{20}{35} = \frac{-28 - 20}{35} = -\frac{48}{35}$

2. Вычислим значение во второй скобке. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$5 \frac{7}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{52}{9}$
$7 \frac{11}{12} = \frac{7 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{84 + 11}{12} = \frac{95}{12}$
Приведем дроби к общему знаменателю 36:
$\frac{52}{9} - \frac{95}{12} = \frac{52 \cdot 4}{36} - \frac{95 \cdot 3}{36} = \frac{208 - 285}{36} = -\frac{77}{36}$

3. Выполним умножение результатов:
$\left(-\frac{48}{35}\right) \cdot \left(-\frac{77}{36}\right) = \frac{48 \cdot 77}{35 \cdot 36} = \frac{(4 \cdot 12) \cdot (7 \cdot 11)}{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 12)} = \frac{4 \cdot 11}{5 \cdot 3} = \frac{44}{15}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{44}{15} = 2 \frac{14}{15}$

Ответ: $2 \frac{14}{15}$

4) $\left(-\frac{11}{18} + \left(-2 \frac{2}{9}\right) \cdot (-0,2)\right)^3 \cdot (-1,2)$

Решим по действиям. Сначала преобразуем все десятичные и смешанные дроби в неправильные.
$-2 \frac{2}{9} = -\frac{20}{9}$
$-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$
$-1,2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}$
Пример примет вид: $\left(-\frac{11}{18} + \left(-\frac{20}{9}\right) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)\right)^3 \cdot \left(-\frac{6}{5}\right)$

1. Выполним умножение в скобках:
$\left(-\frac{20}{9}\right) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{20 \cdot 1}{9 \cdot 5} = \frac{4}{9}$

2. Выполним сложение в скобках:
$-\frac{11}{18} + \frac{4}{9} = -\frac{11}{18} + \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = -\frac{11}{18} + \frac{8}{18} = \frac{-11+8}{18} = -\frac{3}{18} = -\frac{1}{6}$

3. Возведем результат в куб:
$\left(-\frac{1}{6}\right)^3 = -\frac{1^3}{6^3} = -\frac{1}{216}$

4. Выполним последнее умножение:
$\left(-\frac{1}{216}\right) \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) = \frac{1 \cdot 6}{216 \cdot 5} = \frac{6}{1080} = \frac{1}{180}$

Ответ: $\frac{1}{180}$

1153. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) разность куба числа $-5$ и квадрата числа $-8$;

2) разность квадратов чисел $-1\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{6}$;

3) разность произведений чисел $-1,2$ и $-0,4$ и чисел $1,6$ и $0,6$;

4) произведение суммы чисел $2,8$ и $-3,4$ и суммы чисел $-1,6$ и $4,2$.

1) Запишем числовое выражение для разности куба числа –5 и квадрата числа –8. Куб числа –5 это $(-5)^3$. Квадрат числа –8 это $(-8)^2$. Разность между ними: $(-5)^3 - (-8)^2$. Вычислим значение каждой степени: $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$ $(-8)^2 = (-8) \cdot (-8) = 64$ Теперь найдем разность полученных значений: $-125 - 64 = -189$
Ответ: -189

2) Запишем числовое выражение для разности квадратов чисел $-1\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{6}$. Квадрат числа $-1\frac{1}{3}$ это $(-1\frac{1}{3})^2$. Квадрат числа $\frac{5}{6}$ это $(\frac{5}{6})^2$. Разность квадратов: $(-1\frac{1}{3})^2 - (\frac{5}{6})^2$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$. Теперь возведем дроби в квадрат: $(-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$ $(\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ Вычислим разность дробей, приведя их к общему знаменателю 36: $\frac{16}{9} - \frac{25}{36} = \frac{16 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{25}{36} = \frac{64}{36} - \frac{25}{36} = \frac{64-25}{36} = \frac{39}{36}$ Сократим полученную дробь на 3: $\frac{39 \div 3}{36 \div 3} = \frac{13}{12}$. Представим результат в виде смешанного числа: $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.
Ответ: $1\frac{1}{12}$

3) Запишем числовое выражение для разности произведений чисел –1,2 и –0,4 и чисел 1,6 и 0,6. Первое произведение: $-1,2 \cdot (-0,4)$. Второе произведение: $1,6 \cdot 0,6$. Разность произведений: $(-1,2 \cdot (-0,4)) - (1,6 \cdot 0,6)$. Вычислим значение каждого произведения: $-1,2 \cdot (-0,4) = 0,48$ $1,6 \cdot 0,6 = 0,96$ Теперь найдем их разность: $0,48 - 0,96 = -0,48$
Ответ: -0,48

4) Запишем числовое выражение для произведения суммы чисел 2,8 и –3,4 и суммы чисел –1,6 и 4,2. Первая сумма: $(2,8 + (-3,4))$. Вторая сумма: $(-1,6 + 4,2)$. Произведение этих сумм: $(2,8 + (-3,4)) \cdot (-1,6 + 4,2)$. Сначала вычислим значения в скобках: $2,8 + (-3,4) = 2,8 - 3,4 = -0,6$ $-1,6 + 4,2 = 2,6$ Теперь найдем произведение полученных сумм: $-0,6 \cdot 2,6 = -1,56$
Ответ: -1,56

1154. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) куб разности чисел 7 и 10; $(7-10)^3$

2) произведение суммы чисел 6 и -10 и их разности; $(6 + (-10)) \cdot (6 - (-10))$

3) сумма произведений чисел $-\frac{8}{9}$ и $-\frac{27}{32}$ и чисел $\frac{23}{28}$ и $-\frac{49}{46}$; $(-\frac{8}{9} \cdot (-\frac{27}{32})) + (\frac{23}{28} \cdot (-\frac{49}{46}))$

4) произведение разности чисел 4,5 и 6 и разности чисел 1,8 и -3,4. $(4.5 - 6) \cdot (1.8 - (-3.4))$

1) куб разности чисел 7 и 10;

Составим числовое выражение, соответствующее условию. Разность чисел 7 и 10 — это $7 - 10$. Куб этой разности — это $(7 - 10)^3$.

Найдем значение этого выражения:

$(7 - 10)^3 = (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.

Ответ: -27.

2) произведение суммы чисел 6 и -10 и их разности;

Сумма чисел 6 и -10 равна $6 + (-10)$. Их разность равна $6 - (-10)$. Произведение суммы и разности записывается как $(6 + (-10)) \cdot (6 - (-10))$.

Вычислим значение выражения по действиям:

1) Сумма: $6 + (-10) = 6 - 10 = -4$.

2) Разность: $6 - (-10) = 6 + 10 = 16$.

3) Произведение: $(-4) \cdot 16 = -64$.

Ответ: -64.

3) сумма произведений чисел $-\frac{8}{9}$ и $-\frac{27}{32}$ и чисел $\frac{23}{28}$ и $-\frac{49}{46}$;

Первое произведение: $-\frac{8}{9} \cdot (-\frac{27}{32})$. Второе произведение: $\frac{23}{28} \cdot (-\frac{49}{46})$. Сумма этих произведений: $(-\frac{8}{9} \cdot (-\frac{27}{32})) + (\frac{23}{28} \cdot (-\frac{49}{46}))$.

Найдем значение по действиям:

1) $-\frac{8}{9} \cdot (-\frac{27}{32}) = \frac{8 \cdot 27}{9 \cdot 32} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4}$.

2) $\frac{23}{28} \cdot (-\frac{49}{46}) = -\frac{23 \cdot 49}{28 \cdot 46} = -\frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 2} = -\frac{7}{8}$.

3) $\frac{3}{4} + (-\frac{7}{8}) = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{7}{8} = \frac{6}{8} - \frac{7}{8} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

4) произведение разности чисел 4,5 и 6 и разности чисел 1,8 и -3,4.

Разность чисел 4,5 и 6 равна $4,5 - 6$. Разность чисел 1,8 и -3,4 равна $1,8 - (-3,4)$. Их произведение: $(4,5 - 6) \cdot (1,8 - (-3,4))$.

Вычислим значение выражения по действиям:

1) $4,5 - 6 = -1,5$.

2) $1,8 - (-3,4) = 1,8 + 3,4 = 5,2$.

3) $-1,5 \cdot 5,2 = -7,8$.

Ответ: -7,8.

1155. Найдите значение выражения:

1) $18x^2$, если $x = -\frac{1}{9}$;

2) $(24x)^3$, если $x = -\frac{1}{6}$;

3) $(x+y)^4$, если $x = -0.9$, $y = 0.8$;

4) $4x - 3y$, если $x = -2\frac{1}{4}$, $y = -7\frac{1}{3}$.

1) Подставим значение $x = -\frac{1}{9}$ в выражение $18x^2$.
$18 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)^2 = 18 \cdot \frac{1}{81}$
Сократим полученную дробь на 9:
$\frac{18}{81} = \frac{18 \div 9}{81 \div 9} = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

2) Подставим значение $x = -\frac{1}{6}$ в выражение $(24x)^3$.
Сначала вычислим значение выражения в скобках:
$24 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{24}{6} = -4$
Теперь возведем полученный результат в третью степень:
$(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$
Ответ: -64

3) Подставим значения $x = -0,9$ и $y = 0,8$ в выражение $(x + y)^4$.
Сначала найдем сумму в скобках:
$x + y = -0,9 + 0,8 = -0,1$
Теперь возведем результат в четвертую степень:
$(-0,1)^4 = 0,0001$
Ответ: 0,0001

4) Подставим значения $x = -2\frac{1}{4}$ и $y = -7\frac{1}{3}$ в выражение $4x - 3y$.
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$x = -2\frac{1}{4} = -\frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{9}{4}$
$y = -7\frac{1}{3} = -\frac{7 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{22}{3}$
Теперь подставим полученные дроби в выражение:
$4 \cdot \left(-\frac{9}{4}\right) - 3 \cdot \left(-\frac{22}{3}\right) = -9 - (-22) = -9 + 22 = 13$
Ответ: 13

1156. Найдите значение выражения:

1) $23 - c^4$, если $c = -3$;

2) $x^2 - x^3$, если $x = -0,2$.

1) Чтобы найти значение выражения $23 - c^4$ при $c = -3$, необходимо подставить значение $c$ в выражение.

Подставляем $c = -3$:

$23 - (-3)^4$

Сначала выполняем возведение в степень. Так как показатель степени (4) четный, результат будет положительным:

$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$

Теперь выполняем вычитание:

$23 - 81 = -58$

Ответ: $-58$

2) Чтобы найти значение выражения $x^2 - x^3$ при $x = -0,2$, необходимо подставить значение $x$ в выражение.

Подставляем $x = -0,2$:

$(-0,2)^2 - (-0,2)^3$

Вычислим значения степеней по отдельности:

$(-0,2)^2 = (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04$

$(-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008$

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$0,04 - (-0,008)$

Вычитание отрицательного числа заменяется сложением:

$0,04 + 0,008 = 0,048$

Ответ: $0,048$

1157. Найдите значение выражения:

1) $2a - 5|b + 1|$, если $a = -2$, $b = -5$;

2) $3|6 - x| + 4y$, если $x = 8$, $y = -3$.

1) Чтобы найти значение выражения $2a - 5|b + 1|$, если $a = -2$ и $b = -5$, необходимо подставить данные значения переменных в выражение и выполнить вычисления, соблюдая порядок действий.

Подставим $a = -2$ и $b = -5$ в выражение:

$2 \cdot (-2) - 5|(-5) + 1|$

Сначала выполним действие в скобках модуля:

$-5 + 1 = -4$

Теперь выражение выглядит так:

$2 \cdot (-2) - 5|-4|$

Найдем модуль числа $-4$. Модуль (абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число, поэтому модуль всегда неотрицателен.

$|-4| = 4$

Подставим значение модуля в выражение и выполним умножения:

$2 \cdot (-2) - 5 \cdot 4 = -4 - 20$

Выполним вычитание:

$-4 - 20 = -24$

Ответ: -24

2) Чтобы найти значение выражения $3|6 - x| + 4y$, если $x = 8$ и $y = -3$, подставим значения переменных в выражение.

Подставим $x = 8$ и $y = -3$ в выражение:

$3|6 - 8| + 4 \cdot (-3)$

Выполним вычитание в скобках модуля:

$6 - 8 = -2$

Теперь выражение выглядит так:

$3|-2| + 4 \cdot (-3)$

Найдем модуль числа $-2$:

$|-2| = 2$

Подставим значение модуля в выражение и выполним умножения:

$3 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) = 6 - 12$

Выполним вычитание:

$6 - 12 = -6$

Ответ: -6

1158. Найдите значение выражения $5m - 2|3 - n|$, если $m=-4$, $n=-6$.

Чтобы найти значение выражения, подставим в него заданные значения переменных $m = -4$ и $n = -6$.

Исходное выражение: $5m - 2|3 - n|$.

Подставляем значения $m$ и $n$:

$5 \cdot (-4) - 2|3 - (-6)|$

Сначала выполним действие внутри модуля. Вычитание отрицательного числа равносильно сложению:

$3 - (-6) = 3 + 6 = 9$

Теперь выражение принимает вид:

$5 \cdot (-4) - 2|9|$

Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|9| = 9$. Подставим это значение:

$5 \cdot (-4) - 2 \cdot 9$

Теперь, согласно порядку действий, выполним умножение слева направо:

$5 \cdot (-4) = -20$

$2 \cdot 9 = 18$

Получаем выражение:

$-20 - 18$

Выполняем вычитание:

$-20 - 18 = -38$

Ответ: -38

1159. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $-6x > -36;$

2) $-7x \ge -70;$

3) $-5x \ge -18;$

4) $-0,8x > -6,4.$

1) Решим неравенство $-6x > -36$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на $-6$. Важно помнить, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (знак `>` меняется на `<`).
$x < \frac{-36}{-6}$
$x < 6$
Нам нужно найти все натуральные значения $x$, удовлетворяющие этому условию. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Натуральными числами, которые меньше 6, являются 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

2) Решим неравенство $-7x \ge -70$.
Разделим обе части на $-7$ и сменим знак неравенства с `≥` на `≤`.
$x \le \frac{-70}{-7}$
$x \le 10$
Натуральные значения $x$, которые меньше или равны 10, это числа от 1 до 10 включительно.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

3) Решим неравенство $-5x \ge -18$.
Разделим обе части на $-5$ и сменим знак неравенства.
$x \le \frac{-18}{-5}$
$x \le 3,6$
Натуральные значения $x$, которые меньше или равны 3,6, это 1, 2, 3.
Ответ: 1, 2, 3.

4) Решим неравенство $-0,8x > -6,4$.
Разделим обе части на $-0,8$ и сменим знак неравенства.
$x < \frac{-6,4}{-0,8}$
$x < 8$
Натуральные значения $x$, которые меньше 8, это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

1160. Найдите все целые отрицательные значения x, при которых верно неравенство:

1) $-5x < 20$;

2) $-9x \le 45$;

3) $-4x \le 35$;

4) $-0,3x < 1,2$.

1)

Дано неравенство $-5x < 20$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на $-5$. При делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае $lt$ на $gt$).

$x > \frac{20}{-5}$

$x > -4$

Теперь найдем все целые отрицательные значения $x$, которые удовлетворяют этому условию. Это целые числа, которые больше $-4$, но меньше нуля. Такими числами являются $-3, -2, -1$.

Ответ: $-3, -2, -1$.

2)

Дано неравенство $-9x \le 45$.

Разделим обе части неравенства на $-9$. При делении на отрицательное число знак неравенства $\le$ меняется на $\ge$.

$x \ge \frac{45}{-9}$

$x \ge -5$

Найдем все целые отрицательные значения $x$, которые больше или равны $-5$. Это целые числа от $-5$ до $-1$ включительно.

Ответ: $-5, -4, -3, -2, -1$.

3)

Дано неравенство $-4x \le 35$.

Разделим обе части на $-4$ и изменим знак неравенства $\le$ на $\ge$.

$x \ge \frac{35}{-4}$

$x \ge -8.75$

Найдем все целые отрицательные значения $x$, которые больше или равны $-8.75$. Первое целое число, которое больше $-8.75$, это $-8$. Таким образом, искомые числа — это целые числа от $-8$ до $-1$ включительно.

Ответ: $-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1$.

4)

Дано неравенство $-0.3x < 1.2$.

Разделим обе части на $-0.3$ и изменим знак неравенства $lt$ на $gt$.

$x > \frac{1.2}{-0.3}$

$x > -4$

Найдем все целые отрицательные значения $x$, которые больше $-4$. Это те же числа, что и в первом пункте.

Ответ: $-3, -2, -1$.

1161. Какое из выражений $-x^2$, $(-x)^2$, $x^3$ при любых значениях $x$ принимает такие значения:

1) положительные;

2) отрицательные;

3) неотрицательные;

4) неположительные?

Для того чтобы ответить на вопрос, проанализируем каждое из предложенных выражений: $-x^2$, $(-x)^2$, $x^3$ при любых действительных значениях переменной $x$.

• Выражение $-x^2$:Квадрат любого действительного числа $x$, то есть $x^2$, является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Выражение $-x^2$ представляет собой число, противоположное неотрицательному числу. Следовательно, $-x^2$ всегда будет меньше или равно нулю (неположительным) при любом значении $x$.Например, если $x=2$, то $-x^2 = -(2^2) = -4$. Если $x=-3$, то $-x^2 = -((-3)^2) = -9$. Если $x=0$, то $-x^2 = -(0^2) = 0$.Таким образом, $-x^2 \le 0$ для всех $x$.

• Выражение $(-x)^2$:Это квадрат числа $-x$. По свойству степени, $(-a)^2 = a^2$. Следовательно, $(-x)^2 = x^2$. Как было сказано ранее, квадрат любого действительного числа $x^2$ всегда больше или равен нулю (неотрицателен).Например, если $x=2$, то $(-x)^2 = (-2)^2 = 4$. Если $x=-3$, то $(-x)^2 = (-(-3))^2 = 3^2 = 9$. Если $x=0$, то $(-x)^2 = (-0)^2 = 0$.Таким образом, $(-x)^2 \ge 0$ для всех $x$.

• Выражение $x^3$:Это куб числа $x$. Знак этого выражения совпадает со знаком $x$.Если $x$ — положительное число ($x>0$), то $x^3$ также будет положительным. Например, $2^3 = 8$.Если $x$ — отрицательное число ($x<0$), то $x^3$ также будет отрицательным. Например, $(-2)^3 = -8$.Если $x=0$, то $x^3=0$.Таким образом, это выражение может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а также значение ноль.

Исходя из этого анализа, определим, какое из выражений соответствует каждому условию:

1) положительные
Положительные значения — это значения, которые строго больше нуля ($>0$). Ни одно из выражений не является строго положительным для любых значений $x$. Например, при $x=0$ все три выражения принимают значение 0, которое не является положительным. Выражение $x^3$ может быть отрицательным, а $-x^2$ не может быть положительным.
Ответ: ни одно из выражений.

2) отрицательные
Отрицательные значения — это значения, которые строго меньше нуля ($<0$). Ни одно из выражений не является строго отрицательным для любых значений $x$. Например, при $x=0$ выражение $-x^2$ равно 0, что не является отрицательным числом. Выражение $(-x)^2$ всегда неотрицательно, а $x^3$ может быть положительным.
Ответ: ни одно из выражений.

3) неотрицательные
Неотрицательные значения — это значения, которые больше или равны нулю ($ \ge 0 $). Этому условию соответствует выражение $(-x)^2$, так как $(-x)^2 = x^2$, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.
Ответ: $(-x)^2$.

4) неположительные
Неположительные значения — это значения, которые меньше или равны нулю ($ \le 0 $). Этому условию соответствует выражение $-x^2$, так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), а число, ему противоположное, $-x^2$, всегда будет неположительным ($-x^2 \le 0$).
Ответ: $-x^2$.

1162. Положительным или отрицательным является значение выражения:

1) $ab - 9c$, если $a$, $b$ и $c$ — отрицательные числа;

2) $10p - mn$, если $m$, $n$ и $p$ — отрицательные числа?

1) По условию задачи, числа $a$, $b$ и $c$ являются отрицательными. Запишем это в виде неравенств: $a < 0$, $b < 0$, $c < 0$.
Рассмотрим выражение $ab - 9c$.
1. Определим знак произведения $ab$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Следовательно, $ab > 0$.
2. Определим знак произведения $9c$. Число 9 — положительное, а число $c$ — отрицательное. Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. Следовательно, $9c < 0$.
3. Определим знак всего выражения $ab - 9c$. Мы вычитаем отрицательное число ($9c$) из положительного числа ($ab$). Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению противоположного ему положительного числа: $ab - 9c = ab + (-9c)$. Так как $9c < 0$, то $-9c > 0$.
Таким образом, выражение представляет собой сумму двух положительных чисел ($ab$ и $-9c$), результат которой всегда будет положительным.
Ответ: положительным.

2) По условию задачи, числа $m$, $n$ и $p$ являются отрицательными. Запишем это в виде неравенств: $m < 0$, $n < 0$, $p < 0$.
Рассмотрим выражение $10p - mn$.
1. Определим знак произведения $10p$. Число 10 — положительное, а число $p$ — отрицательное. Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. Следовательно, $10p < 0$.
2. Определим знак произведения $mn$. Произведение двух отрицательных чисел ($m$ и $n$) является положительным числом. Следовательно, $mn > 0$.
3. Определим знак всего выражения $10p - mn$. Мы вычитаем положительное число ($mn$) из отрицательного числа ($10p$). Если из отрицательного числа вычесть положительное, то результат всегда будет отрицательным (число станет еще меньше).
Например: пусть $p=-2$, $m=-3$, $n=-4$. Тогда $10p = 10 \cdot (-2) = -20$, а $mn = (-3) \cdot (-4) = 12$. Выражение будет равно $-20 - 12 = -32$, что является отрицательным числом.
Следовательно, значение выражения всегда будет отрицательным.
Ответ: отрицательным.