Номер 1161, страница 241 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 33. Умножение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1161, страница 241.

Условие.

1161. Какое из выражений $-x^2$, $(-x)^2$, $x^3$ при любых значениях $x$ принимает такие значения:

1) положительные;

2) отрицательные;

3) неотрицательные;

4) неположительные?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы ответить на вопрос, проанализируем каждое из предложенных выражений: $-x^2$, $(-x)^2$, $x^3$ при любых действительных значениях переменной $x$.

• Выражение $-x^2$:Квадрат любого действительного числа $x$, то есть $x^2$, является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Выражение $-x^2$ представляет собой число, противоположное неотрицательному числу. Следовательно, $-x^2$ всегда будет меньше или равно нулю (неположительным) при любом значении $x$.Например, если $x=2$, то $-x^2 = -(2^2) = -4$. Если $x=-3$, то $-x^2 = -((-3)^2) = -9$. Если $x=0$, то $-x^2 = -(0^2) = 0$.Таким образом, $-x^2 \le 0$ для всех $x$.

• Выражение $(-x)^2$:Это квадрат числа $-x$. По свойству степени, $(-a)^2 = a^2$. Следовательно, $(-x)^2 = x^2$. Как было сказано ранее, квадрат любого действительного числа $x^2$ всегда больше или равен нулю (неотрицателен).Например, если $x=2$, то $(-x)^2 = (-2)^2 = 4$. Если $x=-3$, то $(-x)^2 = (-(-3))^2 = 3^2 = 9$. Если $x=0$, то $(-x)^2 = (-0)^2 = 0$.Таким образом, $(-x)^2 \ge 0$ для всех $x$.

• Выражение $x^3$:Это куб числа $x$. Знак этого выражения совпадает со знаком $x$.Если $x$ — положительное число ($x>0$), то $x^3$ также будет положительным. Например, $2^3 = 8$.Если $x$ — отрицательное число ($x<0$), то $x^3$ также будет отрицательным. Например, $(-2)^3 = -8$.Если $x=0$, то $x^3=0$.Таким образом, это выражение может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а также значение ноль.

Исходя из этого анализа, определим, какое из выражений соответствует каждому условию:

1) положительные
Положительные значения — это значения, которые строго больше нуля ($>0$). Ни одно из выражений не является строго положительным для любых значений $x$. Например, при $x=0$ все три выражения принимают значение 0, которое не является положительным. Выражение $x^3$ может быть отрицательным, а $-x^2$ не может быть положительным.
Ответ: ни одно из выражений.

2) отрицательные
Отрицательные значения — это значения, которые строго меньше нуля ($<0$). Ни одно из выражений не является строго отрицательным для любых значений $x$. Например, при $x=0$ выражение $-x^2$ равно 0, что не является отрицательным числом. Выражение $(-x)^2$ всегда неотрицательно, а $x^3$ может быть положительным.
Ответ: ни одно из выражений.

3) неотрицательные
Неотрицательные значения — это значения, которые больше или равны нулю ($ \ge 0 $). Этому условию соответствует выражение $(-x)^2$, так как $(-x)^2 = x^2$, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.
Ответ: $(-x)^2$.

4) неположительные
Неположительные значения — это значения, которые меньше или равны нулю ($ \le 0 $). Этому условию соответствует выражение $-x^2$, так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), а число, ему противоположное, $-x^2$, всегда будет неположительным ($-x^2 \le 0$).
Ответ: $-x^2$.