Страница 248 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1190. Сколько равносторонних треугольников изображено на рисунке 199?

Рис. 199

Для подсчета всех равносторонних треугольников на рисунке, мы можем сгруппировать их по размеру. Давайте примем сторону самого маленького треугольника за 1 условную единицу.

Начнем с самых маленьких треугольников, со стороной 1. На изображении можно насчитать 9 таких треугольников (5 в нижнем ряду, 3 в среднем и 1 в верхнем).

Далее идут треугольники побольше, со стороной 2, которые состоят из четырех маленьких треугольников. Таких треугольников на рисунке 3 штуки.

И, наконец, есть один самый большой треугольник со стороной 3, который является всей фигурой.

Чтобы найти общее количество, сложим все найденные треугольники: $9 + 3 + 1 = 13$.

Ответ: 13

1191. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $3,18 \cdot 7,8 + 3,18 \cdot 2,2;$

2) $2\frac{7}{15} \cdot \frac{4}{9} + 2\frac{7}{15} \cdot \frac{5}{9}.$

1) Чтобы вычислить значение выражения $3,18 \cdot 7,8 + 3,18 \cdot 2,2$ наиболее удобным способом, необходимо применить распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. В данном выражении общим множителем является число $3,18$. Вынесем его за скобки:
$3,18 \cdot 7,8 + 3,18 \cdot 2,2 = 3,18 \cdot (7,8 + 2,2)$.
Теперь выполним действие в скобках:
$7,8 + 2,2 = 10$.
Остается умножить общий множитель на результат сложения:
$3,18 \cdot 10 = 31,8$.
Ответ: 31,8

2) В выражении $2\frac{7}{15} \cdot \frac{4}{9} + 2\frac{7}{15} \cdot \frac{5}{9}$ также используется распределительное свойство умножения. Общий множитель здесь — смешанное число $2\frac{7}{15}$. Вынесем его за скобки:
$2\frac{7}{15} \cdot \frac{4}{9} + 2\frac{7}{15} \cdot \frac{5}{9} = 2\frac{7}{15} \cdot (\frac{4}{9} + \frac{5}{9})$.
Выполним сложение дробей в скобках. Знаменатели у дробей одинаковые, поэтому складываем их числители:
$\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{4 + 5}{9} = \frac{9}{9} = 1$.
Теперь умножим общий множитель на полученное значение:
$2\frac{7}{15} \cdot 1 = 2\frac{7}{15}$.
Ответ: $2\frac{7}{15}$

1192. Раскройте скобки:

1) $8(a + 4)$;

2) $3(b + 1)$;

3) $0.4(x - 5)$.

1) Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $8(a + 4)$, необходимо использовать распределительное свойство умножения относительно сложения. Это означает, что нужно умножить число перед скобками на каждое слагаемое внутри скобок, а затем сложить полученные результаты.
$8(a + 4) = 8 \cdot a + 8 \cdot 4 = 8a + 32$
Ответ: $8a + 32$

2) Аналогично, для выражения $3(b + 1)$ применим распределительное свойство умножения. Умножим 3 на каждое слагаемое в скобках ($b$ и 1) и сложим полученные произведения.
$3(b + 1) = 3 \cdot b + 3 \cdot 1 = 3b + 3$
Ответ: $3b + 3$

3) В выражении $0,4(x - 5)$ применяется распределительное свойство умножения относительно вычитания. Нужно умножить 0,4 на каждый член в скобках ($x$ и 5) и из первого произведения вычесть второе.
$0,4(x - 5) = 0,4 \cdot x - 0,4 \cdot 5 = 0,4x - 2$
Ответ: $0,4x - 2$

1193. Упростите выражение:

1) $5m + 7m;$

2) $6n + 3n + n;$

3) $9y - 3y - y.$

Чтобы упростить данные выражения, необходимо привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. Чтобы их сложить (или вычесть), нужно сложить (или вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

В выражении $5m + 7m$ оба слагаемых ($5m$ и $7m$) имеют одинаковую буквенную часть $m$, значит они являются подобными. Для упрощения сложим их коэффициенты 5 и 7.
$5m + 7m = (5 + 7)m = 12m$
Ответ: $12m$

В выражении $6n + 3n + n$ все три слагаемых являются подобными, так как у них общая буквенная часть $n$. Коэффициенты этих слагаемых равны 6, 3 и 1 (поскольку $n$ это то же самое, что и $1n$). Сложим эти коэффициенты.
$6n + 3n + n = (6 + 3 + 1)n = 10n$
Ответ: $10n$

В выражении $9y - 3y - y$ все члены являются подобными слагаемыми с общей буквенной частью $y$. Их коэффициенты равны 9, -3 и -1 (поскольку $-y$ это то же самое, что и $-1y$). Выполним действия с коэффициентами.
$9y - 3y - y = (9 - 3 - 1)y = (6 - 1)y = 5y$
Ответ: $5y$

1194. Четыре мальчика соревновались в нескольких (более одного) видах спорта. В каждом из видов спорта за одно и то же место начислялось одинаковое количество баллов (выраженных натуральным числом), причём каждое из мест (1-е, 2-е, 3-е, 4-е) мог занять только один из участников. В конце этих соревнований выяснилось, что мальчики получили 16, 14, 13 и 12 баллов соответственно. Выясните, в скольких видах спорта они соревновались.

Пусть $n$ — количество видов спорта, в которых соревновались мальчики. Согласно условию, $n$ является натуральным числом, большим единицы ($n > 1$).

Пусть $p_1, p_2, p_3, p_4$ — это количество баллов, начисляемых за 1-е, 2-е, 3-е и 4-е места соответственно. По условию, это натуральные числа.

В каждом виде спорта участвуют четыре мальчика, и они занимают все четыре призовых места. Следовательно, общая сумма баллов, разыгрываемая в одном виде спорта, составляет $P = p_1 + p_2 + p_3 + p_4$.

Так как соревнований было $n$, общая сумма баллов, полученных всеми мальчиками, равна $n \times P$. По условию, итоговые баллы мальчиков — 16, 14, 13 и 12. Найдем их сумму:$S = 16 + 14 + 13 + 12 = 55$.

Таким образом, мы можем составить уравнение:$n \times P = 55$.

Поскольку $n$ и $P$ — натуральные числа, они должны быть делителями числа 55. Делители 55: 1, 5, 11, 55. Учитывая, что $n > 1$, возможные значения для $n$ — это 5, 11 или 55.

Теперь проанализируем возможные значения для $P$. Места (1-е, 2-е, 3-е, 4-е) различны, поэтому логично предположить, что за них начисляются разные баллы. Общепринято, что за более высокое место дают больше баллов, поэтому будем считать, что $p_1 > p_2 > p_3 > p_4$. Так как все $p_i$ — различные натуральные числа, их минимально возможные значения — это 1, 2, 3 и 4. Следовательно, минимально возможная сумма баллов $P$ за один вид спорта равна:$P_{min} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.Таким образом, должно выполняться условие $P \ge 10$.

Рассмотрим возможные значения $n$:

1. Если $n = 55$, то $P = \frac{55}{55} = 1$. Это противоречит условию $P \ge 10$.

2. Если $n = 11$, то $P = \frac{55}{11} = 5$. Это также противоречит условию $P \ge 10$.

3. Если $n = 5$, то $P = \frac{55}{5} = 11$. Это значение удовлетворяет условию $P \ge 10$.

Следовательно, единственное возможное количество видов спорта — 5. Мы также можем убедиться, что такая ситуация возможна. Например, если баллы за места равны $p_1=5, p_2=3, p_3=2, p_4=1$ (сумма равна 11), то можно подобрать такие результаты в 5 видах спорта, чтобы итоговые очки были 16, 14, 13 и 12.

Ответ: 5.